平面几何的几个重要定理——梅涅劳斯定理

欢迎光临《中学数学信息网》下载资料浙江省瓯海中学徐进光《中学数学信息网》系列资料版权所有@中学数学信息网梅涅劳斯定理：1lABCABCBCCAABBPPQR1PCCQARQARB定理：若直线不经过的顶点，并且与的三边、、或它们的延长线分别交于、、，则1ABCCBACABhhhABClhhhBPCQARPCQARBhhh证：设、、分别是、、到直线的垂线的长度，则：注：此定理常运用求证三角形相似的过程中的线段成比例的条件；1//ABCCKCEACKEAKDACFDECKBFCE例：若直角中，是斜边上的高，是的平分线，点在上，是的中点，是与的交点，证明：。,901EBCBBHEBCACKHBCACEHBCHCBACEHCBBHCEEBCBCEPCKEPCDAEKFACKDEFDAEKFCKFEKCKEPBPBKKFBKFCAEACACBCBEFCBEKFBKFKBKCKE证：在中，作的平分线则：即：为等腰三角形作上的高，则：对于和三点、、依梅涅劳斯定理有：于是＝即：＝依分比定理有：＝//CKEBFCE2PQRABCBCCAABPQRABCBP021PCPQRCQARQARB定理：设、、分别是的三边、、上或它们的延长线上的三点，并且、、三点中，位于边上的点的个数为或，这时若，求证：、、三点共线；''''''''''1BPBP11PCPC02,PQABRCQARCQARARARQARBQARBRBRBPQRABCRRABABRRABRRARAR证：设直线与直线交于，于是由定理得：又，则：＝由于在同一直线上的、、三点中，位于边上的点的个数也为或，因此与或者同在线段上，或者同在的延长线上；若与同在线段上，则与必定重合，不然的话，设'''''',,ARARARARABARABARBRBRBRBRBRBR这时即于是可得这与＝矛盾''RRABRRPQR类似地可证得当与同在的延长线上时，与也重合综上可得：、、三点共线；注：此定理常用于证明三点共线的问题，且常需要多次使用再相乘；欢迎光临《中学数学信息网》下载资料浙江省瓯海中学徐进光《中学数学信息网》系列资料版权所有@中学数学信息网CBA1A1B1C1111112.PABCABCPBCCAABABC例点位于的外接圆上；、、是从点向、、引的垂线的垂足，证明点、、共线；111111111111111cos,coscoscos,coscos,,1801BABPPBCCACPPCBCBACCPPCAAPPABABAPPACBCPBPBAPACPBCPABPCBPCAPBABACBACABCCAABBC证：易得：将上面三条式子相乘，且可得＝，依梅涅劳斯定理可知、、三点共线；1111111111111::KABCDACADACADABCDBCBDBCBD【练习】从点引四条直线，另两条直线分别交这四条直线于、、、和、、、，试证：2ABCBCCAABDEFEFBCFDCADEABXYZ【练习】设不等腰的内切圆在三边、、上的切点分别为、、，则与，与，与的交点、、在同一条直线上；1111121121122223AABBCCOABABCBCBCAACACBABC【练习】已知直线，，相交于，直线和的交点为，直线与的交点是，直线与的交点是，试证：、、三点共线；4ECABFDABEDCDAFCDAFEFBCLMNLMN【练习】在一条直线上取点、、，在另一条上取点、、，记直线和，和，和，和的交点依次为、、，证明：、、共线11111111111111111111111111111111//11111:ADADADADLAALBBLLDAKACLCBKADLCAKBCLDADAKACAKLCLCBCBKBDLDBKBDBKLDACBDADBCACBDADBCAACADBCBD练习的证明证：若，结论显然成立；若与相交与点，则把梅涅劳斯定理分别用于和可得：将上面四条式子相乘可得：即：1111111:CADBCBD欢迎光临《中学数学信息网》下载资料浙江省瓯海中学徐进光《中学数学信息网》系列资料版权所有@中学数学信息网21112BXCEAFABCXFEXCEAFBBXFBAEAFXCCECYDCAZEAYAAFZBBDBXCYAZXCYAZBXYZABCXYZ练习的证明证：被直线所截，由定理可得：又代人上式可得：＝同理可得：＝＝将上面三条式子相乘可得：又、、都不在的边上，由定理可得、、三点共线2221111111121121121121121121121121123(,),(,),(,)111ABCBCBCACACABABOABABCOBCBCAOACACBAAOBBCOCBBCAOACCABOABBACCCOBBAAAOCCBBC练习的证明证：设、、分别是直线和，和，和的交点，对所得的三角形和在它们边上的点：和，和，和，应用梅涅劳斯定理有：将上面的三条式子相乘可得：2222222221,,ABCAACCBBAABC由梅涅劳斯定理可知共线4(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)11111EFCDEFABABCDUVWUVWLDEAMFBCNACEBDFUEVLWDVAUFWMUNWCVBVEWLUDWAVFYMVNUCWBWAUCVEWBUDVFVAWCUEVBWDUFVLWWL练习的证明证：记直线和，和，和的交点分别为、、，对，应用梅涅劳斯定理于五组三元点，则有将上面五条式子相乘可得：1,,,MUNLMNUMVN点共线