挑战2014数学中考压轴题：因动点产生的线段和差问题(含2013试题,含详解)

YDXSZX1.8因动点产生的线段和差问题例152013年天津市中考第25题在平面直角坐标系中，已知点A(－2,0)，B(0,4)，点E在OB上，且∠OAE＝∠OBA．（1）如图1，求点E的坐标；（2）如图2，将△AEO沿x轴向右平移得到△AE′O′，连结A′B、BE′．①设AA′＝m，其中0＜m＜2，使用含m的式子表示A′B2＋BE′2，并求出使A′B2＋BE′2取得最小值时点E′的坐标；②当A′B＋BE′取得最小值时，求点E′的坐标（直接写出结果即可）．图1图2YDXSZX1.8因动点产生的线段和差问题例152013年天津市中考第25题解：（1）由∠OAE＝∠OBA，∠AOE＝∠BOA，得△AOE∽△BOA．所以AOBOOEOA．因此242OE．解得OE＝1．所以E(0,1)．YDXSZX1.8因动点产生的线段和差问题例152013年天津市中考第25题（2）①如图3，在Rt△A′OB中，OB＝4，OA′＝2－m，所以A′B2＝16＋(2－m)2．在Rt△BEE′中，BE＝3，EE′＝m，所以BE′2＝9＋m2．所以A′B2＋BE′2＝16＋(2－m)2＋9＋m2＝2(m－1)2＋27．所以当m＝1时，A′B2＋BE′2取得最小值，最小值为27．此时点A′是AO的中点，点E′向右平移了1个单位，所以E′(1,1)．②如图4，当A′B＋BE′取得最小值时，求点E′的坐标为8(,1)7．图3图4YDXSZX1.8因动点产生的线段和差问题例152013年天津市中考第25题考点伸展第（2）②题这样解：如图4，过点B作y轴的垂线l，作点E′关于直线l的对称点E′′，所以A′B＋BE′＝A′B＋BE′′．当A′、B、E′′三点共线时，A′B＋BE′′取得最小值，最小值为线段A′E′′．在Rt△A′O′E′′中，A′O′＝2，O′E′′＝7，所以A′E′′＝53．当A′、B、E′′三点共线时，''''''AOAOBOEO．所以247m．解得87m．此时8'(,1)7E．图4YDXSZX1.8因动点产生的线段和差问题例162012年山西省中考第26题如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．（1）求直线AC的解析式及B、D两点的坐标；（2）点P是x轴上的一个动点，过P作直线l//AC交抛物线于点Q．试探究：随着点P的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标．1.8因动点产生的线段和差问题例162012年山西省中考第26题解：（1）由y＝－x2＋2x＋3＝－(x＋1)(x－3)＝－(x－1)2＋4，得A(－1,0)、B(3,0)、C(0,3)、D(1,4)．直线AC的解析式是y＝3x＋3．（2）Q1(2,3)，Q2(17,3)，Q3(17,3)．（3）设点B关于直线AC的对称点为B′，联结BB′交AC于F．联结B′D，B′D与交AC的交点就是要探求的点M（如图2）．作B′E⊥x轴于E，那么△BB′E∽△BAF∽△CAO．在Rt△BAF中，1310AFBFAB，AB＝4，所以1210BF．YDXSZX图21.8因动点产生的线段和差问题例162012年山西省中考第26题在Rt△BB′E中，''1310BEBEBB，24'210BBBF，所以12'5BE，365BE．所以3621355OEBEOB．所以点B′的坐标为2112(,)55．因为点M在直线y＝3x＋3上，设点M的坐标为(x,3x＋3)．（图3）由''''''DDMMBDBM，得''''yDyByMyBxDxBxMxB．所以1212433552121155xx．解得935x．所以点M的坐标为9132(,)3535．YDXSZX图31.8因动点产生的线段和差问题例162012年山西省中考第26题考点伸展第（2）题的解题思路是这样的：①如图4，当AP是平行四边形的边时，CQ//AP，所以点C、Q关于抛物线的对称轴对称，点Q的坐标为(2,3)．②如图5，当AP是平行四边形的对角线时，点C、Q分居x轴两侧，C、Q到x轴的距离相等．解方程－x2＋2x＋3＝－3，得17x．所以点Q的坐标为(17,3)或(17,3)．YDXSZX图4图5