2013届中考数学考前热点聚焦《专题八 探究中考几何证明题》

专题八┃探究安徽中考几何证明题专题八┃考情分析考情分析几何证明题重在训练学生应用数学语言合情推理能力，几何证明题和计算题在中考中占有重要地位．根据新的课程标准，对几何证明题证明的方法技巧上要降低，繁琐性、难度方面要降低．但是注重考查学生的创新能力，探究能力，所以探究性几何证明题是目前较受命题专家“青睐”的题型．探究性几何证明题的特点是：(1)条件多余需要学生选择，条件不足需要学生补充；(2)一般没有明确的结论；(3)没有固定的形式和方法，需要自己通过观察、分析、比较、概括、推理、判定等探究活动来确定所需求的条件或结论或方法；(4)具有一定的综合性．安徽省在2011年和2012年第22题都从上述几何题的题型进行考查，预测在2013年中考题中仍会出现．专题八┃热点探究热考探究例1[2012·安徽]如图X8－1①，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC＝a、AC＝b、AB＝c.(1)求线段BG的长；(2)求证：DG平分∠EDF；(3)连接CG，如图X8－1②，若△BDG与△DFG相似，求证：BG⊥CG.专题八┃热点探究【题干关键词】三边的中点，周长相等．【提示】中位线定理，等式性质，等腰三角形性质，平行线性质，相似三角形的性质与判定．图X8－1专题八┃热点探究解：(1)∵D、C、F分别是△ABC三边中点，∴DE＝12AB,DF＝12AC.又∵△BDG与四边形ACDG周长相等，即BD＋DG＋BG＝AC＋CD＋DG＋AG，∴BG＝AC＋AG.∵BG＝AB－AG，∴BG＝AB＋AC2＝b＋c2.专题八┃热点探究(2)证明：BG＝b＋c2，FG＝BG－BF＝b＋c2－c2＝b2，∴FG＝DF，∴∠FDG＝∠FGD.又∵DE∥AB，∴∠EDG＝∠FGD，∴∠FDG＝∠EDG，∴DG平分∠EDF.(3)证明：在△DFG中，∠FDG＝∠FGD，△DFG是等腰三角形，∵△BDG与△DFG相似，∴△BDG是等腰三角形，∴∠B＝∠BGD，∴BD＝DG，则CD＝BD＝DG，∴GD＝12BC，∴∠BGC＝90°，∴BG⊥CG.专题八┃热点探究例2[2011·安徽]在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ(0°＜θ＜180°)，得到△A′B′C.(1)如图X8－2①，当AB∥CB′时，设A′B′与CB相交于D.证明：△A′CD是等边三角形；(2)如图X8－2②，连接A′A、B′B，设△ACA′和△BCB′的面积分别为S△ACA′和S△BCB′.求证：S△ACA′∶S△BCB′＝1∶3；(3)如图X8－2③，设AC中点为E，A′B′中点为P，AC＝a，连接EP，当θ＝________°时，EP长度最大，最大值为________．专题八┃热点探究【题干关键词】(1)含30°角的直角三角形，旋转前后三角形的边不变，(3)用不变的量研究变化的量．【提示】等边三角形的判定，相似三角形的性质，三角形中第三边小于两边之和．图X8－2专题八┃热点探究解：(1)证明：∵AB∥CB′，∴∠B′CB＝∠ABC＝30°，∴∠A′CD＝90°－30°＝60°.又∠A′＝∠A＝60°，∴∠A′DC＝60°，∴△A′CD是等边三角形．(2)证明：∵CA∶CB＝CA′∶CB′＝1∶3，而∠ACA′＝∠BCB′＝θ，∴△ACA′∽△BCB′，∴S△ACA′∶S△BCB′＝(1∶3)2＝1∶3.(3)连接CP，则CP＝12A′B′＝12×2a＝a.∵EC＋PC≥EP，∴EP≤12a＋a＝32a，当点P是A′B′中点时，∠A′CP＝60°，当∠ACP＝180°时，E、C、P三点共线，这时EP＝32a为最大，θ＝180°－60°＝120°.专题八┃热点探究例3[2011·永州]探究问题：(1)方法感悟如图X8－3①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF＝45°，连接EF.求证：DE＋BF＝EF.感悟解题方法，并完成下列填空：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，∴∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，因此，点G，B，F在同一条直线上．专题八┃热点探究∵∠EAF＝45°，∴∠2＋∠3＝∠BAD－∠EAF＝90°－45°＝45°.∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝45°.即∠GAF＝∠________.又AG＝AE，AF＝AF，∴△GAF≌________.∴________＝EF，故DE＋BF＝EF.专题八┃热点探究(2)方法迁移如图X8－3②，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF＝12∠DAB.试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．(3)问题拓展如图X8－3③，在四边形ABCD中，AB＝AD，E，F分别为DC，BC上的点，满足∠EAF＝12∠DAB，试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE＋BF＝EF.请直接写出你的猜想(不必说明理由)．专题八┃热点探究【题干关键词】正方形，∠EAF＝45°，旋转，翻折．【提示】全等三角形，类比，轴对称和旋转．图X8－3专题八┃热点探究解：(1)EAF△EAFGF(2)DE＋BF＝EF，理由如下：假设∠BAD的度数为m，将△ADE绕点A顺时针旋转m°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，∴∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，因此，点G，B，F在同一条直线上．专题八┃热点探究∵∠EAF＝12m，∴∠2＋∠3＝∠BAD－∠EAF＝m－12m＝12m.∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝12m，即∠GAF＝∠EAF.又∵AG＝AE，AF＝AF，∴△GAF≌△EAF，∴GF＝EF.又∵GF＝BG＋BF＝DE＋BF，∴DE＋BF＝EF.(3)当∠B与∠D互补时，可使得DE＋BF＝EF.专题八┃热点探究例4[2012·山西]问题情境将一副直角三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)按图X8－4①所示的方式摆放，其中∠ACB＝90°，CA＝CB，∠FDE＝90°，O是AB的中点，点D与点O重合，DF⊥AC于点M，DE⊥BC于点N，试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由．探究展示小宇同学展示出如下正确的解法：解：OM＝ON，证明如下：连接CO，则CO是AB边上中线，∵CA＝CB，∴CO是∠ACB的平分线．(依据1)∵OM⊥AC，ON⊥BC，∴OM＝ON.(依据2)专题八┃热点探究反思交流(1)上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：__________________________________________，依据2：___________________________________________.(2)你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程．拓展延伸(3)将图X8－4①中的Rt△DEF沿着射线BA的方向平移至如图X8－4②所示的位置，使点D落在BA的延长线上，FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M，BC的延长线与DE垂直相交于点N，连接OM、ON，试判断线段OM、ON的数量关系与位置关系，并写出证明过程．专题八┃热点探究[题干关键词]一副直角三角板，中点，重合，垂直等．[提示]等腰三角形的性质(三线合一)和角平分线的性质，三角形全等．图X8－4专题八┃热点探究解：(1)等腰三角形三线合一(或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合)，角平分线上的点到角两边的距离相等．(2)证明：∵CA＝CB，∴∠A＝∠B.∵O是AB的中点，∴OA＝OB.∵DF⊥AC，DE⊥BC，∴∠AMO＝∠BNO＝90°.∵在△OMA和△ONB中，∠A＝∠B，OA＝OB，∠AMO＝∠BNO，∴△OMA≌△ONB(AAS)，∴OM＝ON.专题八┃热点探究(3)OM＝ON，OM⊥ON.证明：连接CO，则CO是AB边上的中线．∵∠ACB＝90°，∴OC＝12AB＝OB.又∵CA＝CB，∴∠CAB＝∠B＝45°，∠1＝∠2＝45°，∠AOC＝∠BOC＝90°，∴∠2＝∠B.∵BN⊥DE，∴∠BND＝90°.专题八┃热点探究又∵∠B＝45°，∴∠3＝45°，∴∠3＝∠B，∴DN＝NB.∵∠ACB＝90°，∴∠NCM＝90°.又∵BN⊥DE，∴∠DNC＝90°，∴四边形DMCN是矩形，∴DN＝MC，∴MC＝NB，∴△MOC≌△NOB(SAS)，∴OM＝ON，∠MOC＝∠NOB，∴∠MOC－∠CON＝∠NOB－∠CON，即∠MON＝∠BOC＝90°，∴OM⊥ON.