广东省2017中考数学第一部分中考基础复习第四章图形的认识第4讲圆第1课时圆的基本性质复习课件

第4讲圆第1课时圆的基本性质1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念.2.探索圆周角与圆心角及其所对的弧的关系.3.了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补.要点内容圆的基本概念同心圆圆心相同、半径不等的圆叫做同心圆等圆能够重合的两个圆叫做等圆半圆圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧弦连接圆上任意两点的线段叫做弦直径经过圆心的弦叫做直径弦心距圆心到弦的距离叫做弦心距圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角圆周角顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角要点内容垂径定理及其推论定理垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧弧、弦、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等推论在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等弧的度数等于它所对圆心角的度数(续表)要点内容圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半推论同弧或等弧所对的圆周角相等半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径圆内接四边形性质圆内接四边形的对角互补，圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角(和它相邻的内角的对角)(续表)垂径定理及其应用例1：(2016年湖北黄石)如图4-4-1，⊙O的半径为13，弦)AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON＝(图4-4-1A.5B.7C.9D.11[思路分析]根据⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，可以求得AN的长，从而可以求得ON的长.解：由题意，得OA＝13，∠ONA＝90°，AB＝24.答案：A∴AN＝12，∴ON＝OA2－AN2＝132－122＝5.【试题精选】1.如图4-4-2，在半径为5cm的⊙O中，弦AB＝6cm，OC⊥AB于点C，则OC＝()图4-4-2A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm答案：B2.如图4-4-3，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝8，CD＝6，则BE＝________.图4-4-3答案：4－7[解题技巧]垂径定理及其推论是证明两线段相等、两条弧相等及两直线垂直的重要依据之一，在有关弦长的计算中常常需要添加辅助线(半径或弦心距).利用垂径定理及其推论(“平分弦”为条件时，弦不能是直径)，将其转化为直角三角形，应用勾股定理计算.圆心角、圆周角、弦、弧间的关系例2：(2015年浙江台州)如图4-4-4，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC＝BC＝DC.(1)若∠CBD＝39°，求∠BAD的度数；(2)求证：∠1＝∠2.图4-4-4解：(1)∵BC＝DC，∴∠CBD＝∠CDB＝39°.∵∠BAC＝∠CDB＝39°，∠CAD＝∠CBD＝39°，∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝39°＋39°＝78°.(2)∵EC＝BC，∴∠CEB＝∠CBE.而∠CEB＝∠2＋∠BAE，∠CBE＝∠1＋∠CBD，∴∠2＋∠BAE＝∠1＋∠CBD.∵∠BAE＝∠CBD，∴∠1＝∠2.[易错陷阱]运用圆周角定理计算时，注意在同圆或等圆的前提下，同弧或相等的弧所对的圆周角相等，正确找出弧和角之间的关系是解题的关键.【试题精选】3.(2016年浙江绍兴)如图4-4-5，BD是⊙O的直径，点A，图4-4-5A.60°B.45°C.35°D.30°答案：DC在⊙O上，AB＝BC，∠AOB＝60°，则∠BDC的度数是()A.51°B.56°C.68°D.78°答案：A图4-4-64.(2016年山东绥化)如图4­4­6，AB是⊙O的直径，BC＝CD＝DE，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是()5.(2015年广西柳州)如图4-4-7，BC是⊙O的直径，点A)是⊙O上异于B，C的一点，则∠A的度数为(图4-4-7A.60°B.70°C.80°D.90°答案：D)∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是(图4-4-8A.40°B.30°C.20°D.15°答案：C6.(2016年山东济宁)如图4­4­8，在⊙O中，AB＝AC，1.(2014年广东)如图4-4-9，在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为________.图4-4-9答案：32.(2012年广东)如图4-4-10，A，B，C是⊙O上的三个点，∠ABC＝25°，则∠AOC的度数是________.图4-4-10答案：50°3.(2016年广东)如图4-4-11，点P是四边形ABCD外接圆⊙O上任意一点，且不与四边形顶点重合，若AD是⊙O的直径，AB＝BC＝CD，连接PA，PB，PC，若PA＝a，则点A到PB和PC的距离之和AE＋AF＝__________.图4-4-11答案：3＋12a4.(2015年广东)⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过的中点P作⊙O的直径PG交弦BC于点D，连接AG，CP，PB.(1)如图4-4-12(1)，若D是线段OP的中点，求∠BAC的度数；(2)如图4-4-12(2)，在DG上取一点K，使DK＝DP，连接CK，求证：四边形AGKC是平行四边形；(3)如图4-4-12(3)，取CP的中点E，连接ED并延长ED交AB于点H，连接PH，求证：PH⊥AB.BC(1)(2)(3)图4-4-12(1)解：∵点P为BC的中点，AB为⊙O直径，∴BP＝PC，PG⊥BC，CD＝BD.∴∠ODB＝90°.∵D为OP的中点，∴OD＝12OP＝12OB.∴∠BOD＝60°.∵AB为⊙O直径，∴∠ACB＝90°.∴∠ACB＝∠ODB.∴AC∥PG.∴∠BAC＝∠BOD＝60°.(2)证明：由(1)知，CD＝BD.∴cos∠BOD＝ODOB＝12.在△PDB和△KDC中，CD＝BD，∠BDP＝∠CDK，DP＝DK，∴△PDB≌△KDC(SAS).∴CK＝BP，∠OPB＝∠CKD.∵∠AOG＝∠BOP，∴AG＝BP.∴AG＝CK.∵OP＝OB，∴∠OPB＝∠OBP.又∵∠G＝∠OBP.∴∠G＝∠OPB.∴∠G＝∠CKD.∴AG∥CK.∴四边形AGKC是平行四边形.(3)证明：∵CE＝PE，CD＝BD，∴DE∥PB，即DH∥PB.∵∠G＝∠OPB，∴PB∥AG.∴DH∥AG.∴∠OAG＝∠OHD.∵OA＝OG.∴∠OAG＝∠G.∴∠ODH＝∠OHD.∴OD＝OH.∴△OBD≌△OPH(SAS).∴∠OHP＝∠ODB＝90°.∴PH⊥AB.在△OBD和△OPH中，OD＝OH，∠BOD＝∠POH，OB＝OP，