东莞市校本教材第3章3复数代数形式的加、减运算及其几何意义

一、回顾旧知实数系复数系1.上一节，我们主要讲了什么？扩充到我们依照这种思想，进一步讨论复数系中的运算问题.2.向量的加法与减法的法则平行四边形和三角形法则那么复数应怎样进行加、减运算呢？二、新课导入我们知道实数有加、减法等运算，且有运算律.加法交换律：a+b=b+a;加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c).3.2.11、我们规定，复数的加法法则如下：很明显，两个复数的和仍然是一个确定的复数.设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，那么(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.即:两个复数相加就是实部与实部,虚部与虚部分别相加.思考…2、复数的加法满足交换律、结合律吗？探究我们规定了加法的运算法则，这个规定的合理性可从下面两方面认识：(1)当b=0,d=0时，与实数加法法则一致；(2)实数加法的交换律、结合律在复数集C中仍然成立.容易得到，对任意z1，z2，z3∈C,有Z1+Z2=Z2+Z1，（Z1+Z2）+Z3=Z1+（Z2+Z3）复数与复平面内的向量有一一对应关系.我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？1.探究思考2.观察我们知道,两个向量的和满足平行四边形法则,复数可以表示平面上的向量，那么复数的加法与向量的加法是否具有一致性呢？xOyZ1(a,b)ZZ2(c,d)12121212OZOZa+bi,c+diOZ=(a,b),OZ=(c,d)OZ=OZ+OZOZ+OZ=(..a+c,b+d)设分别与复数，则由平面向量的坐，应标运对算，得3.过程：如图所示12OZOZ(a+c)+(b+d)i.这说明两个向量和的和就是复数对应的向量xOyZ1(a,b)ZZ2(c,d)4.结论：因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行，这就是复数加法的几何意义.1.复数是否有减法？如何理解复数的减法？基本思想：规定复数的减法是加法的逆运算，即用加法定义两个复数的差，然后只要依据复数的加法，复数相等的条件就可以得到复数减法的法则.这里实际使用的是待定系数法，也是确定复数的一个一般方法.类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数x+yi叫做复数a+bi减去复数c+di的差，记作(a+bi)-(c+di).2.注意3.过程：根据复数相等的定义，有c+x=a,d+y=b,因此x=a-c,y=b-d,所以x+yi=(a-c)+(b-d)i,即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.4.结论这样我们得到复数的减法法则就是:实部与实部,虚部与虚部分别相减.由此可见，两个复数的差是一个确定的复数.复数的减法就是加法的逆运算.1.类比复数加法的几何意义，你能指出复数减法的几何意义吗？自己画一画OyxZ1(a,b)Z2(c,d)ZOZ1-OZ212121212OZOZa+bi,c+diOZ=(a,b),OZ=(c,d)OZ=OZ-OZOZ-OZ=(a-c,b-d)..设分别与复数对应，则由平面向量的，坐标运算，得2.结论因此，复数的减法可以按照向量的减法来进行，这就是复数减法的几何意义（三角形法则）.OyxZ1(a,b)Z2(c,d)ZOZ1-OZ212OZOZ(a-c)+(b-d)i.这说明两个向量和的差就是复数对应的向量例题1自己动动手计算(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)解:(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)=(5-2-3)+(-6-1-4)i=-11i注意通过此例我们可以看到代数形式的加、减法，形式上与多项式的加、减法是类似的.五、学以致用：题型1.复数的加减运算)43()42(1ii)23(52i)51()2()43(3iiiiii4)32()2(41、计算练习练习CD练习、计算(1)(1+3i)+(-4+2i)(2)(1－3i)+(2+5i)+(-4+9i)(3)已知（3-ai)-(b+4i)=2a-bi,求实数a、b的值。我们知道,两个向量的和满足平行四边形法则,复数可以表示平面上的向量，那么复数的加法与向量的加法是否具有一致性呢？题型2.复数加减运算的几何意义•例题2.（创新设计第10题）在复平面内，A、B、C三点对应的复数分别为1，2+i,-1+2i（1）.求向量AB,AC,BC对应的复数；（2）.判断三角形ABC的形状.1、设O是原点，向量对应的复数分别为2-3i,-3+2i,那么向量对应的复数是()A.-5+5i，B.-5-5i，C.5+5i，D.5-5i.OA,OBBAD选择六、随堂练习2、设z1=3-4i,z2=-2+3i,则z1+z2在复平面内对应的点位于()A.第一象限，B.第二象限，C.第三象限，D.第四象限.D解答题3.计算(1－3i)+(2+5i)+(-4+9i)解：原式=(1+2-4)+(-3+5+9)i=-1+11i知识回顾：1，复数的加减法法则：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，那么(a+bi)±(c+di）=＿＿＿＿；两个复数的和或减是一个确定的_____;2，复数的加法在几何上可以按照＿＿＿＿来进行；减法在几何上可以按照＿＿＿＿来进行；),(2dcZ),(1baZZyxO1.计算练习：1)(-2+3i)+(5-i)=2)(-1+5i)-(-4i)=3)(a+bi)-(2a-3bi)-3i=(这里a,bR)2，复平面上三点A,B,C中，点A对应的复数是2+i，向量对应的复数为1+2i，向量对应的复数为3-i，求点C对应的复数。BABCz|23|1ziz例1.已知复数满足试求出复数对应点的轨迹方程.yx★练习|||34|ziiz1,满足条件的复数A.一条直线B.两条直线C.圆D.其它在复平面上对应点的轨迹是()z|33|3zi||z2.复数满足,则的最大值是____;最小值是______.333C思考?轭复数，这两个复数叫做互为共反数时，实部相等，虚部互为相一般的，当两个复数的补充知识:共轭复数若z1,z2是共轭复数，则在复平面上，它们所对应的点有怎样的位置关系？虚部不为零的两个共轭复数也叫共轭虚数.zz的共轭复数记作通常＿＿．＝２＋ｉ，则ｚ等于＿＋ｚＣ，练习：已知ｚz七、课堂小结1.复数的加法法则:实部与实部,虚部与虚部分别相加；2.复数的加法仍然满足交换律、结合律；3.两个复数的和仍然是一个确定的复数；4.复数加法的几何意义就是复数的加法可以按照向量的加法来进行；5.复数的减法法则:实部与实部,虚部与虚部分别相减；6.两个复数的差仍然是一个确定的复数；8.复数减法的几何意义就是复数的减法可以按照向量的减法来进行；7.复数的减法就是加法的逆运算；八、布置作业•1.习题A组1，2，3；•2.创新设计1-103.复数加法满足交换律的证明如下：12121221111222112222212112211221111122Z+Z=(a+a)+(b+b)iZ+Z=a+biZ=a+bi.=(a+bi)+(a+bi)=(a+bi)+(a+bi)Z=(a+a)+(b+b)ia+a=a+ab+b=b+bZ+Z=Z+Z.设，，，，因为又所以，因为复数加法满足结合律的证明如下：111222333112233121123123331232Z=a+biZ=a+biZ=a+bi.=[(a+bi)+(a+bi)]+(a+bi)=[(a+a)+(b+b)i]+(a+b(Z+Z)+Z[(a+a)+a]+[(bi)+b=b,)+]i设，，因为123123123123123123(a+a)+a=a+(a+a)(b+b)+b=b+(b+b)(Z+Z)+Z=Z+(Z+Z.)又为，因所以，112233121312122331323=(a+bi)+[(a+bi)+(a+bi)]=(a+bi)+[(a+a)+(b+b)i]Z+(Z+Z)[a+(a+a)]+[b+(b+b=)]i,例题2计算i+2i2+3i3+…+2004i2004解：=(i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)+…(2001i-2002-2003i+2004)=501(2-2i)=1002-1002i提示42i=-i=12i=-13i=-i2i=-13i=-i42i=-i=12i=-13i=-i42i=-i=12i=-13i=-i2i=-13i=-i42i=-i=12i=-13i=-i42i=-i=12i=-13i=-i1.i0+i1+i2+i3+…+i2004的值为()随堂练习填空向量-1自己动动手2.复数的加、减可以按照（）的加减来进行．2.计算(1－2i)+(－2+3i)+(3－4i)+(4+5i)+…+(－2002+2003i)+(2003－2004i)解法一：原式=(1－2+3－4+…－2002+2003)+(－2+3－4+5+…[phone])i=(2003－1001)+(1001－2004)i=1002－1003i.还有别的方法吗？解法二：∵(1－2i)+(－2+3i)=－1+i，(3－4i)+(－4+5i)=－1+i，……(2001－2002i)+(－2002+2003i)=-1+i.相加得(共有1001个式子)：原式=1001(－1+i)+(2003－2004i)=(2003－1001)+(1001－2004)i=1002－1003i奎屯王新敞新疆八、习题解答练习(第109页)1.（1）5；（2）2-2i;（3）-2+2i;（4）0.2．答案见例题3.