同济大学2009-2016高数B期末考试题

1同济大学2009-2010学年第一学期高等数学B(上)期终试卷一.填空题(4'416')1.设函数()fx具有二阶导数,且1'0,'dxydyy,则223'dxydyy.2.设函数()fu为可导函数,且'(0)0f,由参数方程3(sin2)(1)txftyfe所确定的函数的导数032tdydx.3.极限111lim()ln212nnnnn.4.微分方程225'6sinxyyyxex的特解形式为(不需确定系数)2()cos2sin2xxAxBeCxDxE.二．选择题(4'416')5.设函数sin()bxxfxae在(,)内连续,且lim()0xfx,则常数,ab满足:[D].()0,0Aab;()0,0Bab;()0,0Cab;()0,0Dab6.曲线1ln(1)xyex,[D]()A没有水平渐近线但有铅直渐近线;()B没有铅直渐近线但有水平渐近线;()C没有水平和铅直渐近线;()D有水平和铅直渐近线7.将0x时的无穷小量2000sin,tan,(1)xxxttdttdtedt排列起来,使得后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列顺序是:[C](),,A;(),,B;(),,C;(),,D8.设函数()fx在点0x的某个邻域内有定义,且20()(0)0,lim2xfxfx,则在该点处()fx:[C]()A不可导;()B可导且'(0)0f;()C取得极大值;()D取得极小值.2三.解答题(7'428')9.求极限30sinsin(sin)limxxxx,[30sin1lim6tttt]10.计算定积分240tansecxxxdx[224400111(tan)(sec1)28242xdxxdx]11.计算反常积分221arctan(1)xdxxx[2212210111113()arctanarctan()[arctan]ln2124232xdxxdxxxx]12.试求微分方程221(1)dyyxydxx的通解[221111()'()1(ln)2xxxxcyxyy]四.(8')求曲线lnyx上的点,使此曲线在该点的曲率半径为最小.[312222221(1)(1)(21)21(0)'(,ln2)22xxxRxRKxx]五.(8')设不定积分21nnxIdxx,(1)计算01,II;(2)利用变换sinxt,建立(2,3,4,)nIn的递推公式[(1)201arcsin,1IxcIx;[(2)122111nnnnIIxxcnn]六.(8')设函数(),()fxgx在[,]ab上连续,且在[,]ab上()0gx,证明至少存在一点[,]ab,使()()()()babafxgxdxfgxdx.[minmax()()()babafxgxdxffgxdx]七.(8')过坐标原点作曲线21(0)yxx的切线,记该切线与此曲线及y轴所围成的平面图形为D,试求:(1)平面图形D的面积;(2)平面图形D绕直线1x旋转一周所成的旋转体的体积,[12,,32yxSV]八.(8')已知22123,,xxxxxxxyxeeyxeeyxeee是某个二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,试写出该微分方程的通解并建立此微分方程.[212,'2(12)xxxxycecexeyyyxe]3同济大学2010-2011学年第一学期高等数学B(上)期终试卷一.填空题(4'416')1.已知极限lim()xefx存在,且函数()fx满足:ln1()lim()()exexexxfxfxxee,则2lim()1xeefxe.2.设函数2()ln(23)fxxx,则()11(2)(1)(1)!(1)5nnnfn.3.不定积分1tan1(tanlntan)sin22xdxxxCx.4.定积分sin2sincos03334xxxdx.二.选择题(4'416')5.曲线32331(1)31txtttyt的斜渐近线方程为[A]:1Ayx;:1Byx;:1Cyx;:1Dyx.6.曲线22162yxx上点(2,0)P处曲率K[B]:0A;:16B;1:16C;:4D.7.设()fx为(,)内连续的偶函数,'()()Fxfx,则原函数()Fx[C]:A均为奇函数;:B均为偶函数;:C中只一个奇函数;:D既非奇函数也非偶函数.8.设1s为曲线sinyx上相应于02x的一段弧长,2s为椭圆2222xy的周长,则[D]12:Ass;12:Bss;12:Css;12:Dss.三.解答题(4'728')9.求极限302cos()13limxxxx.[2cosln333001(cos1)1limlim36xxxxexxxx]410.设()fx是(,)内的连续的奇函数,且0()lim2xfxx,证明()fx在0x处可导,并求'(0)f.[00()(0)()(0)(0)0,limlim2'(0)00xxfxffxfffxx]11.求定积分21[]max{1,}xxedx,其中[]x表示不超过x的最大整数.[01210102xIedxdxdxe]12.判定反常积分2ln1exdxx的收敛性,如果收敛,求出其值.[21ln111(ln1)()[]eexIxdxxxe]四.(8')设()fx是(,)内的连续函数,且(0)0f,试求极限000()lim()xxxtfxtdtxfxtdt.[0000000()()()()1limlimlim[()()]2()()()xxxxxxxxxfuduufudufuduxfxfxfxfuduxfxfudu]五.(8')设可积函数()fx在(,)内满足关系式:()()sinfxfxx,且当[0,)x时()fxx,试求3()fxdx.[2322(sin)(2)2Ixxdxxdx]六.(8')设n为正整数,函数2lim,0()100nxnxxfxexx,求曲线()yfx与直线2xy所围平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积.[122202001()[()()]()1283,01xxxfxVdxxxxx]七.(8')求微分方程223(1)20dyxyxydx的通解.[22231111()'()()xxxCyyyy]八.(8')令sinxt,化简微分方程22arcsin2(1)xdydyxxyedxdx,并求其通解.[22222311sin,coscoscosdydydydydytdxdttdxdttdtt2arcsinarcsinarcsin122arcsin2txxxdyxyeyCeCeedt]5同济大学2011-2012学年第一学期高等数学B(上)期终试卷一.填空选择题(3'824')1.极限31lim()2xxxex.2.若极限000(2)()lim3hfxhfxh,则03'()2fx.3.积分2232216(4)3xxxdx.4.积分2cos2cos1sin2xxxedxeC.5.微分方程44'0yyy的通解为1212()xycxce.6.记41sinIxdx,22sinIxdx,23Ixdx,21sinIxxdx.则这4项积分的大小关系为[B]()A2134IIII;()B3214IIII;()C4132IIII;()D1243IIII.7.下列反常积分中收敛的反常积分是[A]211()2Adxx;1()ln2eBdxxx;()sinCxdx;101()1Ddxx8.若函数23ln(1)ln2,1()11xxfxxax在1x连续,则常数[D]()A23a;()B23a;()C13a;()D13a.二.解答题(6'530')1.计算由曲线2yx与直线340xy所围平面图形的面积.[21141(2)336Axxdx]2.若函数()ux与()vx具有n阶导数,试写出()()uxvx计算n阶导数的莱布尼茨公式,计算2xxe的10阶导数.[()()()2(10)1020[()()];()2(5)nnkknkxxnkuxvxCuvxeex]63.求函数2()(5)xfxxxe的单调区间以及函数的极大与极小值.[4maxmin'(4)(1)(,4],[1,);[4,1];(4)7;(1)3xfxxefefe]4.计算反常积分221ln(1)xdxx.[ln22I]5.求微分方程22'31,(0),'(0)73yyyyy的解.[331211233xxxxyceceee]三.(8')在长度单位为米的坐标中,由方程21xy与直线220xy围成的薄片铅直的浸入水中,其中x轴平行于水面且在水下1米深处,试求该薄片的一侧所受的水压力.[121(1)(221)4Pgyyydyg]四.(10')求积分10ln(1)xxdx,[28ln2393I]五.(10')1.试求常数,ab,使得函数在=201,12xxyxaxb在区间[0,2]上可导;2.若由该曲线段绕y轴旋转形成一个容器,如果每单位时间以常量0v向容器均匀的注水,试求该容器在水溢出前水深为h时水面的上升速度.[2,1ab;0220002,01()()'()''4,13(1)hvhhVhxydyvVxhhhvhh]六.(10')要建一个容积为14,侧面为圆柱形,顶部接着一个半球形的仓库(不含底部),已知顶部每平方单位的造价是其侧面圆柱部分单位造价的3倍,试求该仓库的底圆半径,使得该仓库的造价最省.[2223frhr,232322814314(),'()0,33rhrfrrfrrr]七.(8')函数()fx在0[,)x上具有二阶导数,并且()0fx,对于任意0xx,由拉格朗日中值定理,存在0xx,使得00()()'()()fxfxfxx.证明定义了0(,)x上的一个单调增加函数.['()fx递减()x唯一确定(函数);又可证00()()fxfxxx,可得()x递增]7同济大学2012-2013学年第一学期高等数学B(上)期终试卷一.填空选择题(3'8)1.函数()xfxxe的四阶带佩亚诺余项的麦克劳林公式为234411()()26fxxxxxox2.2(1)xyex在1x所对应点的曲率1025K3.极限lim(1ln)xaaxaaxaaax4.由方程222yyxx所确定的函数()yyx在(1,0)点的导数(1,0)32dydx5.函数()fx在[0,)上连续,则数列极限lim()nfn存在是函数极限lim()xfx存在的什么条件?[B]()A充分条件;()B必要条件;()C充分必