幂级数概念

§11．1常数项级数的概念和性质1§113幂级数一、函数项级数的概念函数项级数给定一个定义在区间I上的函数列{un(x)}由这函数列构成的表达式u1(x)u2(x)u3(x)un(x)称为定义在区间I上的(函数项)级数记为1)(nnxu收敛点与发散点对于区间I内的一定点x0若常数项级数10)(nnxu收敛则称点x0是级数1)(nnxu的收敛点若常数项级数10)(nnxu发散则称点x0是级数1)(nnxu的发散点收敛域与发散域函数项级数1)(nnxu的所有收敛点的全体称为它的收敛域所有发散点的全体称为它的发散域和函数在收敛域上函数项级数1)(nnxu的和是x的函数s(x)s(x)称为函数项级数1)(nnxu的和函数并写成1)()(nnxuxs∑un(x)是1)(nnxu的简便记法以下不再重述在收敛域上函数项级数∑un(x)的和是x的函数s(x)s(x)称为函数项级数∑un(x)的和函数并写成s(x)∑un(x)这函数的定义就是级数的收敛域部分和函数项级数1)(nnxu的前n项的部分和记作sn(x)函数项级数∑un(x)的前n项的部分和记作sn(x)即sn(x)u1(x)u2(x)u3(x)un(x)§11．1常数项级数的概念和性质2在收敛域上有)()(limxsxsnn或sn(x)s(x)(n)余项函数项级数1)(nnxu的和函数s(x)与部分和sn(x)的差rn(x)s(x)sn(x)叫做函数项级数1)(nnxu的余项函数项级数∑un(x)的余项记为rn(x)它是和函数s(x)与部分和sn(x)的差rn(x)s(x)sn(x)在收敛域上有0)(limxrnn二、幂级数及其收敛性幂级数函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都幂函数的函数项级数这种形式的级数称为幂级数它的形式是a0a1xa2x2anxn其中常数a0a1a2an叫做幂级数的系数幂级数的例子1xx2x3xn!1!2112nxnxx注幂级数的一般形式是a0a1(xx0)a2(xx0)2an(xx0)n经变换txx0就得a0a1ta2t2antn幂级数1xx2x3xn可以看成是公比为x的几何级数当|x|1时它是收敛的当|x|1时它是发散的因此它的收敛域为(11)在收敛域内有11132nxxxxx定理1(阿贝尔定理)如果级数0nnnxa当xx0(x00)时收敛则适合不等式§11．1常数项级数的概念和性质3|x||x0|的一切x使这幂级数绝对收敛反之如果级数0nnnxa当xx0时发散则适合不等式|x||x0|的一切x使这幂级数发散定理1(阿贝尔定理)如果级数∑anxn当xx0(x00)时收敛则适合不等式|x||x0|的一切x使这幂级数绝对收敛反之如果级数∑anxn当xx0时发散则适合不等式|x||x0|的一切x使这幂级数发散提示∑anxn是0nnnxa的简记形式证先设x0是幂级数0nnnxa的收敛点即级数0nnnxa收敛根据级数收敛的必要条件有0lim0nnnxa于是存在一个常数M使|anx0n|M(n0,1,2,)这样级数0nnnxa的的一般项的绝对值nnnnnnnnnnxxMxxxaxxxaxa||||||||||00000因为当|x||x0|时等比级数nnxxM||00收敛所以级数0||nnnxa收敛也就是级数0nnnxa绝对收敛简要证明设∑anxn在点x0收敛则有anx0n0(n)于是数列{anx0n}有界即存在一个常数M使|anx0n|M(n0,1,2,)因为nnnnnnnnnnxxMxxxaxxxaxa||||||||||00000而当||||0xx时等比级数nnxxM||00收敛所以级数∑|anxn|收敛也就是级数∑anxn绝对收敛定理的第二部分可用反证法证明倘若幂级数当xx0时发散而有一点x1适合|x1||x0|使级数收敛则根据本定理的第一部分级数当xx0时应收敛这与所设矛盾定理得证§11．1常数项级数的概念和性质4推论如果级数0nnnxa不是仅在点x0一点收敛也不是在整个数轴上都收敛则必有一个完全确定的正数R存在使得当|x|R时幂级数绝对收敛当|x|R时幂级数发散当xR与xR时幂级数可能收敛也可能发散收敛半径与收敛区间正数R通常叫做幂级数0nnnxa的收敛半径开区间(RR)叫做幂级数0nnnxa的收敛区间再由幂级数在xR处的收敛性就可以决定它的收敛域幂级数0nnnxa的收敛域是(R,R)(或[R,R)、(R,R]、[R,R]之一规定若幂级数0nnnxa只在x0收敛则规定收敛半径R0若幂级数0nnnxa对一切x都收敛则规定收敛半径R这时收敛域为(,)定理2如果||lim1nnnaa其中an、an1是幂级数0nnnxa的相邻两项的系数则这幂级数的收敛半径0010R定理2如果幂级数0nnnxa系数满足||lim1nnnaa则这幂级数的收敛半径0010R定理2§11．1常数项级数的概念和性质5如果||lim1nnnaa则幂级数0nnnxa的收敛半径R为当0时1R当0时R当时R0简要证明||||||lim||lim111xxaaxaxannnnnnnn(1)如果0则只当|x|1时幂级数收敛故1R(2)如果0则幂级数总是收敛的故R(3)如果则只当x0时幂级数收敛故R0例1求幂级数)1(32)1(13211nxxxxnxnnnnn的收敛半径与收敛域例1求幂级数11)1(nnnnx的收敛半径与收敛域解因为1111lim||lim1nnaannnn所以收敛半径为11R当x1时幂级数成为111)1(nnn是收敛的当x1时幂级数成为1)1(nn是发散的因此收敛域为(1,1]例2求幂级数0!1nnxn!1!31!21132nxnxxx的收敛域例2求幂级数0!1nnxn的收敛域§11．1常数项级数的概念和性质6解因为0)!1(!lim!1)!1(1lim||lim1nnnnaannnnn所以收敛半径为R从而收敛域为(,)例3求幂级数0!nnxn的收敛半径解因为!)!1(lim||lim1nnaannnn所以收敛半径为R0即级数仅在x0处收敛例4求幂级数022!)()!2(nnxnn的收敛半径解级数缺少奇次幂的项定理2不能应用可根据比值审敛法来求收敛半径幂级数的一般项记为nnxnnxu22)!()!2()(因为21||4|)()(|limxxuxunnn当4|x|21即21||x时级数收敛当4|x|21即21||x时级数发散所以收敛半径为21R提示2222)1(221)1()12)(22()!()!2(])!1[()]!1(2[)()(xnnnxnnxnnxuxunnnn例5求幂级数12)1(nnnnx的收敛域解令tx1上述级数变为12nnnnt因为21)1(22||lim11nnaannnnn§11．1常数项级数的概念和性质7所以收敛半径R2当t2时级数成为11nn此级数发散当t2时级数成为1)1(nn此级数收敛因此级数12nnnnt的收敛域为2t2因为2x12即1x3所以原级数的收敛域为[1,3)三、幂级数的运算设幂级数0nnnxa及0nnnxb分别在区间(R,R)及(R,R)内收敛则在(R,R)与(R,R)中较小的区间内有加法000)(nnnnnnnnnnxbaxbxa减法000)(nnnnnnnnnnxbaxbxa设幂级数∑anxn及∑bnxn分别在区间(R,R)及(R,R)内收敛则在(R,R)与(R,R)中较小的区间内有加法∑anxn∑bnxn∑(anbn)xn减法∑anxn∑bnxn∑(anbn)xn乘法)()(00nnnnnnxbxaa0b0(a0b1a1b0)x(a0b2a1b1a2b0)x2(a0bna1bn1anb0)xn性质1幂级数0nnnxa的和函数s(x)在其收敛域I上连续如果幂级数在xR(或xR)也收敛则和函数s(x)在(R,R](或[R,R))连续性质2幂级数0nnnxa的和函数s(x)在其收敛域I上可积并且有逐项积分公式01000001)()(nnnnxnnxnnnxxnadxxadxxadxxs(xI)逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径性质3幂级数0nnnxa的和函数s(x)在其收敛区间(RR)内可导并且有逐项求导公式1100)()()(nnnnnnnnnxnaxaxaxs(|x|R)逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径§11．1常数项级数的概念和性质8性质1幂级数∑anxn的和函数s(x)在其收敛域I上连续性质2幂级数∑anxn的和函数s(x)在其收敛域I上可积并且有逐项积分公式01000001)()(nnnnxnnxnnnxxnadxxadxxadxxs(xI)逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径性质3幂级数∑anxn的和函数s(x)在其收敛区间(RR)内可导并且有逐项求导公式0100)()()(nnnnnnnnnxnaxaxaxs(|x|R)逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径例6求幂级数011nnxn的和函数解求得幂级数的收敛域为[11)设和函数为s(x)即011)(nnxnxsx[11)显然s(0)1在0111)(nnxnxxs的两边求导得xxxnxxsnnnn11)11(])([001对上式从0到x积分得)1ln(11)(0xdxxxxsx于是当x0时有)1ln(1)(xxxs从而011||0)1ln(1)(xxxxxs因为xnnnndxxnxnxxs00101]11[11)()1ln(11000xdxxdxxxxnn所以当x0时有)1ln(1)(xxxs从而011||0)1ln(1)(xx