2010届高考数学函数及其基本性质

第6讲函数及其基本性质1.高中阶段研究的基本初等函数主要有一次函数（正比例函数）、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数以及三角函数共七类.各类函数的五大性质：①定义域；②值域（最值、极值、边界）；③周期性；④奇偶性（对称性）；⑤单调性，是高考的重点与热点，是试卷命题的中心，也是体现考试说明中抽象概括能力、推理论证能力及运算求解能力的良好载体，试题多不会趋向简单.2.备考过程中既要从宏观上掌握研究学习函数的一般方法和规律，按照“定义—定义域、值域—图象—性质”的思路程序研究每一类函数,又要从微观上理解和把握各类函数的不同性质、运算规律.3.函数及其基本性质是函数内容的主体部分，是高考考查的重点，其中定义域、单调性、奇偶性、周期性等几乎是每年必考，常常是将这些知识点与集合、不等式、方程、函数图象等知识交汇融合，以填空题的形式进行考查.对于函数定义域，还常常隐性地进行考查，因为研究函数的性质以及其他问题时，必须首先研究函数的定义域.函数的单调性、奇偶性、周期性经常融合为一体，在研究参数的范围问题、求值问题中进行考查.4.以函数知识为依托，渗透基本数学思想方法.函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题.纵观近几年江苏省高考试卷，从老版本教材到新课标教材，选择填空题，解答题均有涉及，以基本函数为背景的应用题和综合题是每一年高考“能力立意”的首选素材.备考过程中还要仔细体会数形结合这一数学思想方法的应用.函数是考查数形结合思想的良好载体，除应熟悉常见函数图象外，还应加强函数与方程、图象与曲线的区别与统一性认识，加强对图象与图象变换的理解与应用.5.新课标考试说明明确要求“注重数学的应用意识和创新意识的考查”.“函数”一节为这一要求提供了良好的载体.函数知识与社会现实，经济建设，科技发展密切相关，以社会热点为背景，考查函数应用题，有利于培养学生应用数学的意识，有助于提高学生应用数学的能力和创新实践能力.纵观08、09年高考试卷中，山东、广东、江苏等新课标实施地区均在这方面有不同程度的体现.【例1】（2008·山东）已知f(3x)=4xlog23+233,则f(2)+f(4)+f(8)+…+f(28)的值等于.分析首先由题设求出f(x）表达式，进而研究待求和式的规律.解析∵f(3x)=4xlog23+233=4log23x+233,∴f(x)=4log2x+233,∴f(2)+f(4)+…+f(28)=4(1+2+…+8)+233×8=2008.2008探究拓展当题设中，f(x)解析式未明确，而由条件可求时，应首先依相关知识确定f(x)的解析式，这是各个加数的“通项公式”，而规律往往蕴含于其中，备考中要注意体会与掌握.变式训练1已知函数f(x)0,对任意x,y有f(x+y)≤2f(x)·f(y)和f(x+y)=f2(x)+f2(y),则.解析2f(x)f(y)≥f(x+y)=f2(x)+f2(y)［f(x)-f(y)］2≤0f(x)=f(y)要求的值为1004.)0072()0082()0052()0062()0032()0042()3()4()1()2(ffffffffff1)()(yfxf1004【例2】若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a、b∈R)是偶函数，且它的值域为（-∞，4］，则该函数的解析式f（x）=.分析f(x)定义域为R,又是偶函数,则f(-x)=f(x)，结合另一条件，可求出待定系数a、b.解析∵f（-x）=f（x）且f（x）=bx2+（2a+ab）x+2a2，∴f(-x)=b(-x)2+(2a+ab)(-x)+2a2=bx2-（2a+ab）x+2a2，∴-（2a+ab）=2a+ab，即2a+ab=0，∴a=0或b=-2.当a=0时，f(x)=bx2,∵f(x)值域为（-∞，4］，而y=bx2值域不可能为（-∞，4］，∴a≠0.当b=-2时,f(x)=-2x2+2a2,值域为（-∞，2a2］.∴2a2=4,∴a2=2.∴f(x)=-2x2+4.答案探究拓展本题实质以偶函数定义为条件构造了一个“恒成立问题”,即f(x)f(x)=f(-x)恒成立,x∈R,（2a+ab)x=0恒成立，这又迫使x的系数2a+ab为零，以满足x取值的“任意”性.类似问题还可用“单调性”、“奇函数”来构造.x∈R,-2x2+4变式训练2（2008·北京）已知函数+ax2+3bx+c(b≠0),且g(x)=f(x)-2是奇函数，求a,c的值.解因为函数g(x)=f(x)-2为奇函数,所以,对任意的x∈R,g(-x)=-g(x),即f(-x)-2=-f(x)+2.又f(x)=x3+ax2+3bx+c,所以-x3+ax2-3bx+c-2=-x3-ax2-3bx-c+2.解得a=0,c=2.f(x)=x3.22,ccaa所以【例3】设函数f(x)在(-∞,+∞)上满足f(2-f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间［0，7］上，只有f(1)=f(3)=0.（1）试判断函数y=f(x)的奇偶性；（2）试求方程f(x)=0在闭区间［-2010,2010］上的根的个数，并说明你的结论.分析由条件可得f(x)是周期函数，依规律探寻［-2010，2010］上方程根的个数，注意考查清楚目标区间包含多少周期.解（1）由f(2-x)=f(2+x),得f(-1)=f(5).而f(5)≠0f(1)≠f(-1),即f(x)不是偶函数.x)=又f(x)在［0，7］上只有f(1)=f(3)=0,∴f(0)≠0.从而知函数y=f(x)不是奇函数.故函数y=f(x）是非奇非偶函数.从而知函数y=f(x)的周期为T=10.又f（3）=f（1）=0，∴f（11）=f（13）=f（-7）=f（-9）=0.故f(x)在［0，10］和［-10，0］上均有2个根，从而可知函数y=f(x)在［0，2000］上有400个根，),10()()14()4()14()(),4()()7()7(),2()2()2(xfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxf在［2000，2010］上有2个根，在［-2000，0］上有400个根,在［-2010，-2000］上有2个根，所以方程f(x)=0在［-2010，2010］上有804个根.探究拓展本题考查抽象函数的奇偶性、周期性等函数性质，利用周期性求方程根的个数.对抽象函数问题的考查在近几年高考中有逐年增加的趋势.解题的关键是：合理赋值，化抽象为具体，由此探究函数的性质.变式训练3设f(x）定义如下面数表，{xn}满足x0=5,且对任意自然数n均有xn+1=f(xn)，则x2010的值为.解析∵x0=5,∴x1=f(x0)=f(5)=2,x2=f(x1)=f(2)=1,x3=f(x2)=f(1)=4,x4=f(x3)=f(4)=5,x5=f(x4)=f(5)=2=x1,可见数列{xn}周期为4，∴x2010=x2=1.x12345f(x)413521【例4】定义在（0，+∞）上的函数f(x)，对于任意的m,n∈(0,+∞)，都有f(mn)=f(m)+f(n)成立，且当x1时，f(x)0.（1）求f(1)的值；（2）求证：f(x)在（0,+∞)上是减函数；（3）比较的大小.分析赋值法求出f(1）=0,单调性的证明紧扣条件,依靠定义完成.比较大小可根据单调性作出结论.（1）解令m=n=1,则有f(1)=f(1)+f(1),即f(1)=0.2)()()2(nfmfnmf与（2）证明设x1x20,∵f(mn)=f(m)+f(n),∴f(x1)-f(x2)=∴f（x）在（0,+∞）上是减函数.（3）解)()(2221xfxxxf).()(,0)(.1,0).()()()(21212121212221xfxfxxfxxxxxxfxfxfxxf即,)2()2()2(2nmfnmfnmf.)2(21)2(2nmfnmf探究拓展（1）抽象函数是近几年来高考考查的一个重点，在近几年的高考试题中经常出现，因此也是一个热点.(2)抽象函数的背景函数常见形式如下：).(2)()()2(,),0()(),()2(.)2(),(212)()(22时取等号当且仅当上是减函数在又时取值等号当且仅当的大小与故只需比较又nmnfmfnmfxfnmmnnmmnnmmnfnfmf①f(x+y)=f(x)f(y)，其背景函数为f(x)=ax(a0,且a≠1);②f(xy)=f(x)+f(y)，其背景函数为f(x)=logax(a0,且a≠1);③f(x+y)=f(x)+f(y)，其背景函数为f(x)=kx;变式训练4定义在R上的函数f(x)满足=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),f(1)=2,则f(-3)=.其背景函数为),2()2(2)()(④yxfyxfyfxf.cos)(xxff(x+y)解析令x=n,y=1,则f(n+1)=f(n)+f(1)+2nf(n+1)-f(n)=2n+2f(n)=［f(n)-f(n-1)］+［f(n-1)-f(n-2)］+［f(n-2)-f(n-3)］+…+［f(2)-f(1)］+f(1)=［2(n-1)+2］+［2(n-2)+2］+…+［2×1+2］+2=答案6)3(2222)1(1)1(22fnnnnn.63)3(2【例5】已知a0且f(logax)=（1）求f(x)；（2）判断f(x)的奇偶性和单调性；（3）若函数f(x)定义在（-1，1）时，有f(1-m)+f(1-m2)0,求m的集合M.分析(1)换元法求f(x).(2)依奇偶性和单调性的定义来解.(3)若将不等式具体化将是十分麻烦的，紧扣性质解题，可使过程优化.a≠1,).1(12xxaa解（1）令t=logax,则x=at.代入f(logax)=可得∴函数解析式为（2）对于任意实数x,∴f(x)为奇函数.)1(12xxaa).(1)(2ttaaaatfR）.xaaaaxfxx)((1)(2),()(1)(1)(22xfaaaaaaaaxfxxxx有设x1,x2∈R,且x1x2,则当a1时，a2-10,∴f(x1)f(x2);当0a1时，a2-10,∴当a0且a≠1时，f(x)是增函数.（3）当x∈(-1,1)时，有).11)((1)()(1)()(212122211221xxxxxxxxaaaaaaaaaaaaxfxf,021xxaa).()(,02121xfxfaaxx.20022,20111,1112mmmmmm且由f(1-m)+f(1-m2)0,得f(1-m)-f(1-m2).∵f(x)为奇函数,∴f(1-m)f(m2-1).又f(x)为增函数，∴1-mm2-1,即m2+m-20.解得m1或m-2.综上所述，可知1m,所以集合M={m|1m}.探究的展(1)求函数解析式是一项基本功，多不会单独考察，而是融于大题之中，是处理后面各小题的基础，务必掌握好.22(2)单调性与奇偶性的证明与判断，要求理由充分详实，多依据定义.(3)抽象不等式处理，通常不要具体化，多依据单调性解决，但要注意限制在函数的定义域内.变式训练5已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数且a≠0)满足条件f(x-3)=f(5-x),且方程f(x)=x有等根.（1）求f(x)的解析式；（2）是否存在实数m,n(mn)使f(x)的定义域和值域分别为［m,n］和［3m,3n］.如果存在，求出m,n的值；如果不存在，请说明理由.解（1）由f(x-3)=f(5-x)可知，函数f(x)的对称轴为直线x=1,又方程f(x)