2016届高三数学同步单元双基双测“AB”卷专题4.2-平面向量的数量积及应用(A卷)

1班级姓名学号分数（测试时间：120分钟满分：160分）一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分）1．已知向量1,3a，向量,ac的夹角是3，2ac，则||c等于_______．【答案】2【解析】试题分析：因为2a，根据向量的数量积可知：221cos232acca．考点：1．向量的数量积；2．已知向量a与b的夹角为45，且||1a，||32b；则|2|ab．【答案】10【解析】试题分析：2222444184132cos4510ababab,所以210ab.考点：1向量的数量积;2向量的模.3．已知kjibkjia2,23，则a5与b3的数量积等于________.【答案】-154．如图，在边长为3的正方形ABCD中，AC与BD交于F，13AEAD，则EFBD．2FEDCBA【答案】3【解析】试题分析：2132032EFBDEAAFBDEABDAFBD考点：向量的加法，向量的数量积5．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E为DC的中点，AE与BD交于点F，则FDDEuuuruuur．【答案】32【解析】试题分析：由相似三角形得：12FDDEBFAB,所以113332cos1353322FDDEBDDEouuuruuuruuuruuur考点：向量数量积6．设P为ABC中线AD的中点，D为边BC中点，且2AD，若3PBPC，则ABAC3【答案】0考点：向量数量积7．已知平面向量a，b满足2ab，(2)()=2a+bab，则a与b的夹角为．【答案】3考点：本题考查平面向量的数量积的运算点评：解决本题的关键是根据222ababab，再利用平面向量的数量积的定义求夹角8．如果向量a与b的夹角为θ，那么我们称a×b为向量a与b的“向量积”，a×b是一个向量，它的长度|a×b|=|a||b|sinθ，如果|a|=3，|b|=2，a·b=-2，则|a×b|=__________．【答案】42【解析】试题分析：由向量数量积知122cos6cos2,cos,sin33ababrrrr；所以22sin32423ababrrrr．考点：新定义问题、向量的运算．9．下列式子描述正确的有．①sin1cos1sin1cos1；②0||||ababab；4③2cos(1sin)(1sin)；④222()abab；⑤22sin1cos2xx；⑥sin()cos()63．【答案】①②③【解析】试题分析：对于①，因为1弧度大于1，sin1cos1sin1cos1，正确；对于②，由0ab两个向量垂直，根据向量的平行四边形法则||||abab，正确；对于③，22cos1sin(1sin)(1sin)，正确；对于④，2222()cosabab，故不正确；对于⑤22sin1cos21cos2xxx，不正确；对于⑥，sin()sin()cos()6233，不正确。故答案为①②③。考点：命题真假的判断10．已知AD是ABC的中线，若120A，2ABAC，则||AD的最小值是．【答案】1考点：向量数量积11．已知△ABC中,aAB,bAC,0ab,415SABC,5||,3||ba,则ba与夹角的余弦值为___.【答案】32【解析】5试题分析：11151S|a||b|sinA=35sinA=sinA=2242ABC，由0ab得3cos.2A即ba与夹角的余弦值为32考点：三角形面积公式12．若点BA,在曲线)0(222xyx上，则OAOB的最小值为.【答案】2【解析】试题分析：设11(,)Axy，22(,)Bxy，120,0,xx且122xx.222221212121212121222()2()4OAOBxxyyxxxxxxxxxx2212121212121212()44(2)|2|2xxxxxxxxxxxxxx∴OAOB的最小值为2考点：（1）双曲线的简单性质；（2）平面向量的数量积运算；（3）利用基本不等式求最值.13．已知圆O的直径AB=2，C是该圆上异于A、B的一点，P是圆O所在平面上任一点，则()PAPBPC的最小值为．【答案】12考点：向量数量积14．设非零向量a与b的夹角是65，且||||baa，则||||bbta2)(Rt的最小值是．【答案】33【解析】6试题分析:因为baa，两边平方得：22baa，整理为ab3，如图：bta2表示的几何意义是点O与直线AE上的点的两点间距离，最小值是点到直线的距离aOD，所以最小值是333aaba．考点：1．向量的几何意义；2．向量的数量积的计算．二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．设向量(2,sin)a，(1,cos)b，为锐角．（Ⅰ）若136ab，求sincos的值；（Ⅱ）若//ab,求sin(2)3的值．【答案】（Ⅰ）332；（Ⅱ）10334．7试题解析：（Ⅰ）∵132sincos6ab，∴1sincos6．∴24(sincos)12sincos3又∵为锐角，∴23sincos3．考点：1．向量平行垂直的坐标表示；2．同角三角函数基本关系式；3．三角恒等变换公式的应用．816.已知向量(cossin,2sin),(cossin,cos)axxxbxxx.令()fxab，（1）求()fx的最小正周期；（2）当3,44x时，求()fx的最小值以及取得最小值时x的值.【答案】（1）；（2）当58x时，函数)(xf取得最小值2.【解析】试题分析：本题主要考查倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、单调性、最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.先利用平方差公式把原式展开，再利用倍角公式进行化简，最后利用两角和的正弦公式将()fx化简成()sin()fxAxB的形式，第一问，由最小正周期公式得出结果；第二问，借助于三角函数的图象判断出函数()fx的单调性，求出函数()fx的单调区间，从而确定出函数()fx最大值的位置，同时求出最大值.考点：sinyAx的图象及性质.17.如图，在xoy平面上，点(1,0)A，点B在单位圆上，AOB（0）910（1）若点34(,)55B，求tan()4的值；（2）若OAOBOC，1813OBOC，求cos()3.【答案】（1）17（2）512326【解析】试题分析：（1）由三角函数定义可得3cos5，4sin5，所以4tan3，所以1tan1tan()41tan7；（2）由三角函数定义可得(cos,sin)OB，再利用向量加法及数量积可解出5cos13，利用同角三角函数关系可得12sin13，最后根据两角差余弦公式求5123cos()coscossinsin33326试题解析：（1）由于34(,)55B，AOB，所以3cos5，4sin5，所以4tan3，所以1tan1tan()41tan7；（2）由于(1,0)OA,(cos,sin)OB,所以(1cos,sin)OCOAOB,22218cos(1cos)sincoscossin13OCOB.所以5cos13，所以12sin13，所以5123cos()coscossinsin33326.考点：三角函数定义，向量加法及数量积18.已知ABC的面积为32，角CBA,,的对边分别为cba,,，4ABAC．（1）求角A；（2）求acb2的最大值．【答案】（1）3A；（2）1．11试题解析：（1）ABC的面积为32，4ABAC,32sin21Abc又4cosAbc,由÷得到3tanA，又A为三角形的内角，则3A21cosA，由余弦定理2222222)(41)2(3)(3)(cos2cbcbcbbccbAbccba,12,1)2(2acbacb则当且仅当“cb”是取得最大值考点：三角形的面积公式、向量的数量积、余弦定理、基本不等式．19．已知向量2(3sin,1),(cos,cos)444xxxmn。(1)若1mn，求2cos()3x的值；(2)记()fxmn，在ABC中，角,,ABC的对边分别是,,abc，且满足(2)coscosacBbC，求函数()fA的取值范围。【答案】（1）12（2）3(1,)212考点：向量的数量积，三角函数的性质点评：主要是考查了三角函数的性质以及向量的数量积的运用，属于中档题。20．在矩形中ABCD中，32,4BCAB，M为动点，CMDM、的延长线与AB（或其延长线）分别交于点FE、，若.02EFBFAE（1）若以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，试求动点M的轨迹方程；（2）不过原点的直线l与（1）中轨迹交于HG、两点，若GH的中点R在抛物线xy42上，求直线l的斜率k的取值范围．【答案】（1）13422yxABCDEFMOxy13（2）66,00,88试题解析：（1）设),(yxM，由已知得)0,2(A，)0,2(B，)32,2(C，)32,2(D由MED、、及MFC、、三点共线得yyxxyyxxFE32232,32232，),0,(),0,(axBFaxAEFE,)(22FExxEF代入.02EFBFAE得13422yx14考点：动点的轨迹方程的求解，直线与曲线的位置关系的综合问题．