78第五讲03-对称性和守恒定律

五．对称性和守恒定律1．运动积分：有心力场：0dpdt所以Pconst。220rmrrFmrrF0F，故：120dmrrmrrdt2rconst积分：10dmrrdt2mrJ对于有心势场：22rmrrFrhh为常数有心力是保守力：222212mrrVrEmrJ与运动方程相比上述方程比较容易求解运动积分：拉格朗日函数为广义坐标q、q和t的函数，一个力学体系在t时刻由2S个量Sq和Sq来决定。广义坐标：其中：122,,,SCCC为拉格朗日方程通解的2S个积分常数。他们存在于q、q的函数中，而且在运动过程中保持不变。这种函数称为运动积分。如果体系的自由度为S我们可以从上述方程中消去t，保留21S个方程组，解得：21S个(,)iCqq都是相互独立的，都是拉格朗日方程的运动积分。原则上我们可以用运动积分来取代全部的拉格朗日方程。最简单的运动积分：（1）广义动量守恒：循环坐标：拉格朗日函数中不显含的坐标称为循环坐标或可遗坐标。设拉格朗日函数中不显含的坐标q，由0dLLdtqq得0dLdtqLPconstq广义动量例如有心力场：22212LmrrVr中不显含，所以有2LPmrconstq（2）广义能量守恒：广义能量积分：如果拉格朗日函数中不显含时间，则0dLdt，拉格朗日函数对时间的微分：由拉格朗日方程：0dLLdtqq得：运动积分：H的物理意义：设：12(,,,)iiSrrqqqH为广义能量。若体系是稳定约束：，则0irt守恒量：运动积分的分类：（1）具有可加性。有几个部分组成，而各个部分之间的相互作用可以忽略不计，它的值等于各个部分之和（2）具有不可加性：守恒量。（a）时间的均匀性----------能量守恒（b）空间的均匀性----------动量守恒（c）空间的各向同性-------角动量守恒（b）+（c）空间的均匀性和各向同性：在空间做一个无限小的平移：或无限小的转动：拉格朗日函数不变。即：令(,,)LLqqt，将方程：iiirTmrqq带入上式：空间均匀性导致动量守恒：空间的均匀性意味着坐标可以任意平移，在座标平移时，体系各点都有相同的位移，因此各点都有相同的ir任意小，但不为零，所以0dPdt空间各向同性导致角动量守恒：坐标轴方向可以任意转动，dJdt时间均匀性导致能量守恒：时间均匀性：0Lt则：HPqLconst经典物理学中的对称性1．空间均匀性：所有的位置r具有相同的结构。（1）物理问题的解在平移下不变（2）平移不变性对于孤立系统--------动量守恒空间均匀性是指体系的拉格朗日函数,,iiLLrrt当粒子的坐标ir用ira代替时，保持不变，其中a是任意的常矢量。空间均匀性更通用的概念将只要求在空间平移下，运动方程的不变，若是这样，也可以证明存在一个守恒量，但这个守恒量并不必定是正则动量。0dPLdtPconst2．时间的均匀性：孤立体系中，相对于时间的平移，自然规律是不变的。即，在t和0tt两个时刻，自然规律具有相同的形式在数学上，上述概念由拉格朗日函数种不显含时间表示：,iiLLqq由拉格朗日方程：0dLLdtqq方程两端同时乘以q并对求和：110SSdLLqqdtqq增加一项：110SSLLqqqq11110SSSSLdLLLqqqqqdtqqq即：10SdLqLdtq令：1;SLLHqLPqq则：1SHqPLH守恒！3．空间各向同性：沿空间所有方向具有相同的结构。孤立体系当整个体系在空间任意转动时，其力学性质不变拉格朗日函数在空间转动下不变！令系统绕某一个轴转动，则位矢r的端点绕轴转动的半径为：sinr，rr对时间求导：ddrrdtdt因为和ddt相互独立，因此其顺序可以变化，所以：rr11SSLLLLLrrrrrrrr利用：abcbca得：1SLLLrrrr将拉格朗日方程代入：11SSdrdLLdLLrrdtdtdtrrr1SdLrPdt令JrP，由于0L所以0dJdtJconst例：均匀电场中的守恒定律：带电粒子（1）均匀电场中（3）均匀磁场中推导出平移对称性的守恒定律。解：212qLmxAxqc正则动量：LqPmxAxc应用拉格朗日方程：0dLLdtxx10kkkkkkkkkkAAAqqmxxxqctxcxxAAAqmxqxctxcxx应用：AEt得到：qmxqExBcqmxqExBc无论在什么时候，将广义力iLx写成时间的全微分是可能的：iiLdGxdt守恒定律：0iiiiiiiidLLdLddLdGGPGdtxxdtxdtdtxdt(a)均匀电场：;00;ExAAEt上述描述对应于两种不同的规范。第一种情况：221122LmxqqAvmxqEx();iiiiiiLddqEqEtGGqEtxdtdt守恒定律：0ddPqEtPGdtdt在该规范中，守恒量与正则动量不相等！第二种情况：因为0;AEt所以拉格朗日量为：212LmxqExt这样有：00iLGorGconstx因此动量守恒：0dPdt讨论：比较第一种和第二种情况1020ddcasePqEtPGdtdtdcasePdt这是由两种不同的规范产生的：1;020;LcaseEtAPmxqAmxxLcaseAEtPmxqEtx两种守恒量：1;0;cos;2;0;cosddcasePGPqEtPqEtmxqEttPmxdtdtdcasePPmxqEttdt守恒是相同。因此，我们认为在有外部电磁场的情况下，包含正则动量的定律的物理意义可以依赖于规范。（b）均匀磁场：2111;0;222ABxLmxqBxx22kkkklmlmkklilkklmkliiiALqqqxxBxxBxxx即：22LqdqdxBxBGxdtdt平移时动量守恒：022dqqPxBPxBconstdt此时：;22iiiiilmlmlmiLqqPmxqAmxBxPmxxBx守恒量：222mxqxqqxBxBBqPmxxB守恒量不是正则动量质点组的动量、能量和角动量：1．质点组的动量定理：体系由N各质点组成，第a个质点和第b个质点（ab）之间的相互作用用势能abU表示。该两点之间的距离为：12abababababrrrrrr势能：()abababUUrabababaabaabababbabbUdUrrdrrUdUrrdrr3123311,1122ababjjjabababababiiiiababjjiijaaiabaiairrrrrrreerrrrrrr注意到克罗内克函数的定义：abajbjjijaiairrrrr因此：ababaabrrrr同理：ababbabrrrr因此：abababUUrr所以：;ababaabbababbaUFrUFrFF牛顿第三定律！系统的总势能：12,,,NababNabUUrUrrr外右端第一式是对a和b都由1到N求和，但要求ab，一方面保证了ab，另一方面避免了对同一对质点a和b的相互作用势能重复计算两次。1()NababbaaaaUUUFrrr外作用在a点合内力：()1()1()NNiabaabbbabbaaUFFr作用在a点上的合外力：()eaaUFr外所以作用在a点上的合力：()()ieaaaFFF由拉格朗日方程：0dLLdtxx由广义动量和广义力的表达式：;LLPfxx()()ieaaaadPFFFdt求和：()()111NNNieaaaaaaadPFFFdt因为：abbaFF所以：()10NNiaabbaaabFFF1NaaddPPdtdt所以：()1NeaadPFdt质点系的动量定理！若外场为零：0U外＝，则()0eaF因此：0P动量守恒！2．动量和能量的变换：动量守恒和能量守恒的成立不依赖于参考系的选取，但是，在不同的参考系中，动量和能量所取的值不同。设参考系K相对于参考系K以速度V运动，用av和av分别表示第a个质点相对于K和K的速度，,PP为质点系在K和K中的总动量，aavvV111NNNaaaaaaaaPmvmvmV质点系的总动量在相互作匀速运动的坐标系之间的变换规则：1NaaPPmVPMV若质点系不处于外场中，用E和E表示在K和K中的能量。22()()112()21111221122NNiiaaaaaaNNiaaaaaaETVmvUmvVUmvUMVmvV212EEMVPV如果K是质心系，则0P212EEMV质点系在K中的能量等于质点系在质心系中的能量加上将质点系的总质量附在质心上时质心在K系中的动能。3．角动量的变换：用;JJ分别表示在;KK参考系中的角动量，利用：rrVtvvV111111NNNNNNJrmvrmvmrVrmvVtmvmrV其中第一项1NJrmv质点系在K系中的总角动量，质心系中第二项：10NoJVtmv第三项：1NCCmrVMRVRPCJJRP