【导与练】(新课标)2016高考数学二轮复习 专题二 函数与导数 第2讲 基本初等函数的性质及应用课

第2讲基本初等函数的性质及应用考向分析核心整合热点精讲考向分析考情纵览年份考点20112012201320142015ⅠⅡⅠⅡⅠⅡ求函数值及比较函数值的大小810求参数的取值(范围)111213真题导航解析:因为f(x)=1222,1,log1,1,xxxxf(a)=-3,所以21,log13aa或11,223,aa解得a=7,所以f(6-a)=f(-1)=2-1-1-2=-74,故选A.1.(2015新课标全国卷Ⅰ,文10)已知函数f(x)=1222,1,log1,1,xxxx且f(a)=-3,则f(6-a)等于()(A)-74(B)-54(C)-34(D)-14A2.(2013新课标全国卷Ⅱ,文8)设a=log32,b=log52,c=log23,则()(A)acb(B)bca(C)cba(D)cabD解析:因为1log23log25,所以121log321log50,即1log32log520,而c=log23log22=1,因此cab,故选D.3.(2015天津卷,文7)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数,记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为()(A)abc(B)cab(C)acb(D)cbaB解析:由于f(x)为偶函数,所以m=0,即f(x)=2|x|-1,其图象过原点,且关于y轴对称,在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.又a=f(log0.53)=f(-log23)=f(log23),b=f(log25),c=f(0),且0log23log25,所以cab.故选B.4.(2015四川卷,文8)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33℃的保鲜时间是()(A)16小时(B)20小时(C)24小时(D)28小时C解析:依题意有192=eb,48=e22k+b=e22k·eb,所以e22k=48eb=48192=14,所以e11k=12或-12(舍去),于是该食品在33℃的保鲜时间是e33k+b=(e11k)3·eb=(12)3×192=24(小时).故选C.备考指要1.怎么考(1)对指数函数、对数函数及幂函数的考查多以指数与对数的运算、求指数型或对数型函数的定义域、比较函数值大小等问题为主.(2)利用指数函数、对数函数及幂函数的图象与性质,由函数零点(方程的实根)的存在情况确定相关参数的取值或取值范围.2.怎么办(1)熟练掌握指数与对数的运算性质是学好该部分知识的基础.(2)熟练掌握指数函数、对数函数及幂函数的图象与性质.核心整合1.指数与对数式的七个运算公式(1)am·an=am+n;(2)(am)n=amn;(3)loga(MN)=logaM+logaN;(5)logaMn=nlogaM;(4)logaMN=logaM-logaN;(6)logaNa=N;(7)logaN=loglogbbNa(a0且a≠1,b0且b≠1,M0,N0).2.指数函数与对数函数的图象和性质指数函数对数函数图象单调性0a1时,在R上单调递减;a1时,在R上单调递增a1时,在(0,+∞)上单调递增;0a1时,在(0,+∞)上单调递减0a1,当x0时,0y1;当x0时,y10a1,当x1时,y0,当0x1时,y0函数值性质a1,当x0时,y1;当x0时,0y1a1,当x1时,y0;当0x1时,y0温馨提示(1)指数、对数运算时,千万不要忽视字母的正负.(2)利用指数函数、对数函数的单调性时,易忽视对底数的讨论.(3)幂函数y=xα的图象与性质需分幂指数α0,α0两种情况.热点精讲热点一基本初等函数的有关运算解析:(1)因为f(-2)=2-2=14,所以f(f(-2))=f(14)=1-14=12,故选C.【例1】(1)(2015陕西卷)设f(x)=1,02,0,xxxx，则f(f(-2))等于()(A)-1(B)14(C)12(D)32(2)(2015山西四诊)设a=sin(2015π-π6),函数f(x)=,0,,0,xaxfxx则f(log216)的值等于()(A)14(B)4(C)16(D)6解析:(2)a=sin(2015π-π6)=sin(2014π+π-π6)=sin(π-π6)=sinπ6=12,则f(x)=1,0,2,0,xxfxx得f(log216)=f(log26)=2log612=16,故选C.方法技巧已知函数的解析式求函数值,常用代入法.代入时,一定要注意函数的对应法则与自变量取值范围的对应关系,有时要借助函数性质与运算性质进行转化.举一反三1-1:(1)(2015浙江卷)计算:log222=,24log3log32=.(2)(2015合肥市质检)已知函数f(x)=1,0,24,0,xxfxx则f(2015)=.解析:(1)log222=log2122=-12,24log3log32=23log322=23log322=27=33.(2)因为2015=503×4+3,所以f(2015)=f(3)=f(3-4)=f(-1)=(12)-1=2.答案:(1)-1233(2)2热点二比较函数值的大小【例2】(1)(2015山东卷)设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是()(A)abc(B)acb(C)bac(D)bca(2)已知函数f(x)=lnx,x1,x2∈(0,1e),且x1x2,则下列结论中正确的是()(A)(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]0(B)f(122xx)122fxfx(C)x1f(x2)x2f(x1)(D)x2f(x2)x1f(x1)解析:(1)由指数函数y=0.6x在(0,+∞)上单调递减,可知0.61.50.60.6,由幂函数y=x0.6在(0,+∞)上单调递增,可知0.60.61.50.6,所以bac,故选C.(2)选项A,由于函数在区间上为增函数,由单调性定义可知(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]0,故A错误;选项B,由函数图象的凸凹性可知f(122xx)122fxfx,故B错误;选项C,令g(x)=fxx=1nxx,由于g′(x)=211nxx,当x∈(0,1e),g′(x)0,即函数g(x)在区间(0,1e)上为增函数,故x1x2g(x1)g(x2)11fxx22fxxx2f(x1)x1f(x2),故C正确;同理,令h(x)=xf(x)=xlnx,可知x1f(x1)x2f(x2),D错误.故选C.方法技巧三招破解指数、对数、幂函数值的大小比较问题(1)底数相同,指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较;(2)底数相同,真数不同的对数值用对数函数的单调性比较;(3)底数不同、指数也不同,或底数不同、真数也不同的两个数,常引入中间量或结合图象比较大小.举一反三2-1:(1)(2015陕西西安模拟)已知a=π3,b=3π,c=(2e)π,则a,b,c的大小关系为()(A)abc(B)acb(C)bca(D)bac(2)(2015资阳市一诊)已知函数f(x)=2x+sinx+3131xx(x∈R),f(x1)+f(x2)0,则下列不等式正确的是()(A)x1x2(B)x1x2(C)x1+x20(D)x1+x20解析:(1)因为a=π3,b=3π,c=(2e)π,函数y=xπ是R上的增函数,且2e3,所以3π(2e)π,即bc;设f(x)=x3-3x,则f(3)=0,所以x=3是f(x)的零点.因为f′(x)=3x2-3x·ln3,所以f′(3)=27-27ln30,f′(4)=48-81ln30,所以函数f(x)在(3,4)上是单调减函数,所以f(π)f(3)=0,所以π3-3π0,即π33π,所以ab;所以abc,故选A.(2)由f(-x)=-2x+sin(-x)+3131xx=-(2x+sinx+3131xx)=-f(x),得函数f(x)是奇函数,设g(x)=2x+sinx,h(x)=3131xx,因为g′(x)=2+cosx0,则g(x)在R上是增函数,因为h(x)=1-231x,则h(x)在R上是增函数,所以函数f(x)在R上是增函数,又f(x1)+f(x2)0,即f(x1)-f(x2)=f(-x2),所以x1-x2,即x1+x20,故选D.热点三求参数的取值(范围)【例3】(1)若存在正数x使2x(x-a)1成立,则a的取值范围是()(A)(-∞,+∞)(B)(-2,+∞)(C)(0,+∞)(D)(-1,+∞)(2)当0x≤12时,4xlogax,则a的取值范围是()(A)(0,22)(B)(22,1)(C)(1,2)(D)(2,2)解析:(1)因为2x0,所以由2x(x-a)1得x-a12x=2-x.在坐标系中,作出函数f(x)=x-a,g(x)=2-x的图象,当x0时,g(x)=2-x1,所以如果存在x0,使2x(x-a)1,则有-a1,即a-1,故选D.(2)由0x≤12,且logax4x0,可得0a1,由124=loga12可得a=22.令f(x)=4x,g(x)=logax,若当0x≤12时,4xlogax,则说明当0x≤12时,f(x)的图象恒在g(x)图象的下方(如图所示),此时需a22.综上可得a的取值范围是(22,1).故选B.方法技巧利用指、对数函数的图象与性质可求解以下两类问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想求解.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.易错提醒利用对数函数图象求解对数型函数性质及对数方程、不等式等问题时切记图象的范围、形状一定要准确,否则数形结合时将误解.对于含参数的指数、对数问题,在应用单调性时,要注意对底数进行讨论.解决对数问题时,首先要考虑定义域,其次再利用性质求解.举一反三3-1:(1)(2015贵阳二模)函数y=ax(a0,a≠1)与y=xb的图象如图,则下列不等式一定成立的是()(A)ba0(B)a+b0(C)ab1(D)loga2b(2)(2015福建卷)若函数f(x)=2|x-a|(a∈R)满足f(1+x)=f(1-x),且f(x)在[m,+∞)上单调递增,则实数m的最小值等于.解析:(1)由图象可知,a1,b0,所以loga20,所以loga2b.故选D.(2)因为f(1+x)=f(1-x),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称,所以a=1,所以函数f(x)=2|x-1|的图象如图所示,因为函数f(x)在[m,+∞)上单调递增,所以m≥1,所以实数m的最小值为1.答案:(1)D(2)1