决策分析技术与方法_第三章

决策分析技术与方法北京科技大学经济管理学院武森北京科技大学经济管理学院2目录第一章决策科学概述第二章确定型、风险型和不确定型决策第三章模糊决策第四章灰色系统预测与决策第五章可拓决策第六章其他决策分析方法北京科技大学经济管理学院33.3模糊集合的运算3.2模糊集合与隶属函数第三章模糊决策3.1模糊数学与信息革命3.4模糊集合与普通集合的相互转化3.5模糊聚类分析3.6模糊综合评判决策北京科技大学经济管理学院43.1模糊数学与信息革命一、模糊数学的产生与发展模糊数学是研究模糊领域中事物数学化的一门崭新的数学学科。它始于1965年美国著名控制论专家扎德（L.A.Zadeh）教授的开创性论文“模糊集合”（fuzzysets）。在现实世界中，有些事物之间的关系是确定的，但有些是不确定的，而在不确定中又有随机的和模糊的。事物的精确性、随机性和模糊性这三者是普遍存在的。北京科技大学经济管理学院53.1模糊数学与信息革命一、模糊数学的产生与发展大量的模糊现象使经典数学方法显得无能为力，而模糊数学的产生与发展则为研究这些模糊现象提供了有利的数学工具。经典数学的基础可归结为集合论。根据集合论的要求，一个元素x是否属于集合A是明确的，无法处理实践中大量的不明确的模糊现象与概念。北京科技大学经济管理学院63.1模糊数学与信息革命二、模糊数学对决策科学的贡献利用模糊数学构造数学模型，来编制计算机程序与信息决策模型，可以更广泛、更深入的模拟人的思维与全方位深入挖掘各种决策信息，从而可以大大提高电子计算机的“智力”与信息决策的科学性、准确性。模糊数学的主要贡献在于，它将模糊性与数学统一在一起。它的方法不是让数学放弃严格性去迁就模糊性，而是要将数学方法深入到具有模糊现象的禁区，从而为解决一些复杂大系统涉及模糊因素的科学决策问题开辟了一条新路。北京科技大学经济管理学院73.3模糊集合的运算3.2模糊集合与隶属函数第三章模糊决策3.1模糊数学与信息革命3.4模糊集合与普通集合的相互转化3.5模糊聚类分析3.6模糊综合评判决策北京科技大学经济管理学院8一、模糊现象与模糊集合例1设X={1,2,3,4}把小数子集记为，它的元素仍为1，2，3，4，同时给出各元素在该小数子集中的隶属程度，即3.2模糊集合与隶属函数{(1|1),(2|0.8),(3|0.2),(4|0)}AA分母位置放的是论域中的元素，分子位置放的是相应元素的隶属度。当隶属度为零时，此项也可不写入。扎德又将其写成10.80.201234A北京科技大学经济管理学院93.2模糊集合与隶属函数一、模糊现象与模糊集合定义若对论域X中的每一个元素x，都规定从X到闭区间[0,1]的一个映射：A则在X上定义了一个模糊集合：A称为的隶属函数(membershipfunction)，A()Ax()Aix称为元素xi的隶属度（gradeofmembership）。北京科技大学经济管理学院10二、隶属函数的确定及其分布在例1中，X={1,2,3,4}，3.2模糊集合与隶属函数{(1|1),{2|0.8},(3|0.2),(4|0)}Ax123410.80.20()Ax可用分布列表示：()Ax110.82()0.2304Axxxxx，，，，，，，，或者写成北京科技大学经济管理学院11二、隶属函数的确定及其分布如果有人给定3.2模糊集合与隶属函数1()4-1,2,3,4,3Axxx（），11223()13304Axxxxx，，，，，，，，进而用线性函数表示：这样选取隶属函数也是无可非议的。北京科技大学经济管理学院12二、隶属函数的确定及其分布3.2模糊集合与隶属函数正态型（对称型）戒上型（偏小型）戒下型（偏大型）常见的隶属函数北京科技大学经济管理学院13函数是概率论中很重要的一种概率分布（正态分布）的概率密度函数。式中a,b都是给定的常数，在概率论中a叫做数学期望，（为标准差），e是自然对数的底。这是最常见的一种分布。二、隶属函数的确定及其分布（一）正态型（对称型）3.2模糊集合与隶属函数2()()xabAxe(0)b隶属函数形如上式的模糊集合称为正态型模糊集，以上称为正态型隶属函数。()Ax2()xabe2ba正态型隶属函数北京科技大学经济管理学院14二、隶属函数的确定及其分布（二）戒上型（偏小型）3.2模糊集合与隶属函数1,1()1()Abxcxxcaxc，，隶属函数形如上式的模糊集合（其中a0,b0）称为戒上型模糊集，以上称为戒上型隶属函数。()Axc戒上型隶属函数北京科技大学经济管理学院15二、隶属函数的确定及其分布（三）戒下型（偏大型）3.2模糊集合与隶属函数0,1()1()Abxcxxcaxc，，隶属函数形如上式的模糊集合（其中a0,b0）称为戒下型模糊集，以上称为戒下型隶属函数。()Axc戒下型隶属函数北京科技大学经济管理学院16()x年轻其中论域X=[0,200]，常数5表示以5岁为一级，是为计算方便而定的。这里，X是一个连续的实数区间。现计算几个年龄的隶属度如下:二、隶属函数的确定及其分布3.2模糊集合与隶属函数2125,1(),25200251()5xxxx年轻，0，0.040.10.50.741150403028250x例2描述“年轻”这一模糊集合，一般认为25岁以下是标准的年轻，年过25岁，则年轻的程度将递减。故应属戒上型。扎德曾给出“年轻”这个模糊集合的隶属函数为北京科技大学经济管理学院17二、隶属函数的确定及其分布3.2模糊集合与隶属函数2050,1(),50200501()5xxxx年老，0，0.970.940.80.500例2(续)扎德给出了模糊集合为“年老”的隶属函数为其隶属度可计算如下表:80706055500x()x年老北京科技大学经济管理学院18二、隶属函数的确定及其分布3.2模糊集合与隶属函数25400()300().e绿2270004600()()600200()().ee红蓝，1(5700)(5100)0.36790.37e绿绿同样可以给出红光、蓝光的隶属函数分别为例3设波长的论域U=[4000,8000](单位：)，则“红光”、绿光”、“蓝光”等都是论域U上的模糊集合。绿光波长（单位：），是标准的绿光，其分布图是以为对称的正态分布。实际描出其分布图的幅度b=300，可以给出其隶属函数为oA[4600,5700]oAo5400A5400根据上式可以标出（或5100)时淡绿光的隶属度为5700北京科技大学经济管理学院193.3模糊集合的运算3.2模糊集合与隶属函数第三章模糊决策3.1模糊数学与信息革命3.4模糊集合与普通集合的相互转化3.5模糊聚类分析3.6模糊综合评判决策北京科技大学经济管理学院203.3模糊集合的运算()0.AAx显然模糊集中的空集就是一个普通集。一、模糊集合运算的概念模糊集合（简称模糊集）的运算是普通集合（简称普通集）运算的拓广。（一）空集设有模糊集，当且仅当对于所有元素x它的隶属函数恒为零，则称为空模糊集，记做，即AAA()1.AAEx（二）全集模糊集中的全集，也是普通集，它的隶属函数是1，即北京科技大学经济管理学院21一、模糊集合运算的概念（三）等集两个模糊集和，当且仅当对于所有元素x它的隶属函数都相等时，称它们为相等，记为，则3.3模糊集合的运算BA()().ABABxxAB()().ABABxx（四）子集设有模糊集和，对于所有元素x，当且仅当时，称包含于，此时称为的子集，记为，即AB()()ABxxABBAAB当且仅当时，称真包含于，此时称为的真子集，记为。()()ABxxABABAB北京科技大学经济管理学院223.3模糊集合的运算()1().AAxx一、模糊集合运算的概念（五）补集模糊集的绝对补集记为，定义如下：具有隶属函数AA()()()BABAxxx()()1().AAAAxx或若和均为模糊集，则关于的相对补集记为，由下式ABBABA定义，其中规定。()()BAxx的模糊集称为的绝对补集，即的补集AAA北京科技大学经济管理学院23一、模糊集合运算的概念（六）并集设论域X上两模糊集和的隶属函数分别是和，它们的并是一个模糊集，用来表示，记为即3.3模糊集合的运算A()AxB()max{(),()}.CABCABxxx()max{(),()}CABxxxxX，，CAB()BxC，其隶属函数与和的隶属函数之间有关系ABxABAB1OAB北京科技大学经济管理学院24一、模糊集合运算的概念（六）并集例如设为“胖子”的模糊集，为“高个子”的模糊集，今有两人组成的集合这时，，的并集表示“或胖或高的人”的模糊集，其隶属度为3.3模糊集合的运算B2()0.80.50.8,CxCAB1122()0.5()0.6,()0.8()0.5.ABABxxxx，，111()max{(),()}0.50.60.6,CABxxx12,,XxxA他们分别属于“胖子”集合和“高个子”集合的隶属度为AB其中“”称为取大运算。AB北京科技大学经济管理学院253.3模糊集合的运算()()()ABABABxxx，上式也可表示为其中“”称为取小运算。一、模糊集合运算的概念（七）交集，的交集也是一个模糊集，记为，其隶属函数规定为，，即BDABA()min{(),()}DABxxxxZ()min{(),()}DABDABxxxABAB1xOAB北京科技大学经济管理学院26对于上述的两人集合，且一、模糊集合运算的概念（七）交集3.3模糊集合的运算12,XxxAB可有1122()0.5()0.6,()0.8()0.5.ABABxxxx，，12()0.5()0.5ABABxx，，这里，交集表示“又胖又高的人”所组成的模糊集。北京科技大学经济管理学院27一、模糊集合运算的概念定理1模糊集的运算通过它的隶属函数实现：3.3模糊集合的运算()0;()1;()();()();()1();()()();()()().AAABABAAABABABABAxAExABxxABxxAxxABxxxABxxx北京科技大学经济管理学院28一、模糊集合运算的概念例1设X={1,2,3,4}，则3.3模糊集合的运算00.20.81;1234B0.510.50;1234C0.500.51;1234C10.80.20;1234A小数集大数集较小数集不较小数集小或较小数集既小又大数集10.50.810.20.500110.50;12341234AC100.80.20.20.80100.20.20.12341234AB本例提供了将模糊语言数学化的范例。北京科技大学经济管理学院29二、模糊集合的运算性质普通集中的各种运算性质除互补律外对于模糊集也都成立，但其证明不能用文氏图或真值表，而必须利用表示模糊集特征的隶属函数来证明。定理2模糊集具有以下的运算性质：3.3模糊集合的运算,;,;()(),()();(),();AAAAAAABBAABBAABCABCABCABCAABAAABA（1）幂等律（2）交换律（3）结合律（4）吸收律北京科技大学经济管理学院30()()(),()()();();,;ABCABACABCABACAAAAABABABAB或二、模糊集合的运算性质3.3模糊