第二章-流体力学控制方程-2010

计算流体动力学Computationalfluidmechanics机械与动力工程学院凌祥NanjingUniversityofTechnologyNanjingUniversityofTechnology2第二章流体力学的控制方程z实际流体中应力与变形速度z流动模型z物质导数与速度散度z连续方程（Continuity Equation）z动量方程（Momentum Equation）z能量方程（Energy Equation）z边界条件NanjingUniversityofTechnologyNanjingUniversityofTechnology3NanjingUniversityofTechnologyNanjingUniversityofTechnology4实际流体中应力与变形速度NanjingUniversityofTechnologyNanjingUniversityofTechnology5NanjingUniversityofTechnologyNanjingUniversityofTechnology6NanjingUniversityofTechnologyNanjingUniversityofTechnology7NanjingUniversityofTechnologyNanjingUniversityofTechnology8NanjingUniversityofTechnologyNanjingUniversityofTechnology9流动模型¾有限控制体（FiniteControlVolume)¾无穷小流体微团(InfinitesimalFluidElement)NanjingUniversityofTechnologyNanjingUniversityofTechnology101、有限控制体模型a)空间位置固定的有限控制体，流体流过控制体b)随流体流动的有限控制体，同一批流体质点始终位于同一控制体内流动模型NanjingUniversityofTechnologyNanjingUniversityofTechnology112、无穷小流体微团模型a)空间位置固定的无穷小微团，流体流过微团b)沿流线流动的无穷小微团，其速度等于流线上每一点的当地速度流动模型NanjingUniversityofTechnologyNanjingUniversityofTechnology12物质导数与速度散度1物质导数（SubstantialDerivative）（运动流体微团的时间变化率）()()()(),,,,,,,,,,,,ρρ=++====uvwuuxyztvvxyztwwxyztxyztVijk流体微团在流场中的流动NanjingUniversityofTechnologyNanjingUniversityofTechnology13物质导数与速度散度1物质导数（SubstantialDerivative）（运动流体微团的时间变化率）()()1111122222Point1Point2,,,,,,ρρρρ==xyztxyztNanjingUniversityofTechnologyNanjingUniversityofTechnology14物质导数与速度散度1物质导数（SubstantialDerivative）（运动流体微团的时间变化率）()()()()21212121111211(High-orderterms)ρρρρρρ⎛⎞∂∂∂⎛⎞⎛⎞=+−+−+−⎜⎟⎜⎟⎜⎟∂∂∂⎝⎠⎝⎠⎝⎠∂⎛⎞+−+⎜⎟∂⎝⎠xxyyzzxyztttNanjingUniversityofTechnologyNanjingUniversityofTechnology15物质导数与速度散度1物质导数（SubstantialDerivative）（运动流体微团的时间变化率）()()()()()()()21212112121211211121(High-orderterms)ρρρρρρ−−⎛⎞−∂∂⎛⎞=++⎜⎟⎜⎟−∂−∂−⎝⎠⎝⎠−∂∂⎛⎞⎛⎞++⎜⎟⎜⎟∂−∂⎝⎠⎝⎠xxyyttxttyttzzztttNanjingUniversityofTechnologyNanjingUniversityofTechnology16()212121limρρρ→−=−ttDttDt物质导数与速度散度1物质导数（SubstantialDerivative）（运动流体微团的时间变化率）代表流体微团密度在固定点1的时间变化率ρDDtρ∂∂t代表流体微团通过1点时，流体微团密度的瞬时时间变化率物理含义与数值均不同NanjingUniversityofTechnologyNanjingUniversityofTechnology17()()()212121212121212121limlimlim→→→−=−−=−−=−ttttttxxuttyyvttzzwtt物质导数与速度散度1物质导数（SubstantialDerivative）ρρρρρ∂∂∂∂=+++∂∂∂∂DuvwDttxyz笛卡尔坐标下∂∂∂∂=+++∂∂∂∂DuvwDttxyz物质导数NanjingUniversityofTechnologyNanjingUniversityofTechnology18物质导数与速度散度1、物质导数（SubstantialDerivative）∂∂∂∇=++∂∂∂xyzijk()DDtt∂≡+•∇∂V（1）以向量的型式表示物质导数，对任意坐标系都成立（2）物质的导数可以用于任何流场变量，比如、等等。DpDtDTDtNanjingUniversityofTechnologyNanjingUniversityofTechnology19物质导数与速度散度1、物质导数（SubstantialDerivative）()DDtt∂≡+•∇∂V¾当地导数它在物理上是固定点处的时间变化率¾迁移导数它在物理上表示由于流体微团从流场中的一点运动到另一点，流场的空间不均匀性引起的时间变化率当地导数/LocalDerivative迁移导数/ConvectiveDerivativeNanjingUniversityofTechnologyNanjingUniversityofTechnology20物质导数与速度散度1、物质导数（运动流体微团的时间变化率）物质导数物理含义：流体微团经过流场中某一点时，微团温度的时间变化率，一部分是该点处流场温度本身随时间的涨落；另一部分则是由于流体微团正在流向流场中温度不同的另一点（迁移导数）()DTTTDttTTTTuvwtxyz∂≡+•∇∂∂∂∂∂≡+++∂∂∂∂VNanjingUniversityofTechnologyNanjingUniversityofTechnology21物质导数与速度散度1、物质导数（SubstantialDerivative）示例：人走过山洞物质导数本质与全微分相同(),,,ρρ=xyztρρρρρ∂∂∂∂=+++∂∂∂∂ddxdydzdtxyztρρρρρρρρρ∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂∂∂∂=+++∂∂∂∂ddxdydzdttxdtydtzdtuvwtxyzNanjingUniversityofTechnologyNanjingUniversityofTechnology222、速度散度-Divergenceofthevelocity物质导数与速度散度∂∂∂∇•=++∂∂∂uvwxyzVNanjingUniversityofTechnologyNanjingUniversityofTechnology23()()⎡⎤Δ=Δ•⎣⎦=Δ•cccVtdStdVnVS2、速度散度-Divergenceofthevelocity物质导数与速度散度0cdS→()ccStdΔ•∫∫VSNanjingUniversityofTechnologyNanjingUniversityofTechnology242、速度散度-Divergenceofthevelocity物质导数与速度散度()1ccccScSDVtdDttd=Δ•Δ=•∫∫∫∫VSVS()cccVDVdVDt=∇•∫∫∫V矢量分析中的散度定理NanjingUniversityofTechnologyNanjingUniversityofTechnology252、速度散度-Divergenceofthevelocity物质导数与速度散度()()cccVDVdVDtδδ=∇•∫∫∫VAssumethatissmallenoughδcV()()ccDVVDtδδ=∇•Vδδ∇•=1D()DccVVtVNanjingUniversityofTechnologyNanjingUniversityofTechnology26物质导数与速度散度2、速度散度-Divergenceofthevelocityδδ∇•=1D()DccVVtV物理含义：每单位体积运动着的流体微团，体积相对的时间变化率NanjingUniversityofTechnologyNanjingUniversityofTechnology27连续性方程（ContinuityEquation）¾空间位置固定的有限控制体模型¾随流体流动的有限控制体模型¾空间位置固定的无穷小微团模型¾随流体流动的无穷小微团模型¾四种方程的转化NanjingUniversityofTechnologyNanjingUniversityofTechnology28连续性方程（ContinuityEquation）1、空间位置固定的有限控制体模型通过控制面Sc流出控制体的净质量流量＝控制体内质量减少的时间变化率0ccccVSdVdtρρ∂+•=∂∫∫∫∫∫VS=BCNanjingUniversityofTechnologyNanjingUniversityofTechnology29连续性方程（ContinuityEquation）1、空间位置固定的有限控制体模型cnVdSdρρ=•VSccSBdρ=•∫∫VSρ=∫∫∫ccVmdVNanjingUniversityofTechnologyNanjingUniversityofTechnology30连续性方程（ContinuityEquation）1、空间位置固定的有限控制体模型ρ∂−=∂∫∫∫ccVdVCtccccSVddVtρρ∂•=−∂∫∫∫∫∫VS0ccccVSdVdtρρ∂+•=∂∫∫∫∫∫VSNanjingUniversityofTechnologyNanjingUniversityofTechnology31连续性方程（ContinuityEquation）2、随流体运动的有限控制体模型考虑控制体随流体运动时质量m是一个常数。其物质导数等于0。c0ρ=∫∫∫VDdVDtCρ=∫∫∫ccVmdVNanjingUniversityofTechnologyNanjingUniversityofTechnology32连续性方程（ContinuityEquation）3空间位置固定的无穷小微团模型NanjingUniversityofTechnologyNanjingUniversityofTechnology33连续性方程（ContinuityEquation）3、空间位置固定的无穷小微团模型X方向净流出量()()()uuudxdydzudydzdxdydzxxρρρρ∂∂⎡⎤+−=⎢⎥∂∂⎣⎦NanjingUniversityofTechnologyNanjingUniversityofTechnology34连续性方程（ContinuityEquation）3、空间位置固定的无穷小微团模型Y方向净流出量()()()vvvdxdydzvdydzdxdydzyyρρρρ⎡⎤∂∂+−=⎢⎥∂∂⎣⎦NanjingUniversityofTechnologyNanjingUniversityofTechnology35连续性方程（Conti