电动力学复习

第零章预备知识—矢量场论要求：掌握梯度、散度、旋度三个重要概念，理解在不同坐标系中不同的表达形式，了解他们之间的关系；掌握高斯定理和斯托克斯定理，能够熟练进行二阶微分运算和算符运算。重点：梯度、散度、旋度三个重要概念；高斯定理和斯托克斯定理。难点：梯度、散度、旋度在柱坐标和球坐标中的表达式；高斯定理和斯托克斯定理；二阶微分运算和算符运算。主要内容方向导数：方向导数是标量函数)(x在一点处沿任意方向对距离的变化率。lpplll)()(limlim1200（1）梯度：在某点沿某一确定方向取得)(x在该点的最大方向导数。nnˆgrad（2）散度：矢量场)(xA在V中单位体积的平均通量，或者平均发散量的极限。VsdAAAsV0limdiv（3）旋度：单位面积平均环流的极限。nsldAAALsˆlimrot0（4）梯度在不同坐标系中的表达形式：笛卡儿坐标系zeyexezyx（5）2柱坐标系zererezr1（6）球坐标系sin11rererer（7）散度在不同坐标系中的表达形式：笛卡儿坐标系zAyAxAAzyx（8）柱坐标系zAArrArrAzr1)(1（9）球坐标系ArArArrrArsin1)(sinsin1)(122（10）旋度在不同坐标系中的表达形式：笛卡儿坐标系zyxzyxAAAzyxeeeA（11）柱坐标系erAzAezAArArAAzrereerAzrrzzrzr)()1(11（12）3球坐标系eArArrerArAreAArArrAArrerereArrrrr)(1)(sin11)(sinsin1sin1sin1sin12（13）高斯定理：VsdVAsdA（14）斯托克斯定理：sLsdAsdA)(（15）二阶微分运算：笛卡儿坐标系zzyyxxeAeAeAAzyx)()()(22222222222（16）柱坐标系zzrreAeAeAAzuurrurrru)()()(1)(12222222222（17）球坐标系eAeAeAAururrurrrurr)()()(sin1)(sinsin1)(1222222222222（18）4格林定理svdvsdI)()(2定理（19）svdvsdII)()()(22定理（20）算符的运算(1）0)((2)0)(g(3))((4)ggg)((5)ggg)((6))()()(fggffg这里用到了常矢运算法则)()()(bacacbcba（7）fgfggfgffg)()()()()(这里用到了常矢运算法则：（8）常用几个公式设222)()()(zzyyxxrrrzreyrexrerzyx31rrrcbabcacba)()()(fgfggfgffg)()()()()()()()(zzeyyexxexxrzyx)0()0(403rrrr3r0r5arararaararra)()()()()()(0)1()1(3rrrr为常矢aaIarara)(为常矢kE,0)cos()cos()()cos()sin()(sin)()sin(000000rkEkkrkErkrkErkErkErkErkirkirkirkirkirkieEkiEekiErkieEeeEeE0000)()(0)(0)()(6第一章电磁现象的普遍规律要求：掌握电荷守恒定律、洛仑兹力公式、麦克斯韦方程组、边值关系;了解麦克斯韦方程组建立的实验定律基础和过程；并理解介质的电磁性质方程和电磁场与带电物质之间能量守恒。重点：电荷守恒定律、洛仑兹力公式、麦克斯韦方程组、边值关系。难点：麦克斯韦方程组建立的实验定律基础和过程；电磁场与带电物质之间能量守恒。主要内容电荷守恒定律：VSddtdsdj（1）0tj（2）库仑定律：1221321041VVddrrF（3）安培定律：12321211122021)(4rrldIldIF（4）毕奥——萨伐尔定律：LrrldIxB304)(（5）法拉第电磁感应定律：7SLsdtBldE感（6）洛仑兹力：)(BvEqFFFme（7）)(BvEf（8）麦克斯韦方程组：真空中00000tEjBBtBEE（9）010000SVSLsLSsdBQdvsdEIsdjldBsdBdtdldE（10）介质中tDjHBtBEDff0（11）80SfSLSfLSsdBQsdDsdDdtdIldHsdBdtdldE（12）边界关系0)(ˆ)(ˆ)(ˆ0)(ˆ12121212BBnDDnHHnEEnff（13）介质中电磁性质方程：EjHBED（14）能量密度：)(21BHDEw（15）能流密度：HES（16）玻印廷定理：VSVwddtdsdSdwtSdtdU机（17）意义：体积V内带电体的机械能的增加，等于从区域V的界面S流进去的能量减去区域V内电磁场能量的增加9第二章静电场要求：掌握电标势概念及其微分方程（泊松方程和亥姆霍兹方程）；理解掌握唯一性定理、分离变量法、镜像法;了解格林函数法、电多极矩法。重点：电标势概念及其微分方程，唯一性定理、分离变量法、镜像法、格林函数法、电多极矩法。难点：格林函数法、电多极矩法。主要内容电标势概念及其微分方程：概念E（1）微分方程2（2）边界关系SSSSnn112212（3）唯一性定理：介质中：设区域V内给定自由电荷分布,)(x在V的边界S上给定：（i）电势或S（ii）电势的法向导数Sn，则V内的电场唯一地被确定。导体存在的情况：A类问题：已知区域V中电荷分布)(x，及所有导体的形状和排列；每个导体的电势都给定。B类问题：已知区域V中电荷分布)(x，及所有导体的形状和排列；每个导体10的总电荷都给定。则V内的电场唯一地被确定。分离变量法：应用条件：自由电荷全聚集在边界上，也就是说：在要求解电场区域没有自由电荷(泊松方程转变为拉布拉斯方程)+边界条件。拉普拉斯方程02（4）笛卡儿坐标系中拉普拉斯方程及其解02222222zyx（5）设)()()(),,(zZyYxXzyx)sincos()sincos()sincos(),,(212121zkCzkCykBykBxkAxkAzyxzzyyxx（6）或：)(;),,(222yxzzikyikxikkkkeeezyxzyx（7）柱坐标系中拉普拉斯方程及其解01)(1222222zrrrrr（8）)sinh()cosh()sin()cos()()(),,(212121kzCkzCnBnBkrNAkrJAzrmm（9）其中)sin()()()cos()()()1(!)2()1()(02mkrJkrJmkrNnmnkrkrJmmmnnmnm为伽马函数（10）11球坐标系中拉普拉斯方程及其解0sin1)(sinsin1)(122222222rrrrrr（11）mnmnnnmnnmmnmnnnmnnmmPrDrCmPrBrAr,1,1)sin()(cos)()cos()(cos)(),,(（12）轴对称系统01)(cos)(),(nnnnnnPrBrAr（13）球对称系统)(rBAr（14）例1：在均匀外电场0E中置入一自由电荷体密度为f的绝缘介质球，介质球的绝对介电常数为，写出该问题的定解条件。解：f12022有限值01|RcosE|002rR－00||21RRRR00||201RrRrrr例2：如图所示，电容率为的介质球置于均匀外电场0E中，设球半径为0R，球外为真空，试用分离变量法求介质球内外的电势。解：设球半径为R0。以球心为原点，以0E方向为极轴建立球坐标系。以1代表球外区域的电势，2代表球内区域的电势，1、2均满足拉普拉斯方程，通解为：)(cos11nnnnnnPRbRa)(cos12nnnnnnPRdRc12由边界条件：0|EER，)(coscos|1001RPERER得：01Ea，0na，)1(n由边界条件：02|R为有限，得0nd在0RR处，21，RR//210将（1）（2）代入，并比较Pn的系数，得：3000012REb，000123Ec，)1(,0ncbnn由此，23000001cos2cosRREREcos230002RE镜像法应用条件：在求解区域内没有自由电荷，或者只有有限几个点电荷，并且区域边界或介质界面规则(电场能用等效电荷代替)+边界条件。主要是单导体平面，导体球面等。对于两个导体平面构成的劈形满足像电荷数为1)2(，并且只有偶数2才能用镜像法求解，其中α为两导体平面间夹角。例3：一个内外半径分别为1R和2R的接地空心导体球，在球内离球心为a(1Ra)处置一点电荷Q。用镜象法求电势分布。解：假设可以用球外一个假想电荷'Q代替球内表