Rasch-model-and-analysis

637國立政治大學「教育與心理研究」2004年12月，27卷4期，頁637-694Rasch測量理論與其在教育和心理之應用**王文中*摘要本文闡述Rasch模式（Rasch,1960）之基本原理、發展、應用、網路資源。首先，利用牛頓第二運動定律，說明Rasch模式中的量尺具有客觀等距的特性。接著比較Rasch模式與多參數試題反應模式之異同，和評論Rasch模式在測驗實務上的影響。從六大趨勢中，勾勒出Rasch模式近年來之發展。透過數個實證資料分析，具體說明Rasch模式之應用。最後，本文簡單條列國內學者近五年在此一領域之期刊論文、國內外相關的書籍、期刊、學術研討會、電腦軟體及網站等資源。關鍵字：心理測量、客觀測量、等距量尺、試題反應理論、古典測驗理論*王文中：中正大學心理學系教授**2004年度專題論文邀稿電子郵件：[e-mail]638JournalofEducation&PsychologyDecember,2004,Vol.27No.4,pp.637-694RaschMeasurementTheoryandApplicationinEducationandPsychologyWen-ChungWang*AbstractThispaperdescribesthefoundations,developments,applicationsandresourcesoftheRaschmodel(Rasch,1960).UsingNewton’sSecondLawofMotion,IshowhowthescaleoftheRaschmodelisobjectiveandinterval.ThesimilarityanddifferencebetweentheRaschmodelandmulti-parameterlogisticmodelsareaddressed.ImpactsoftheRaschmodelontestingpracticearecommented.SixmajortrendsinthedevelopmentsoftheRaschmodelareoutlined.ApplicationsofthefamilyofRaschmodelsareillustratedthroughseveralempiricalexamples.Finally,academicjournalpapersofdomesticresearchersinrecentfiveyearsonthetopicsoftheRaschmodelanditemresponsetheoryarelisted.Relevanttextbooks,journals,conferences,computerprograms,andwebsitesarebrieflyintroduced.Keywords:psychologicalmeasurement,objectivemeasurement,intervalscale,itemresponsetheory,classicaltesttheory*Wen-ChungWang:Professor,DepartmentofPsychology,NationalChungChengUniversityE-mail:[e-mail]測量理論與其在教育和心理之應用639壹、緒論在社會科學的研究裡，常會使用客觀的能力測驗或主觀的自陳量表（含問卷）來測量人的能力、態度、意見、人格特質等。在分數報告方面，則通常使用原始分數（或其線性轉換，如T分數）。例如答對多少考題，就得多少分數（每題1分）。又如使用李克特氏量尺（Likert-typescale）或評等量尺（ratingscale），常將點數視為等距分數，如非常不同意（1分）、有點不同意（2分）、普通（3分）、有點同意（4分）、非常同意（5分）。然後將所有題目的得分加總，代表受試者的程度。有了總分之後，就可以比較個別差異（例如張三的程度比李四來得高10分），或評估改變（張三比過去進步5分），還可以進行團體比較（如女生的平均數比男生高3分）。這些做法都有個基本的假定：這些分數屬於等距量尺。但仔細一想，這些分數並沒有等距的證據，頂多只能說是順序量尺而已。果真如此，以上的這些做法都是有問題的。舉例而言，張三比李四多答對10題，因此差距10分。我們用10分來代表他們之間的差異。如果命題者可以在他們的程度之間，出很多的考題，而且這些考題難度基本上都是張三可以答對，但李四會答錯，那麼他們之間的差異分數可以變得非常之大，我們就會認為他們兩人的差異非常之大。反之，如果這樣的題目很少，那麼他們分數的差異會變得很小，甚至沒有差異。因此用答對題數來表示個別差異顯然是有問題的。又如用答對題數的差異（如5分），來表示張三的進步情形，也是有問題的。假設命題者可以在張三前後的變化程度之間，出很多的考題，而且都是張三前測時，不會作答，後測時都會答對的題目。那麼張三的進步分數可以變得非常大。反之，如果這類的題目很少，張三的進步分數變得很少，甚至沒有變化。同理可以說明用原始分數來表示團體間的差異或進步，也是有問題的。傳統的做法用測驗的得分來定義受試者的程度，用答對率（或同意的比率）來定義題目的難度（閾值）。如果測驗很簡單，受試者的得分就高，因此程度很好。反之，如果測驗很困難，受試者的得分就低，因此程度很差。到底受試者的程度是好是差，取決於測驗的特性，因此是測驗依賴（testdepend-ent）。同理，在判斷題目難度時，如果受試者的程度很差，答對率就低，因此該題難度就很高。反之，如果受試者程度很好，答對率就高，該題目就變得很簡單。到底題目是難是易，取決於受試者樣本的特性，因此是樣本依賴（sam-ple-dependent）。總而言之，受試者的能力估計和題目的難度估計是彼此干擾，沒有「客觀」可言，當然也就得不640教育與心理研究27卷4期到等距的量尺。當以上這些問題無法有效解決時，所得到的測驗分數也沒有多大的價值，後續的分析恐怕都是有問題的。自然科學裡的量尺會這樣互相干擾，沒有客觀和等距特性嗎？現以牛頓第二運動定律為例，說明要如何才能達到客觀等距的境界。牛頓第二運動定律說：力是質量和加速度的乘積。即：F=ma(1)其中F是力，m是質量，a是加速度。假設有兩力F1和F2施於同一物體，則：F1=ma1(2)F2=ma2(3)兩力相除，得到：111222==FmaaFmaa(4)不管該物體的質量是什麼（鉛球或籃球），兩個力的比值都等於兩個加速度的比值。也就是說，力的測量不會受到物體質量的干擾，亦即是客觀測量（objectivemeasurement）。此外，不管當初F1和F2是非常大的力（來自兩個大力士），還是很小的力（來自兩位小孩），F1和F2的比率都是a1/a2。也就是說，力的量尺是比率量尺（ratioscale）。如果力的測量受到物體質量的干擾，將會是怎樣的情形。例如推鉛球時，張三的加速度是李四的兩倍。但是用同樣的力推籃球時，張三的加速度卻是李四的三倍。用同樣的力推足球時，張三的加速度是李四的四分之一倍，那麼要如何說明張三的力是李四的幾倍呢？此時，只能說無法量化張三和李四的力，或者說對他們的測量失敗。現將公式(1)取自然對數log，則：loglogloglog()=()=()+()Fmama(5)⇒=+F'm'a'同樣的，有兩力1'F和2'F施於同一物體，則：11=+'''Fma(6)22=+'''Fma(7)兩力相減，得到：''''''''121212−=(+)−(+)=−FFmamaaa(8)亦即'F的測量與物體特性無關，屬於客觀測量。而且不管當初1'F和2'F是非常大的力還是很小的力，1'F和2'F的差異都是12−''aa。也就是說，'F的量尺是等距量尺（intervalscale）。等距量尺和比率量尺的區分，其實並無多大意義。又或者可以說，所有的等距量尺其實都是比率量尺，因為要產生等距必須要有個參照點，關鍵在於這個參照點（或謂零點）。有人說溫度沒有自然的零點，身高則有。但事實上，所謂自然的零點，一點都不自然，畢竟零不是自然數！只要大夥對於參照點有共識，那麼等距量尺就是比率量尺。例如從高雄起算，到臺北的距離就是到臺中的兩倍。如果沒有共識（從高雄起算），就不知道到臺北的距離是到Rasch測量理論與其在教育和心理之應用641臺中的幾倍。若同意以攝氏0度為參照點，那麼攝氏20度就是攝氏10度的兩倍。攝氏0度、10度、20度換算為華氏分別為32度、50度、68度。此時變為：「若以華氏32度為參照點，那麼華氏68度就是華氏50度的兩倍。」因此溫度是比率量尺。並不是所有自然科學的測量都可以達到客觀和等距的境界。以「硬度」而言，至今只能做到「順序量尺」。亦即只能比較甲物是否比乙物硬，乙物是否比丙物硬。雖然有所謂的「硬度計」，但其原理仍然只是將欲測量的物體，與既有的物體去做比較。因此所得到的數值，僅止於順序，無法詳細說明數值差距的意義。人類對於「硬度」的理解非常有限。硬度有怎樣的物體特性？是怎樣的特性構成硬度？如何增加和減少硬度？一旦人類對於這些問題有清楚的答案之後，對於硬度的測量就可以突破。反之，目前的硬度「測量」其實夠不上測量。社會科學的測量，能夠達到與自然科學測量相同的水準嗎？這一直以來都是社會科學的的夢魘。Stevens（1946,p.679）特別指出：「事實上，心理學家所經常使用的量尺是屬於順序量尺。嚴格來說，凡是會牽涉到平均數和標準差的統計方式，都不可以使用在順序量尺上，因為這類的統計分析對量尺的要求，不單只是順序就足夠。」可惜Stevens的警告似乎沒有喚起多少人的注意，所以在現實中，仍然普遍的將順序量尺直接當作等距量尺，以進行平均數和標準差等計算。當我們發明許多的測驗、量表、問卷的同時，卻發現原始分數沒有客觀和等距的意義。那麼接下來的做法就是：(1)漠視這個現象，還是將原始分數當作等距量尺來處理；(2)承認測量失敗；(3)重新發展出具有客觀等距的量尺以取代原始分數。第一種做法是目前大多數人的共同做法，但嚴格而言，似乎不智。而且已有研究證實，將原始分數視為等距量尺，恐會造成研究結論之不當。例如事實上沒有主要效果，但卻宣稱有主要效果；沒有交互作用效果卻宣稱有交互作用效果（Embretson,1996）。第二種做法，當然是研究者最忌諱的事。畢竟千辛萬苦蒐集資料，但到頭來卻必須承認測量失敗，豈不前功盡棄！第三種做法則是積極的作為。一方面我們認知到原始分數沒有等距的意義，另一方面積極的尋找等距量尺，以達到測量的目的。本文以下說明Rasch如何成功的解決這個困境，比較其他學者所提類似的做法，闡述近年來相關研究的拓展。透過實際的例子，解釋其應用。另外也蒐集了國內外相關的資源，以及介紹軟體。642教育與心理研究27卷4期貳、Rasch模式的特性一、客觀等距量尺GeorgRasch（1901-1980：音譯羅栩，丹麥數學家）提出了所謂的Rasch測量模式（Rasch,1960），就是希望透過受試者的作答反應，得到等距和客觀的量尺。假設受試者n的潛在特質的程度為'θn，試題i的特性（如難度或閾值）為δ'i，作答反應為二元計分（成功或失敗，同意或不同意），Pni1和Pni0分別表示受試者n在第i題得1分和0分的機率，而Pni1+Pni0=1。為方便溝通，本文常將潛在特質稱作能力，題目特性稱作難度，將受試者稱作考生。但這不意涵Rasch模式只能用於能力測驗。潛在特質其實就是測驗想要測量的建構（construct），它可以是能力，也可以人格特質、態度、興趣、價值觀等。現定義勝率（odds）為Pni1/Pnii0，則在Rasch模式裡，勝率為：10θ≡=δ'ninni'niiPoddsP(9)現說明'nθ具有客觀和等距特性如下。假設有張三和李四兩位考生作答同一試題，則：11'i'ioddsθ=δ(10)22'i'ioddsθ=δ(11)張三和李四能力的比值為：11122