第17节：等腰三角形、等边三角形、直角三角形：第2课时

首页末页数学第17节等腰三角形、等边三角形、直角三角形考点突破课前预习第2课时直角三角形与勾股定理首页末页数学课前预习1.（2014滨州）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．4，5，6B．1.5，2，2.5C．2，3，4D．1，，3解析：A．42+52=41≠62，不可以构成直角三角形，故本选项错误；B．1.52+22=6.25=2.52，可以构成直角三角形，故本选项正确；C．22+32=13≠42，不可以构成直角三角形，故本选项错误；D．12+（）2=3≠32，不可以构成直角三角形，故本选项错误．B首页末页数学课前预习2.（2014昆明）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=10cm，点D为AC的中点，则BD=cm．解析：∵∠ABC=90°，点D为AC的中点，∴BD=AC=×10=5cm．53.（2014凉山州）已知一个直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为．解析：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：第三边的长为：②长为3、4的边都是直角边时：第三边的长为：故第三边的长为：5或．5或首页末页数学课前预习4.（2014白银）等腰△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，则BC边上的高是cm．解析：如图，AD是BC边上的高线．∵AB=AC=10cm，BC=12cm，∴BD=CD=6cm，∴在Rt△ABD中，由勾股定理得到：8首页末页数学考点2直角三角形的判定及性质、勾股定理考点突破1.（2009深圳）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是BC上一点，AD=BD，若AB=8，BD=5，则CD=．解析：设AC=x，CD=y，由勾股定理得：消去x，得：（y+5）2﹣y2=39，整理，得：10y=14，即y=故CD的长为首页末页数学考点突破2.（2012广州）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（）A.B.C.D.解析：根据题意画出相应的图形，如图所示：在Rt△ABC中，AC=9，BC=12，根据勾股定理得：AB==15，过C作CD⊥AB，交AB于点D，又S△ABC=AC•BC=AB•CD，∴CD===，则点C到AB的距离是．A首页末页数学考点突破3.（2014广东）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥AB于点D，BC=10cm，AD=8cm．点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．解析：如答图3所示，分三种情形，需要分类讨论，分别求解．首页末页数学考点突破答案：解：存在．理由如下：①若点E为直角顶点，如答图3①所示，此时PE∥AD，PE=DH=2t，BP=3t．∵PE∥AD，∴，即，此比例式不成立，故此种情形不存在；②若点F为直角顶点，如答图3②所示，此时PE∥AD，PF=DH=2t，BP=3t，CP=10﹣3t．∵PF∥AD，∴，即，解得t=；首页末页数学考点突破③若点P为直角顶点，如答图3③所示．过点E作EM⊥BC于点M，过点F作FN⊥BC于点N，则EM=FN=DH=2t，EM∥FN∥AD．∵EM∥AD，∴，即，解得BM=t，∴PM=BP﹣BM=3t﹣t=t．在Rt△EMP中，由勾股定理得：PE2=EM2+PM2=（2t）2+（t）2=t2．∵FN∥AD，∴，即，解得CN=t，∴PN=BC﹣BP﹣CN=10﹣3t﹣t=10﹣t．在Rt△FNP中，由勾股定理得：PF2=FN2+PN2=（2t）2+（10﹣t）2=t2﹣85t+100．在Rt△PEF中，由勾股定理得：EF2=PE2+PF2，即：（10﹣t）2=（t2）+（t2﹣85t+100）化简得：t2﹣35t=0，解得：t=或t=0（舍去）∴t=．综上所述，当t=秒或t=秒时，△PEF为直角三角形．首页末页数学考点突破4.如图，在△ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上的高，DE=3，BE=4，BC=6，则AC=．解析：∵DE=3，BC=6，∴DE=BC，∵CE是AB边上的高，∴∠BEC=90°，∴BD=DC=3，EC2=BC2﹣BE2=62﹣42=20，∵AD是BC边上的高，∴AD⊥BC，∴AB=AC，设AE=x，AC=x+4，在Rt△AEC中，∵AE2+EC2=AC2，∴x2+20=（x+4）2，解得：x=0.5，∴AC=4.5.4.5首页末页数学考点突破5.如图，在△ABC中，∠C=90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，若AC=8，BC=6，DE=3，则AD的长为（）A．3B．4C．5D．6解析：在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6C首页末页数学考点突破6.(1)如图1是一个重要公式的几何解释.请你写出这(2)如图2，Rt△ABC≌Rt△CDE，∠B=∠D=90°，且B，C，D三点共线.试证明∠ACE=90°(3)伽菲尔德(Garfield，1881年任美国第20届总统)利用(1)中的公式和图2证明了勾股定理(1876年4月1日，发表在《新英格兰教育日志》上)，现请你尝试该证明过程.解析：(1)用面积分割法证明：大正方形的面积等于小正方形和两个长方形的面积之和，从而推出平方和公式;(2)(3)用面积分割法法证明勾股定理：梯形ABDE的面积=三角形ABC的面积+三角形CDE的面积+三角形ACE的面积.首页末页数学考点突破答案：(1)解：这个公式为(a+b)2=a2+2ab+b2证明：由图可知，大正方形被分成了一个小正方形和两个长方形，大正方形的面积=(a+b)2，两个长方形的面积=(a+b)b+ab小正方形的面积=a2，那么大正方形的面积=(a+b)b+ab+a2=(a+b)2=a2+2ab+b2(2)证明：∵△ABC≌△CDE∴∠BAC=∠DCE∴∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°由于B，C，D共线，所以∠ACE=180°-(∠ACB+∠DCE)=180°-90°=90°；首页末页数学考点突破(3)证明：梯形ABDE的面积为：(AB+ED)·BD=(a+b)(a+b)=(a+b)2，另一方面，梯形ABDE可分成三个直角三角形，其面积又可以表示成ab+ab+c2，所以，(a+b)2=ab+ab+c2即a2+b2=c2.首页末页数学考点突破考点归纳：本考点曾在2007～2011、2013、2014年广东省市考试中考查，为高频考点.本考点一般不单独考查，而是与其他考点综合来考查.本考点应注意：由于直角三角形斜边上的中线的特殊性质，在解决有关直角三角形的问题时，不妨试试添加斜边上的中线这条辅助线；勾股定理是中学现阶段求线段长度的方法，如果图形中缺乏直角条件，则可以通过作辅助线的方法构造直角三角形，为勾股定理创造条件.首页末页数学