概率论与数理统计(王明慈第二版)第6章参数区间估计2-3节

()kkvEX12,m，，，假定总体X的1～m阶原点矩kkvEX()存在，第二步：用样本k阶原点矩代替总体k阶原点矩，即nkikmiXvn1211,,...1,2,,km矩估计法步骤：设总体X的分布中含有m个待估的未知参数则第一步:求总体X的k阶原点矩12,,...,kmv解含m个参数的m个方程组,12ˆˆˆm，，，得nkkXXX,,,ˆˆ21mk,,,21以作为参数的估计量.ˆkk第三步:第四步:,ˆnnkx,,x,xX,,X,Xθ2121换成中的将.x,,x,xθθnkk)(21ˆ的矩估计值便得到最大似然估计(MLE)的步骤:写出似然函数连续离散取对数X,θ;xfX,θ;xpθLn1iin1ii)()()(lnlnln连续离散X,θ;xfX,θ;xpθ;x,,x,xLθLniiniin)()()()(1121第一步:第二步:0ln0ln0ln21mLLL.ˆ,,ˆ,ˆ21为最大似然估计值所求得的解m,X,,X,Xx,,x,xnn2121换成中的将kˆ).,,,(ˆ21nkkXXX的最大似然估计量便得到解似然方程(组)第三步:第四步:第二节判别估计量好坏的标准基本内容：一、无偏性二、有效性三、一致性估计量是样本的函数,是随机变量.故一个好的估计,应在多次试验中体现出优良性.由不同的样本观测值,就得到不同的参数估计值.所以,估计量的评价准则在介绍估计量好坏的准则前,必须强调指出:评价一个估计量的好坏,不能仅仅依据一次试验的结果,而必须由多次试验结果来衡量.一、无偏性,的估计量是未知参数设θX,,Xθθn)(1ˆˆ;的为则称无偏估计量θXXθn),,(ˆ1.的为无偏估计值θxxθn),,(ˆ1定义：θ,θE)(ˆ若即的附近摆动，在参数真值我们希望估计值θθˆ其对应的估计量的期望等于未知参数的真值.^例1.已知正态分布的未知参数,2的矩估计量niXXnσXμ1i22)(1;ˆˆ的无偏估计量吗？分别是试问22σμσ,μ，ˆˆμ,最大似然估计量相同，即解：)ˆ(E][)ˆ(niXXnσ1i22)(1EE][niXXEni1221n])()([nXXni1i221nEE)]1()([2222nnnn12)1(nn.Xμ的无偏估计量是故ˆ.ˆ的无偏估计量不是故22σσ由)(XE由于,2niXXnσ1i22)(11ˆ1nnnnniXX1i2)(11n修正的样本方差2S，22)(σSE由于.的无偏估计量是故22σS(1)样本均值X是总体均值E(X)的无偏估计量；(3)样本k阶原点矩一般地，(例1P156)11nkkiiVXn是总体k阶原点矩E(Xk)的无偏估计量；niiXXnS122)(11(2)样本方差是总体方差D(X)的无偏估计量；证明:(3)11()nkiiEXn故11()nkiiEXn1()kEnXn由样本的定义知，Xi与X有相同分布()kEX集中^^设1和2都是参数的无偏估计量,二、有效性1θˆ^^即D(1)D(2).未知参数的无偏估计量不是唯一的.^蓝色是采用估计量1,用14个样本值得到的14个估计值.^紫色是采用估计量2,用14个样本值得到的14个估计值.分散2θˆ^^D(1)D(2)^^则称1较2有效.都是未知参数的无偏估计量.）（（nnXXXXXX,,,ˆˆ),,,ˆˆ21222111与设：定义当样本容量n一定时,若在的所有无偏估计量中,.ˆ)ˆ(ˆ有效估计量的是参数则称最小的方差，D若解：)(iXD─故X比Xi(i=1,2,…,n)有效.,2n)()(iXDXD∴当n≥2时，无偏估计量，问哪一个更有效？例2.的都是总体均值与验证),,2,1(niXXi)(XD,2)(XD)(1XDn,)(XE易知,)()(XEXEi的无偏估计量.都是总体均值与故),,2,1(niXXi例3.设X1，X2，X3是来自总体X的样本,且统计量中哪个更有效？()总体均值E(X)=未知,则下列4个关于的.263.;333.;424.;5355.321321321321XXXDXXXCXXXBXXXAC分析：利用P181的7题结论，可选C.三、一致性有若对于任意的,0.ˆ的一致估计量是参数则称nˆlim()1,nnP定义：证明一致估计的方法：.ˆ0)ˆ(lim的一致估计量是则若，Dn回顾例子.设总体X的概率密度为其他,0;0),(6)(3xxxxf).ˆ(ˆ)2(ˆ)1(D的方差求的矩估计量求；X1,X2,…,Xn是取自总体X的简单随机样本,解：.2ˆX矩估计量nXDnXDD5)(4)(4)ˆ(20,5)(2nθlimθDlimnnˆ.ˆ的一致估计量是故θθ内容小结1.无偏性•样本k阶原点矩是总体k阶原点矩的无偏估计量;•样本方差S2是总体方差2的无偏估计量;2.有效性——方差更小的无偏估计量.•在的所有线性无偏估计量中,样本均值X是最有效的.3.一致性而区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷.为了使估计的结论更可信,需要引入区间估计.参数的点估计是用样本算得的一个值去估计未知参数.使用起来把握不大.点估计值仅仅是未知参数的一个近似值,它没有反映出这个近似值的误差范围.——估计量的期望等于未知参数的真值.第三节正态总体参数的区间估计基本内容：一、区间估计的概念二、正态总体均值的区间估计三、正态总体方差的区间估计，ˆˆαθθθP1)(21给定的概率1-(01),定义设总体X的分布中含有未知参数，若存在两个统计量一、区间估计的概念),,,,(ˆ),,,(ˆ212211nnXXXXXX与1)ˆˆ(21为的为参数则称随机区间置信水平，对于使得.ˆˆ21置信上限置信下限称为称为，的置信区间,注：.)ˆ,ˆ(,,,21是随机的而区间没有随机性但它是一个常数虽然未知被估计的参数1)},,,(ˆ),,,(ˆ{212211:的本质是因此定义中表达式nnXXXXXXPˆˆ的真值,的概率包含着参数以随机区间θαθ,θ1)(21).ˆ,ˆ(121的概率落入随机区间以而不能说参数若进行n次独立重复抽样，得到n个样本观测值,那么个随机区间每个样本观测值确定一).ˆ,ˆ(21根据伯努利大数定理,在这n个随机区间中,.%100,)%1(100不包含的约占真值的约占包含,的真值或不包含的真值每个区间可能包含，αX,,X,XθθX,,X,XθPnn1)}()({212211ˆˆ由伯努利大数定理的解释：例如,10000.01,次重复抽样若.9901000个真值的约为个区间中包含则得到的？二、正态总体均值的区间估计1)(00,N~nσμXU1.已知方差2=02的正态总体X,求未知参数1-的置信区间解：设总体X~N(,2),有12α,uUPα/10α,un/σμXPα/2α,unσXμunσXPα/α/12020即1的置信区间的置信水平为于是得到.2/znX其置信区间的长度为.unσLα/202标准正态分布中对称于原点的置信区间是最短的,故α/2α/2unσX,unσX00若滚珠直径服从正态分布X~N(,2),并且已知例1.α/2α/2unσX,unσX00,05.0,16.0,100n已知滚珠的直径（单位：mm）如下:14.6,15.0,14.7,15.1,14.9,14.8,15.0,15.1,15.2,14.8=0.16(mm),求滚珠直径均值的置信水平为95%的置信区间.解：由上面求解的置信水平为1-的置信区间,92.14101101iixx从某厂生产的滚珠中随机抽取10个，测得0.099).14.920.099,-(14.9295%的置信区间为的(14.821,15.019),96.1025.0u得025.0)(025.0uuP由分位点的定义)(025.0uuP)(1025.0uuP025.01975.0经查表)(025.0u,975.0)(025.0u2020α/α/unσx,unσx由此得20α/unσ,099.096.116.010代入公式025.0u)(025.0t96.12.未知方差2的正态总体X,求未知参数的1-的置信区间解：设总体X~N(,2),有nSXt/1)(nt~由t分布的概率密度曲线关于y轴对称，对称于原点的置信区间是最短的.11)(2α,nttPα/11)(2α,ntnS/μXPα/α,ntnSXμntnSXPα/α/11)(1)(22即1的置信区间的置信水平为得到.2/znX其置信区间的长度为.ntnSLα/1)-(22故1)(1)-(22ntnSX,ntnSXα/α/并且方差2未知,求滚珠直径均值的置信水平为例2.从某厂生产的滚珠直径X~N(,2),1)(1)(22ntnSX,-ntnSXα/α/0.193,)(1101101i22xxssi滚珠的直径（单位：mm）如下:14.6,15.0,14.7,15.1,14.9,14.8,15.0,15.1,15.2,14.895%的置信区间.抽取10个,,05.0,10n已知解：由的置信水平为1-的置信区间,92.14101101iixx)1(025.0nt)9(025.0t26.2由此得1)(2-ntnsα/138.026.210193.0得到的95%的置信区间为代入公式1)(1)(22ntnsx,-ntnsxα/α/(14.92-0.138,14.92+0.138)即(14.782,15.058)(mm)由2分布的概率密度曲线是不对称的，三、正态总体方差2的区间估计niiμXσχ12022)(1)(2/2α1nχ1-的置信区间解：设总体X~N(,2),有)(2nχ~仿照前述的置信区间取法：)(2/2αnχ/2α/2α1)()(2/222/21α,nχχnχPαα1.已知均值=0的正态总体X,求未知参数21的置信区间的置信水平为得到2σ.2/znX故1)(11202α,μXσPnii)()(22/22/1nn1)()(1202120α,μXσμXPniinii)()(22/122/nn即)()(120120)(,)(22/122/nnniiniiμXμX并且=14.9(mm),求滚珠直径方差2的置信水平为例3.从某厂生产的滚珠直径X~N(,2),滚珠的直径（单位：mm）如下:14.6,15.0,14.7,15.1,14.9,14.8,15.0,15.1,15.2,14.895%的置信区间.抽取10个,,9.14,05.0,10n已知解：由2的置信水平为1-的置信区间,34.0)9.14(1012iix)()(120120)