全国大学生周培源力学竞赛试题及详细答案解析(第三届到第九届)

第六届全国周培源大学生力学竞赛试题出题学校：清华大学满分：120分时间：3小时一、声东击西的射击手（30分）射击的最高境界，不仅是指哪打哪，还要知道往哪儿指。欢迎来到这个与众不同的射击场。在这里，共有10个小球iP（号码从0到9），你需要把某个小球放在圆弧的适当位置上，然后静止释放小球即可。假设系统在同一竖直平面内（如图所示），不考虑摩擦。圆弧AB的半径为R，B点与地面的高度为H。均质细杆CD的质量为M，长为0.5LH=，悬挂点C与B处于同一水平位置，BC距离为S。小球iP质量均为m，不计半径，小球iP与CD杆或地面碰撞的恢复因数均为ie，且满足/9(0,1,2,,9)ieii==…。（1）为使小球1P击中杆上D点，试确定静止释放时的θ，距离S有何限制？（2）假设某小球击中CD杆上的E点，为使E点尽可能远离D点，试确定该小球的号码及静止释放时的θ，此时CE的距离是多少？（3）假设某小球击中CD杆上的E点，为使悬挂点C处的冲量尽可能小，试确定该小球的号码及静止释放时的θ，此时CE的距离是多少？冲量有多大？OABCDSHPiθEOABCDSHPiθEOABCDSHPiθEOABCDSHPiθE二、骄傲自满的大力士（35分）有位大力士总是自命不凡，他夫人决定找机会教训他一下。正好附近足球场的球门坏了一半，剩下的半边球门如图：立柱OA垂直固定于水平地面上，沿x轴方向，高为2.4mH=，横梁AB平行于地面，沿z轴负方向，长为LH=。立柱和横梁均为实心圆柱，直径均为0.06mD=。夫人经过计算后想出了主意：和丈夫比赛，看谁能把球门拉倒。比赛规则是：通过系在横梁B端中点的绳索，只能用静力拉球门；绳索上有且只有B点系在与地面固定的物体上。绳索的重量不计，长度不限。球门不计自重，采用第三强度理论，材料的屈服应力57MPasσ=。大力士认为自己肯定不会输，因为他知道两人鞋底与地面摩擦系数都是0.5μ=，自己重量为1700NG=，夫人重量为2510NG=。为了显示自己的大度，他允许夫人享受一点点优惠条件。于是夫人以B在地面的投影C为圆心，在地面上画了一个半径0.8mR=的圆圈，要求丈夫身体在地面的投影不能进该圆圈，但她自己不受限制。大力士认为这么个小圆圈没什么了不起，就同意了。大力士抽签先上场，他决定让绳索与xy平面平行，但绳索与地面的夹角θ不知多大为好，于是他在不同的角度试了多次，尽管每次都用了最大力气，但是球门居然纹丝不动，也看不出有明显的变形。而夫人上场后一用力就把球门拉倒了……（1）当大力士让绳索与地面成θ角度，绳索中的拉力最大为多大？该最大拉力与大力士拉绳的姿势有无关系？（2）当大力士让绳索与地面成θ角度，球门中最危险点的坐标值是多少？（3）在限制条件下，θ角为多少时大力士最接近把球门拉倒？夫人可能采用什么方式把球门拉倒？BCRxyzOAHLθBCRxyzOAHLθ三、顾此失彼的挑战者（30分）魔术正式开始前，魔术师邀请观众上台了解道具，并体验如何让水晶球在板上平衡，有位观众自告奋勇要挑战魔术师的问题。魔术师首先介绍道具（如图所示）：两个透明的水晶圆球1O和2O；一个滚轴D；一个透明的水晶平板AB，A端水平固定在墙中，不考虑自重时AB板与水平面平行。在表演时，滚轴D可以根据需要安装在AB板的任意位置，且A与D总在同一高度。假设水晶板是均质等截面板，长度为l，单位长度重量为q，弯曲刚度为EI。两均质水晶圆球的半径均为r，重量均为Pql=。假设表演中板的挠度和转角都是小量，球与板之间有滑动摩擦，但不考虑球与板的接触变形和滚动摩擦。观众发现，水晶板由于自重而微微弯曲，如果不安装滚轴D，水晶球在板上可以摆放的任意位置都不能平衡。魔术师的问题如下：（1）如果把滚轴D安装在AB板的B处，此时AB板由于自重所导致的最大挠度在何处？（2）如果把滚轴D安装在AB板之间的某处，有可能使水晶球1O在板上静止，且球与板的接触点恰好是B点。如果不需要具体计算，如何说明滚轴D是更靠近A点还是更靠近B点？定性画出此时AB板挠度的示意图。（3）如果把滚轴D安装在AB板的中点，能否让水晶球1O在AD之间某位置平衡，接触点为1C；同时让水晶球2O在DB之间某位置平衡，接触点为2C。观众试着摆弄了很久，总是顾此失彼，最终也没有成功。如果你认为本问题有解，1AC和2AC的水平距离是多少？如果没有解，如何证明？ABDO1O2ABDO1O2四、技高一筹的魔术师（25分）魔术正式开始，仍用上一题中的道具（板和球的具体参数见第三题）。魔术师首先撤去了滚轴D，观众看到两个水晶球在板上任意位置静止释放，都会从板的B端掉下去。但是细心的观众发现，即使两水晶球放在板的相同位置，掉下去所需时间却明显不同。魔术师解释说，虽然两水晶球的尺寸和重量完全相同，但有一个水晶球的表面涂了透明的新型材料，很光滑。说完在后落下的水晶球1O表面贴上了小纸片以示区别（假设小纸片的尺寸和重量相对水晶球均是小量）。只见魔术师对两个水晶球吹了吹，声称已经把魔力注入其中，然后小心地把贴有纸片的1O球静止放在板上（接触点为B点），同时让纸片远离接触位置，松手后水晶球1O竟然真的可以一直稳稳地停留在板上B点。在观众的掌声中，魔术师撤走了1O球，把2O球拿了起来。“这个水晶球不太听话，我的魔力只能管1分钟。”魔术师说完把2O球转了转，然后更加小心地把2O球也放在板上（接触点为B点）。观众发现，2O球在B点停留了大约1分钟，然后在没有外界干扰的情况下突然从板上B端掉了下来……（1）根据题目叙述，试判断哪个水晶球涂了新型材料？（2）水晶球1O可在B点一直稳稳地停留，简要叙述其原理，分析其中所涉及的关键参数，以及各参数应满足的必要条件或关系。（3）水晶球2O只能在B点停留很短的时间，简要叙述其原理，分析其中所涉及的关键参数，以及各参数应满足的必要条件或关系。注：第四题解答中所用的参数都应在第三、第四题中提及过。ABDO1O2ABDO1O21第六届全国周培源大学生力学竞赛试题参考答案清华大学航天航空学院高云峰一、声东击西的射击手（30分）（1）2arccos12SHRθ⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠；S的限制为2SHR≤。（2）91e=（号码为9）；0CE=；22arccos116SNHRθ⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠，N为与地面的碰撞次数。（3）669e=（号码为6）；13CEH=；0CI=；226arccos14(1)SeHRθ⎛⎞=−⎜⎟+⎝⎠。二、骄傲自满的大力士（35分）（1）1cossinGTμθμθ=+；大力士拉绳的姿势不影响绳中最大拉力的大小。（2）危险点坐标()11220,cos,-sinDDθθ（3）大力士在0θ=时最接近拉坏球门：1356.0Mpaσσ−=；夫人进入圆圈内，90θ=°时可以有1357.9MPaσσ−=三、顾此失彼的挑战者（30分）（1）最大挠度处：15330.5816xll−=≈（2）滚轴D更靠近B点；挠度示意图如下：（3）解不存在，证明见解题过程。四、技高一筹的魔术师（25分）（1）水晶球2O涂了新型材料。（2）关键参数：1tanBμθ≥；纸片重量sin1sinBBPGθθ≥−，（323BqlEIθ=）。（3）关键参数：2tanBμθ=；初始角速度0150sinBgrθω≈。ABDABD第八届全国周培源大学生力学竞赛试题出题学校：清华大学满分120分时间3小时30分钟一、看似简单的小试验（30分）某学生设计了三个力学试验，其条件和器材很简单：已知光滑半圆盘质量为m，半径为r，可在水平面上左右移动。坐标系Oxy与半圆盘固结，其中O为圆心，x轴水平，y轴竖直。小球(1,2,3)iPi=的质量均为m。重力加速度g平行于y轴向下，不考虑空气阻力和小球尺寸。每次试验初始时刻半圆盘都处于静止姿态。（1）如果她扔出小球1P，出手的水平位置0xr≥，但高度、速度大小和方向均可调整，问小球1P能否直接击中半圆盘边缘最左侧的A点？证明你的结论（6分）。（2）如果她把小球2P从半圆盘边缘最高处B点静止释放，由于微扰动小球向右边运动。求小球2P与半圆盘开始分离时的角度ϕ（12分）。（3）如果她让小球3P竖直下落，以0v的速度与半圆盘发生完全弹性碰撞（碰撞点在45ϕ=°处），求碰撞结束后瞬时小球3P与半圆盘的动能之比（12分）。二、组合变形的圆柱体（20分）圆柱AB的自重不计，长为L，直径为D，材料弹性模量为E，泊松比为ν，剪切屈服应力为τs。其中圆柱A端固定，B端承受引起50%剪切屈服应力的扭矩TM作用。（1）求作用于圆柱上的扭矩TM（6分）。（2）应用第三强度理论（最大剪应力理论），求在圆柱B端同时施加多大的轴向拉伸应力而不产生屈服（6分）。（3）求问题（2）情况下圆柱体的体积改变量（8分）。三、顶部增强的悬臂梁（30分）有一模量为1E的矩形截面悬臂梁AB，A端固定，B端自由。梁长为L，截面高度为1h，宽度为b。梁上表面粘着模量为212EE=的增强材料层，该层高度210.1hh=，长度和宽度与梁AB相同。工作台面D距离B端下表面高度为Δ。在B端作用垂直向下的载荷PF。不考虑各部分的自重。（1）求组合截面中性轴的位置（6分）。（2）求使梁B端下表面刚好接触D台面所需的力PF（8分）。（3）求此时粘接面无相对滑动情况下的剪力（6分）。（4）计算梁的剪应力值并画出其沿梁截面高度的分布图（10分）。四、令人惊讶的魔术师（20分）一根均质细长木条AB放在水平桌面上，已知沿着AB方向推力为1F时刚好能推动木条。但木条的长度、重量和木条与桌面间的摩擦因数均未知。魔术师蒙着眼睛，让观众把N个轻质光滑小球等间距地靠在木条前并顺序编号（设N充分大），然后如图在任意位置慢慢用力推木条，要求推力平行于桌面且垂直于AB。当小球开始滚动时，观众只要说出运动小球的最小号码minn和最大号码maxn，魔术师就能准确地说出推力的作用线落在某两个相邻的小球之间。魔术师让观众撤去小球后继续表演，观众类似前面方式在任意位置推动木条，只要说出刚好能推动木条时的推力2F，魔术师就能准确地指出推力位置。（1）简单说明该魔术可能涉及的力学原理（4分）。（2）如何根据滚动小球的号码知道推力作用在哪两个相邻小球之间（12分）？（3）如果观众故意把2F错报为122F，魔术师是否有可能发现（4分）？五、对称破缺的太极图（20分）某宇航员在太空飞行的空闲时间，仔细地从一块均质薄圆板上裁出了半个太极图形，并建立了与图形固结的坐标系Oxz。他惊奇地发现：虽然该图形不具有对称性，但仍具有很漂亮的几何性质：惯性矩xzII=。他怀疑上述性质是否具有普遍性，于是随意地将Oxz坐标系绕O点转动α角，得到新的坐标系''Oxz，仍然发现''xzII=。接着他发现该图形在太空失重情况下不可能绕z轴平稳地旋转。看到手边正好有一些钢珠，质量分别为116,(1,2,...,16)immii=×=，其中m是半太极图形的质量，他想尝试把钢珠粘在图形上……（1）试证明该图形''xzxzIIII===是否成立（10分）。（2）不考虑钢珠的尺寸和粘接剂的质量，是否可能在某处粘上一颗钢珠后，图形就能平稳地绕z轴旋转？简要说明理由（10分）。1第八届全国周培源大学生力学竞赛试题参考答案一、看似简单的小试验（30分）（1）小球1P不可能直接击中A点，证明见详细解答。（2）小球2P与圆盘开始分离时的角度arcsin(31)47ϕ=−≈°。（3）碰撞结束后瞬时小球3P与半圆盘的动能之比为5：4。二、组合变形的圆柱体（20分）（1）3132πTsMD=τ。（2）在柱B端同时施加3στ=s的轴向拉伸应力不产生屈服。（3）圆柱体的体积改变量()214π12/VDLE=−Δσν。三、顶部增强的悬臂梁（30分）（1）组合截面中性轴的位置：10.592Cyh=；（形心为0Cz=，10.592Cyh=）。（2）使梁B端下表面刚好接触C台面所需的竖向力为33110.4/PFEbhL=Δ。（3）不使增强材料层下表面与梁上表面相对滑动的剪力为top22Q110.28/FEbhL=Δ。（4）梁的剪应力为()223312/CEyyL=Δ−τ，沿梁截面高