一次函数教案

课题：一次函数教学目标：了解一次函数的概念,掌握一次函数的图象和性质,能正确画出一次函数的图象,并能根据图象探索函数的性质.能根据具体条件列出一次函数的关系式。教学重点：根据不同条件求一次函数的解析式.教学难点：根据函数图象探索其性质.变化的世界【变量】自变量：自己变化的量；在一个变化的过程中，我们称数值变化的量是自变量．常量：有些量的数值是始终不变的量叫常量．函数：被变量是自变量的函数．函数值：当自变量确定一个值，被变量随之确定的一个值．被变量：自变量的变化引起另一个量的变化，另一个量是被变量．【一次函数和正比例函数的概念】1．概念：若两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量），特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.（1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.（2）一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x的次数为1，一次项系数k必须是不为零的常数，b可为任意常数.★判断一个等式是否是一次函数先要化简（3）当b=0，k≠0时，y=kx仍是一次函数.(正比例函数)（4）当b=0，k=0时，它不是一次函数.函数一次函数一元一次方程一元一次不等式二元方程组性质图像2.函数的表示方法：１）解析法，２）列表法，３）图象法．列表法直观但不完全解析法准确完全但不直观图象法直观形象但不够准确也不太完全图象的画法：一列表二描点三连线（顺次用平滑的曲线）解析式的列法：一）实际问题，确定自变量的取值二）符合题意【函数的图象】把一个函数的自变量x与所对应的y的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线．一次函数的图象由于一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b．由于两点确定一条直线，描出适合关系式的两点，再连成直线，一般选取两个特殊点：直线与y轴的交点（0，b），直线与x轴的交点（-kb，0）.画正比例函数y=kx的图象时，只要描出点（0，0），（1，k）即可.【一次函数性质】1.一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的性质（1）k的正、负决定直线的倾斜方向；①k＞0时，y的值随x值的增大而增大；②k﹤O时，y的值随x值的增大而减小．（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x轴相交的锐角度数越小（直线缓）；（3）b的正、负决定直线与y轴交点的位置；①当b＞0时，直线与y轴交于正半轴上；②当b＜0时，直线与y轴交于负半轴上；③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．（4）由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同；函数kb经过的象限Y随x的变化图象y=kx+b(b≠0)k＞0b＞0一,二三Y随x的增大而增大y=kx+b(b≠0)k＞0b＜0一三四Y随x的增大而增大y=kx+b(b≠0)k＜0b＞0一二四Y随x的增大而减小y=kx+b(b≠0)k＜0b＜0二三四Y随x的增大而减小（5）由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x＋1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的．2.正比例函数y=kx（k≠0）的性质（1）正比例函数y=kx的图象必经过原点；（2）当k＞0时，图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大；（3）当k＜0时，图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小．点P（x0，y0）与直线y=kx+b的图象的关系（1）如果点P（x0，y0）在直线y=kx+b的图象上，那么x0,y0的值必满足解析式y=kx+b；（2）如果x0，y0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x0，y0为坐标的点P（1，2）必在函数的图象上．例如：点P（1，2）满足直线y=x+1，即x=1时，y=2，则点P（1，2）在直线y=x+l的图象上；点P′（2，1）不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3，所以点P′（2，1）不在直线y=x+l的图象上．确定正比例函数及一次函数表达式的条件（1）由于正比例函数y=kx（k≠0）中只有一个待定系数k，故只需一个条件（如一对x，y的值或一个点）就可求得k的值．y=kx(k0)y=kx(k0)（2）由于一次函数y=kx+b（k≠0）中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点或两对x，y的值．【一次函数与方程】1.一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的关系一次函数及其图像与一元一次方程及一元一次不等式有着密切的关系，函数y=ax+b（a≠0，a，b为常数）中，函数的值等于0时自变量x的值就是一元一次方程ax+b=0（a≠0）的解，所对应的坐标（－ba，0）是直线y=ax+b与x轴的交点坐标，反过来也成立；直线y=ax+b在x轴的上方，也就是函数的值大于零，x的值是不等式ax+b0（a≠0）的解；在x轴的下方也就是函数的值小于零，x的值是不等式ax+b0（a≠0）的解．2.坐标轴的函数表达式函数关系式x=0的图像是y轴，反之，y轴可以用函数关系式x=0表示；函数关系式y=0的图像是x轴，反之，x轴可以用函数关系式y=0表示．3.一次函数与二元一次方程组的关系一般地，每个二元一次方程组，都对应着两个一次函数，于是也就是对应着两条直线，从“数”的角度看，解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这两函数值是何值；从形的角度考虑，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标，所以一次函数及其图像与二元一次方程组有着密切的联系．4.两条直线的位置关系与二元一次方程组的解（1）二元一次方程组1122ykxbykxb有唯一的解直线y=k1x+b1不平行于直线y=k2x+b2k1≠k2．（2）二元一次方程组1122ykxbykxb无解直线y=k1x+b1∥直线y=k2x+b2k1=k2，b1≠b2．（3）二元一次方程组1122ykxbykxb有无数多个解直线y=k1x+b1与y=k2x+b2重合k1=k2，b1=b2．5.待定系数法先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程（或方程组），求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法．其中未知系数也叫待定系数．例如：函数y=kx+b中，k，b就是待定系数．用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤：一设，二代，三解，四代入（1）设函数表达式为y=kx+b；（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；（3）求出k与b的值；（4）将k、b的之带入y=kx+b，得到函数表达式。例如：已知一次函数的图象经过点（2，1）和（-1，-3）求此一次函数的关系式．解：设一次函数的关系式为y＝kx+b（k≠0），由题意可知，,3,21bkbk解.35,34bk∴此函数的关系式为y=3534x．【知识规律小结】1．常数k，b对直线y=kx+b(k≠0）位置的影响．①当b＞0时，直线与y轴的正半轴相交；当b=0时，直线经过原点；当b﹤0时，直线与y轴的负半轴相交．②当k，b异号时，即-kb＞0时，直线与x轴正半轴相交；当b=0时，即-kb=0时，直线经过原点；当k，b同号时，即-kb﹤0时，直线与x轴负半轴相交．③当k＞O，b＞O时，图象经过第一、二、三象限；当k＞0，b=0时，图象经过第一、三象限；当b＞O，b＜O时，图象经过第一、三、四象限；当k﹤O，b＞0时，图象经过第一、二、四象限；当k﹤O，b=0时，图象经过第二、四象限；当k＜O，b＜O时，图象经过第二、三、四象限．2．直线y=kx+b（k≠0）与直线y=kx(k≠0)的位置关系．直线y=kx+b(k≠0)平行于直线y=kx(k≠0)当b＞0时，把直线y=kx向上平移b个单位，可得直线y=kx+b；当b﹤O时，把直线y=kx向下平移|b|个单位，可得直线y=kx+b．3．直线b1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2（k1≠0，k2≠0）的位置关系．①k1≠k2y1与y2相交；②2121bbkky1与y2相交于y轴上同一点（0，b1）或（0，b2）；③2121,bbkky1与y2平行；④2121,bbkky1与y2重合.【做题方法与技巧】本单元的知识点比较繁多,而且在初中数学中所占的地位也比较重要．因此,我用”六个求”来对于本单元进行复习.1、求系数(指数)例1、已知函数y=(k-1)x2k+m-2①若它是一个正比例函数,求k,m的植.②若它是一个一次函数，求k,m的植．分析：这类题目是考察同学们对函数解析式的特征的理解，在讲解时要突出两个疑难：一是一次函数中自变量的指数等于１，而不是０；二是一次函数解析式中自变量的系数不为零．２．求位置：是指一次函数的图象在坐标系中的位置，包括两种情况：⑴两条直数的位置关系：若两条直线1x+b1,直线l2:x+b2,l1//l2k1=k2(这里不必要提出b1≠b2)，l1与l2相交k1≠k2．（２）直线经过的象限：一般的，一条直线都经过三个象限，由于新教材不注重k，b的符号决定直线经过的象限的理解，且加上我班学生的基础较差，成绩一般．而题目又往往出这种知识点，因此我把这个知识点编成顺口溜：＂大大一二三，小小二三四，大小一三四，小大一二四＂，意思是当k0，b0是，直线经过一二三象限，以此类推．（课件中以表格的形式向同学展示）同学们很容易记住并理解，举一些例子加以说明．特别地，举下面一个例子：例２、如果函数y=kx+b图象不经过第二象限,则k,b的符号如何?举这个例子的目的是锻炼同学们的逆向思维,以加深理解.３.求交点：指一次函数的图象与坐标轴的交点坐标以及两直线交点坐标的求法．直线y=kx+b与x轴的交点坐标是（－kb，０），与y轴的交点坐标是（０,b）,这里要再次向学生解释一下，－kb和b是怎样得出来的．两条直线的交点坐标的求法：是将两直线的解析式联立成一个二元一次方程组，解这个方程组，将它的解写成一个有序实数对，就是两直线的交点坐标．４．求面积：指一次函数的图象与两条坐标轴围成的直角三角形面积的求法，这可以用一个公式来表达：s=21│－kb│*│b│.例３、已知一次函数y=21x－５．①求该函数图象与坐标的交点坐标，并画出其图象．②求函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积．讲到这里，提出一个思考题，让同学们课后完成，已知两条直线y=21x－５和y=－２x+4，求它们与坐标轴共同围成的图形的面积．５.求范围⑴求自变量的取值范围：初中阶段不外乎三种情况：一是当自变量在分母上时，分母的式子不等于零；二是当自变量在根号内时，根号内的式子大于等于零；三是当自变量既不在分母上，也不在根号内时，自变量的取值为任意实数．⑵根据函数的图象或函数的解析式，给出x的取值范围能判定y的相应的取值范围，或给出y的取值范围判定x的相应的取值范围，这是一类较难的问题，讲解时，要特别注意数形结合．６.求解析式一般用特定系数法求函数的解析式，特定系数法的一般步骤是＂设→代→解→答＂．当然，在一些日常生活实际问题中，则可以根据题意直接列出解析式这里应该说明：自变量的取值范围是函数解析式的一部分，但具体求法不作要求．