§4.3--高阶方程的降阶和幂级数解法-常微分方程课件-高教社-王高雄教材配套ppt

第四章线性方程§4.3§4.3高阶方程的降阶和幂级数解法可降阶方程类型二阶线性微分方程的幂级数解第二宇宙速度计算第四章线性方程§4.3可降阶方程类型(1)不显含x,x’,…,x(k-1)(1)不显含x,x’,…,x(k-1)F(t,x(k),x(k+1),…,x(n))=0可降k-1阶:令y=x(k)•方程变为F(t,y,y’,…,y(n-k))=0有解即•再积分k次得原方程的通解12(,,,,)nkytcccL()12(,,,,)knkxtcccL12(,,,,)nxtcccL第四章线性方程§4.3例1求方程的解解令方程化为•这是一阶方程，有解即于是可连续积分4次得其中ci(i=1,…,5)为任意常数。•此即为原方程的通解。44ddxytd10dyyttyct44ddxctt53212345xctctctctc5454d1d0ddxxttt第四章线性方程§4.3可降阶方程类型(2)不显含t（2）不显含t:F(x,x’,…,x(n))=0可降一阶•令y=x’，视y为新未知函数，x为新自变量，则有•用数学归纳法，可证明：x(k)可用表出。将其代入原方程，得x,y的n-1阶方程•比原方程降低了一阶。11dd,,,()ddkkyyyknxxL11dd,,,,0ddkkyyGxyxxL2222ddddd',''',''',dddddyyyyyxyxxyxyytxxxt第四章线性方程§4.3例2求解方程解令y=x’，因有•原方程化为得•积分得即•再积分之：其中c1,c2为任意常数。•此即为原方程的通解。2''(')0xxxd''dyxyx2d0dyxyyxd00dyyxyx或cyx'cxx212xctc第四章线性方程§4.3(3)齐次线性方程已知k个特解（3）齐次线性方程已知k个线性无关的非零特解，可降k阶•设存在k个线性无关的非零特解x1,x2,…,xk•先令x=xky逐步求x的n阶导数后•代入原方程化为y的n阶方程•因xk满足齐次线性方程，可令z=y’，并用xk除''''()()'(1)''(2)'',''''2',(1)2!kkkkknnnnnkkkkxxyxyxxyxyxynnxxynxyxyxyLLL()(1)11()()'()0nnnnxatxatxatxL()'(1)()(1)11[()][()()]0nnnnkkknkkkxynxatxyxatxatxyLL(1)(2)121()()'()0nnnnzbtzbtzbtzL第四章线性方程§4.3(续)齐次线性方程已知k个特解•因有关系•可证z方程的k-1个解仍线性无关。•事实上，假设它们之间存在关系式即•积分之有•或•因x1,x2,…,xk线性无关，必有1=2=…=k=0。这证明了k-1个解线性无关。(1)(2)121()()'()0nnnnzbtzbtzbtzL''dkkxzyxxztx或'1,2,,1iikxzikxL1122110kkzzzL112121'''0kkkkkxxxxxxL112121kkkkkkxxxxxxL1122110kkkkxxxxL第四章线性方程§4.3(续)齐次线性方程已知k个特解•仿上做法，可进一步令•而得的k-2阶齐次线性方程且有k-2个线性无关解•从而使原方程降低了二阶。•如此类推。因此，已知个线性无关的非零特解时可降k阶。1dkzzut(2)(2)12()()0nnnuctuctuL1'1,2,,2iikzuikxL(1)(2)121()()'()0nnnnzbtzbtzbtzL第四章线性方程§4.3二阶齐次线性方程已知非零特解时方程可解设特解x1满足方程经变换•后方程变为一阶线性微分方程•可解得•因此方程的解为•如取c1=0,c2=1，可得方程的一个特解因它与x1之比不为常数，故它与x1线性无关•于是解是方程的通解。1dxxyt'111d[2()]0dyxxptxyt()d211pttycex()d112211[d]pttxxccetx()d1211dpttxxetx22dd()()0ddxxptqtxtt第四章线性方程§4.3例3已知是方程的解，求方程的通解。解这里由公式得其中c1,c为任意常数。•方程有通解()d112211[d]pttxxccetxsintxt2'''0xxxt2()ptt21122sin1sincotsintttxccdtccttttt11(sincos)xctctt第四章线性方程§4.3二阶线性微分方程的幂级数解例4用幂级数求解方程解设是方程的解。由•将y’’的表达式代入方程，比较的同次幂系数，可得•一般地可推得•因而•上式中两个幂级数的收敛半径为无限大，因此级数的和亦收敛，且是方程的通解。d''0,'dyyxyyx2012nnyaaxaxaxLL21231''2132(1)(1)nnnnyaaxnnaxnnaxLL2304152210,320,430,540aaaaaaa0133132,,02356(31)334673(31)kkkaaaaakkkkLL36304731112323562356(31)334346734673(31)nnxxxyannxxxaxnnLLLLLL第四章线性方程§4.3例5用幂级数试求方程的满足初值条件y(0)=0,y’(0)=1的解。解设是方程的解。•首先，利用初值条件y(0)=0,y’(0)=1可得•于是•将y,y’,y’’的表达式代入方程，比较的x同次幂系数，得到因而•即对一切正整数成立•于是方程的解为''2'40yxyy2012nnyaaxaxaxLL010,1aa23232123223'123''232(1)nnnnnnyxaxaxaxyaxaxnaxyaaxnnaxLLLLLL234220,1,0,,,1nnaaaaanLL567891111,0,,0,,2!63!4!aaaaaL2122111,0(1)!!kkaakkk2521423212!!2!!kkxxxxxyexxxxxkkLLLL第四章线性方程§4.3考虑带初始条件的二阶齐线性方程•这里x0=0，否则可引进新变量t=x-x0化为t0=0。定理10若方程中系数p(x),q(x)能展成收敛区间为|x|R的幂级数，则二阶齐线性方程有收敛区间为|x|R的幂级数解•例4、例5满足定理条件，系数0,-x和-2x,-4可看成在全数轴上收敛的幂级数。•故方程的幂级数解在全数轴上收敛。0nnnyax2'002dd()()0,(0),'(0)ddyypxqxyyyyyxx第四章线性方程§4.3适合贝赛尔方程的定理n阶贝赛尔方程(n不为非负常数)系数不满足定理10条件。定理11若方程中系数p(x),q(x)有性质：xp(x),x2q(x)能展成收敛区间为|x|R的幂级数，若a0≠0，则二阶齐线性方程有收敛区间为|x|R的幂级数形式特解•这里为待定常数。221()()1npxqxxx、00nnnnnnyxaxax22222dd()0ddyyxxxnyxx第四章线性方程§4.3(续)定理11若a0=0，或更一般•此时如令•则幂级数形式特解变为•这里而仍为待定常数。0110,0mmaaaaL,kmkmba00nmkknmkknmkkyxaxxaxxbx00mba00nnnnnnyxaxax第四章线性方程§4.3例7求解贝赛尔方程解将方程改写为•它满足定理11条件,•方程有收敛区间为|x|∞的幂级数解•将其代入有归类的同幂次系数，得各x的同幂次系数分别满足方程222()1()xpxxqxxn、0kkkyax22122110()(1)()()0kkkkkkkkkxkkaxxkaxxnax2200[()(1)()]0kkkkkkkkknaxax220221222[]0,[(1)]0,[()]0,2,3,kkananaknakL22222dd()0ddyyxxxnyxx22222d1d()0ddyyxnyxxxx第四章线性方程§4.3(续)例7求解贝赛尔方程•因a0≠0,上式第一个方程有解=n和=-n。•当=n时可进一步解得•它可分奇、偶项分别有•最后归结为•即方程的一个特解为210,,2,3,(2)kkaaakknkL2121222,(21)(221)1,2,2(22)kkkkaaknkkaaknkL210220,1,2,(1)2!(1)(2)()kkkkakaaknnnkLL201021(1)2!(1)(2)()nkknkkayaxxknnnkL220221222[]0,[(1)]0,[()]0,2,3,kkananaknakL第四章线性方程§4.3Γ(s)函数•如果我们定义函数Γ(s)•Γ(s)函数有性质Γ(s+1)=sΓ(s);Γ(n)=n!(n正整数)于是如令•则由函数的性质贝赛尔方程的一个特解y1变为10,0()1(1),0ssxedxsssss当当且非整数012(1)nan22100(1)(1)()!()(1)(1)2!(1)2knknkknkkxxyJxknknnknkL201021(1)2!(1)(2)()nkknkkayaxxknnnkL第四章线性方程§4.3=-n情形.n和-n阶贝塞耳函数当=-n时方程有形如•的特解。•只要n非负整数，可像=n时的求解过程一样可求得•同样•若令则有•此Jn(x)和J-n(x)称为n和-n阶贝塞耳函数。012(1)nan20nkkkyax210220,1,2,(1)2!(1)(2)()kkkkakaaknnnkLL202021(1)2!(1)(2)()knknkkayaxxknnnkL220(1)()!(1)2knknkxyJxknk第四章线性方程§4.3n阶贝塞耳方程解定理n阶贝塞耳方程•(n不为非负常数)有特解•而n阶贝塞耳方程的通解为c1,c2为任意常数。•事实上，还可用达朗贝尔判别法验证y1,y2的幂级数对x的收敛性。故当n不为非负常数时，y1,y2为方程的特解。•且因y1,y2分别展开为不同幂次的幂级数，故y1,y2之比不为常数，即线性无关，从而可由y1,y2表示方程的通解。210220(1)()!(1)2(1)()!(1)2knknkknknkxyJxknkxyJxknk