三角函数应用题练习及答案

1三角函数的应用题第一阶梯[例1]如图，AD∥BC，AC⊥BC，若AD=3，DC=5，且∠B=30°，求AB的长。解：∵∠DAC=90°由勾股定理，有CD2=AD2+AC2∵AD=3，DC=5∴AC=4∵∠B=30°∴AB=2AC∴AB=8[例2]如图，△ABC中，∠B=90°，D是BC上一点，且AD=DC，若tg∠DAC=41,求tg∠BAD。探索：已知tg∠DAC是否在直角三角形中？如果不在怎么办？要求∠BAD的正切值需要满足怎样的条件？点拨：由于已知中的tg∠DAC不在直角三角形中，所以需要转化到直角三角形中，即可地D点作AC的垂线。又要求∠BAD的正切值应已知Rt△BAD的三边长，或两条直角边AB、BD的长，根据已知可知没有提供边长的条件，所以要充分利用已知中的tg∠DAC的条件。由于AD=DC，即∠C=∠DAC，这时也可把正切值直接移到Rt△ABC中。解答：过D点作DE⊥AC于E，41DACtg且AEDEDACtg设DE=k，则AE=4k∵AD=DC,∴∠DAC=∠C，AE=EC∴AC=8k∵41BCABtgC设AB=m，BC=4m由勾股定理，有AB2+BC2=AC2∴km17178kBC171732由勾股定理，有CD2=DE2+EC22kCD17kBD171715由正切定理，有.815BADtgABDBBADtg[例3]如图，四边形ABCD中，∠D=90°，AD=3，DC=4，AB=13，BC=12，求sinB。探索：已知条件提供的图形是什么形？其中∠D=90°，AD=3，DC=4，可提供什么知识？求sinB应放在什么图形中。点拨：因已知是四边形所以不能求解，由于有∠D=90°，AD=3，DC=4，这样可求AC=5，又因有AB=13，BC=12，所以可证△ABC是Rt△，因此可求sinB。解：连结AC∵∠D=90°由勾股定理，有AC2=CD2+CD2∵AD=3，CD=4，∴AC=5∵AB=13，BC=12∴132=122+52∴∠ACB=90°由正弦定义，有135sinsinBABACB第二阶梯[例1]如图，在河的对岸有水塔AB，今在C处测得塔顶A的仰角为30°，前进20米后到D处，又测得A的仰角为45°，求塔高AB。探索：在河对岸的塔能否直接测得它的高度？为什么在C、D两处测得仰角的含义是什么？怎样用CD的长？点拨：要直接隔岸测得塔高是不可能的，也不可能直接过河去测量，这时只能考虑如何利用两个仰角及CD长，由于塔身与地面垂直，且C、D、B三点共线这时可以构成一个直角三角形，且有∠ACB=30°，∠ADB=45°，这时就可以借助解直角三角形的知识求解了。解：根据仰角的定义，有∠ACB=30°，∠ADB=45°又AB⊥CB于B。∴∠DAB=45°∴DB=AB设AB=x3由正切定义，有20)13(,20)13(.xCDxCDCBABACBtgDBABADBtg及解得)13(10x即塔高)13(10AB答：塔高AB为)13(10米。第三阶梯[例1]已知等腰三角形的顶点为A，底边为a，求它的周长及面积。探索：在现在的已知条件下能否求得周长与面积？如果不能求解是因为什么原因造成的，这时底边为a，能否确定腰长及各个内角呢？首先能否确定三角形是直角三角形呢如果不是直角三角形怎么办？点拨：由于没有相应的图形，所以应先确定图形，若是等腰三角形，应先假设这个三角形是斜三角形，再根据条件先转化为直角三角形，再求相应的量。设已知△ABC中，AB=AC，BC=a（如图）解：过A点作：AD⊥BC竽D点，设∠BAD=α∵AB=AC∴BD=CD=CADBADa,2根据正弦定义，有sin2.sin2sin2sinaACaaABABBDBAD同理即∴AB+AC+BC=a+sina由余切定义，有DBADBADctg∴AD=ctga24∵ADBCSABC21∴ctgaSABC42注意：也可设∠BAC=α，则∠BAD=2。[例2]有一块矩形纸片ABCD，若把它对折，B点落在AD上F处，如果DC=6cm，且∠DFC=2θ，∠ECB=θ，求折痕CE长。探索：根据已知条件图形对折，B点落在F点的含义是什么？它会有怎样的结论？这时又可以形成什么图形关系？另知DC的长能否求折痕呢？又根据条件我们还可以确定什么？这时又可形成怎样的问题？点拨：由于F点的形成是因对折B点而形成的，因此可有△EBC≌△FEC，同时又可有△AEF∽△CDF。根据已知条件∠DFC=2θ及∠ECB=θ，这时就可以形成与角有关的图形。进而可求CE的长。解：根据已知条件，有△EBC≌△FEC∴EB=EF，BC=FC，∠ECB=∠ECF∵∠CFD=2θ，且∠ECB=θ∴∠ECF=θ由余弦定义，有CFCDADCcos∵∠ADC=90°－2θ∴2sinCDCF由余弦定义，有CECFFCEcoscos2sin6CE[例3]如图6-5-5，某船向正东方向航行，在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西30°，又航行了半小时，望见灯塔C恰在西北方向，若船速为每小时20海里，求A、D两点间的距离，（结果不取近似值）5图6-5-5思路分析：易知ΔACD是等腰直角三角形，要求AD，不能利用ΔACD直接求得，由于,102120BD图形中再没有其他的直角三角形，必须构造直角三角形，作CE⊥AD于E，只要求出CE，就可能以求出AD，借助两个直角三角形（ΔBCE和ΔDCE）中，BE、DE与BD的关系以及BE与CE之间的关系就可求CE。[解]作CE⊥AD，垂足为E，设CE=x海里∵∠CAD=∠CDA=90°-45°=45°，∴CE=AE=DE=x。在RtΔBCE中，∠CBE=90°-30°=60°，∴,3360cotxCEBE由DE-BE=BD得，212033xx，解得3515x。∴）xAD海里)(31030(2。答：A、D两点间的距离为)31030(海里。第四阶梯[例1]有一段防洪大堤，其横断面为梯形ABCD，AB∥DC，斜坡AD的坡度i1=1:1.2,斜坡BC的坡度i2=1:0.8，大坝顶宽DC为6米，为了增强抗洪能力，现将大堤加高，加高部分的横断面为梯形DCFE，EF∥DC，点E、F分别在AD、BC的延长线上（如图6-5-6），当新大坝顶宽EF为3.8米时，大坝加高了几米？6图6-5-6思路分析：本题实质上是梯形CDEF的有关计算问题，注意到大堤加高但坡度不变，即DE、CF的坡度公别为1:1.2,1:0.8,又DC=6米，EF=3.8米,要求大坝加高的高度,分别作FH⊥DC于G,FH⊥DC于H,利用RtΔDEG,RtΔCFH和矩形EFHG可以求出新大坝的高度.[解]作EG⊥DC,FH⊥DC,垂足分别为G,H,则四边形EFHG是矩形,GH=EF=3.8米.设大坝加高x米,则EG=FH=x米。∵i1=1:1.2,i2=1:0.8,∴.8.01,2.11CHFHDGEG∴.8.0,2.1xCHxDG由DG+GH+CH=6，得1.2x+3.8+0.8=6.解得x=1.1答：大坝加高了1.1米。[例2]如图6-5-7，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形式气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30°方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响。（1）该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由。（2）若会受到台风的影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？图6-5-7思路分析：（1）作AD⊥BC于D，达到或超过四级风力所影响的范围是距台风中心不超过（12-4）×20=160千米的范围内，7比较AD与160的大小关系，就可以确定该城市是否受这次台风的影响。（2）当A点距台风中心不超过160千米时，将受到台风的影响，如图6-5-7，AE=AF=160千米，当台风中心从E处移到F处时，该城市都会受到这次台风的影响，利用勾股定理计算出EF的长度，就可以计算出这次台风影响该城市的持续时间。（3）显然当台风中心位于D处时，A市所受这次台风的风力最大。[解]（1）如图6-5-7，由点A作AD⊥BC，垂足为D。∵AB=220，∠B=30°，∴)(11021千米ABAD。由题意，当A点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响，由于AD=110160,所以A市会受到这次台风的影响.(2)在BD及BD的延长线上分别取E,F两点,使AE=AF=160千米.由于当A点距台风中心不超过160千米时,将会受到台风的影响.所以当台风中心从E点移到F点时,该城市都会到这次台风的影响.在RtΔADE中,由勾股定理,得5301101602222ADAEDE∴15602DEEF(千米).∵该台风中心以15千米/时的速度移动,∴这次台风影响该城市的持续时间154151560(小时).(3)当台风中心位于D处时,A市所受这次台风的风力最大,其最大风马牛不相及力为)(5.62011012级四、【课后练习】A组1．如图：6-5-8，一铁路路基的横断面为等腰梯形，根据图示数据计算路基的下底宽AB=____。2．如图6-5-9，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要_______米（精确到0.1米）图6-5-8图6-5-93．如图6-5-10，在高离铁塔150米的A处，用测角仪测得塔顶的仰角为30°，已知测角仪高AD=1.52米，则塔高BE=_______（精确到0.1米）8图6-5-10图6-5-114．某防洪堤坝的横断面是梯形，已知背水坡的坡长为60米，坡角为30°，则坝高为_______米。5．升国旗时，某同学站地离旗杆底部24米处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为30°，若双眼离地面1.5米，则旗杆高度为_______米，（用含根号的式子表示）6．在地面上一点，测得一电视塔尖的仰角为45°，沿水平方面再向塔底前进a米，又测得塔尖的仰角为60°，那么电视塔高为_______。7．若太阳光线与地面成37°角，一棵树的影长为10m，则树高h的取值范围是（）A．3h≤5B、5h10C.10h15D.h158．河堤的横断面如图6-5-11所示。堤高BC是5米，迎水坡AB的长是13米。那么斜坡AB的坡宽I是（）A．1：3B、1：26C.1:2.4D.1:29.某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时，光线与地面成80°角。房屋朝南的窗子高AB=1.8m,要在窗子外面上方安装一个水平挡光板AC，使午间光线不能直接射入室内（如图：6-5-12），那么挡光板AC的宽度至少应为（）图6-5-12图6-5-13A．1.8tan80°mB.1.8cos80°mC.80sin8.1mD.1.8cot80°m10.如图6-5-13，水库大坝的横断面为梯形，坝顶宽6米，坝高24米，斜坡AB的坡角为45°，斜坡CD的坡度I=1：2，则坝底AD的长为（）A．42米B、（30+243）米C、78米D、（30+83）米11、如图6-5-14，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为a,则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为（）A．sin1B.cos1C.sinaD.19图6-5-1412.如图6-5-15，直升飞机在跨河大桥AB的上方P点处，此时飞机离地面的高度PO=450米，且A、B、O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为α=30°,β=45°，求大桥AB的长（精确到1米，供选的数据：2≈1.41,3≈1.73）.13.某型号飞机的机翼形状如图6-5-16所示，其中AB∥CD，根据图中的数据计算AC、BD和CD的长度。（结果保留