3.3.1函数的单调性与导数(含参数问题)

3.3.1函数的单调性与导数例1已知导函数的下列信息:当1x4时,当x4,或x1时,当x=4,或x=1时,)(xf;0)(xf;0)(xf.0)(xf试画出函数的图象的大致形状.)(xf解:当1x4时,可知在此区间内单调递增;()0,fx()fx当x4,或x1时,可知在此区间内单调递减;()0,fx)(xf当x=4,或x=1时,.0)(xf综上,函数图象的大致形状如右图所示.)(xfxyO14题型：应用导数信息确定函数大致图象已知导函数的下列信息：23'()0;32'()0;32'()0.xfxxxfxxxfx当时，当或时，当或时，试画出函数图象的大致形状。()fx分析：()fx在此区间递减()fx在此区间递增()fxx图象在此两处附近几乎没有升降变化,切线平行轴ABxyo23()yfx题型：应用导数信息确定函数大致图象ABxyo23()yfx已知导函数的下列信息：23'()0;32'()0;32'()0.xfxxxfxxxfx当时，当或时，当或时，试画出函数图象的大致形状。()fx分析：()fx在此区间递减()fx在此区间递增()fxx图象在此两处附近几乎没有升降变化,切线平行轴ABxyo23()yfx题型：应用导数信息确定函数大致图象解：的大致形状如右图：()fx这里，称A,B两点为“临界点”xyo12()yfxxyo12()yfxxyo12()yfxxyo12()yfxxyo'()yfx2(A)(B)(C)(D)C(04浙江理工类)练习：设是函数的导函数，的图象如右图所示,则的图象最有可能的是()()fx'()fx'()yfx()yfx练习1.求证:函数在内是减函数.762)(23xxxf解:32()267fxxx2()612.fxxx)2,0(由,解得,所以函数的递减区间是,即函数在内是减函数.0)(xf20x)(xf)2,0()2,0()(xf函数单调性与导数的关系1.如果在区间(a,b)内f’(x)0(f’(x)0),那么函数f(x)在(a,b)内为增函数（减函数）2.如果函数f(x)在(a,b)内为增函数（减函数）,那么f’(x)≥0(f’(x)≤0）在区间(a,b)内恒成立。325ax-xx-例1：求参数的范围若函数f(x)在(-,+)上单调递增，求a的取值范围题型：根据函数的单调性求参数的取值范围325f(x)ax-xx-,解：在(-,+)上单调递增23210f'(x)ax-x在(-,+)上恒成立。04120aa13a练习1：已知函数f(x)=ax³+3x²-x+1在R上是减函数，求a的取值范围。解：f(x)=ax³+3x²-x+1在R上是减函数，∴f’(x)=3ax2+6x-1≤0在R上恒成立，∴a0且△=36+12a≤0，∴a≤-32120101fxaxx,,fxxx,a.例2：已知函数（），(]若（）在(]上是增函数，求的取值范围322f'xax解：()∵函数在（0，1]上单调递增f'x()0,31gxx而()在（0，1]上单调递增，1a-gxgmax()(1)=-1所以a的范围是[-1，+）31a-xx即在（0，1]上恒成立43(g'xx()0在（0，1]上恒成立）320fxax-xxafxa练习2已知函数()=，(0,1],,若()在（0，1]上是增函数，求的取值范围。,3[)232fxax-x解：()=在（0，1]上是增函数，2230f'xa-x()=在（0，1]上恒成立，232ax即：在（0，1]上恒成立，23322g(x)x而在（0，1]上的最大值为，32a。综合训练cossin335()(,)()(,2)()(,)()(2,3)2222yxxxABCD1.函数在下面哪个区间内是增函数()33(,)332.函数y=a(x3-x)的减区间为则a的取值范围为()(A)a0(B)–1a1(C)a1(D)0a1)33,33(AB3.已知函数232()4()3fxxaxxxR在区间1,1上是增函数，求实数a的取值范围．3.已知函数232()4()3fxxaxxxR在区间1,1上是增函数，求实数a的取值范围．解：2()422fxaxx，因为fx在区间1,1上是增函数，所以()0≥fx对1,1x恒成立，即220≤xax对1,1x恒成立，解之得：11≤≤a所以实数a的取值范围为1,1．说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则()0fx≥；若函数单调递减，则()0fx≤”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．