三角函数的化简与求值

数学(第二轮)专题训练第九讲:三角函数的化简与求值学校学号班级姓名知能目标1.掌握同角的三角函数的基本关系式:掌握正弦,余弦的诱导公式;掌握两角和与两角差的正弦,余弦,正切公式;掌握二倍角的在正弦，余弦,正切公式.2.能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简,求值和恒等式证明.综合脉络三角变换是运算化简过程中运用较多的变换,也是历年高考命题的热点.提高三角变换能力,要学会设置条件,灵活运用三角公式,掌握运算、化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下:1.角的变换:在三角化简、求值、证明中,表达式往往出现较多的相异角,可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中的差异,使问题获解.对角的变形如下:)2()2()(,2304560304515,)4()4()()(2,)4(24特别地,4与4为互余角,它们之间可以互相转化,在三角变形中使用频率高.2.函数名称变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数.如在三角函数中正余弦是基础,通常化切、割为弦,变异名为同名.3.常数代换:在三角函数运算、求值、证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,例如常数“1”的代换变形有:222222cotcsctanseccossin1.4.幂的变换:降幂是三角变换时常用方法,对次数较高的三角函数式,一般采用降幂处理的方法.常用降幂公式有:1cossin,22cos1cos,22cos1sin2222等,三角变换时,有时需要升幂,如对无理式cos1常用升幂化为有理式,升幂公式与降幂公式是相对而言的.5.公式变形式:三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的直接应用,逆用以及变形式的应用.如:)tantan1)(tan(tantan,sin22sincos等.(一)典型例题讲解:例1.(1)当2x0时，函数x2sinxsin8x2cos1)x(f2的最小值为()A.2B.32C.4D.34(2)已知cos,32tan则.例2.已知22tan,求:(1))4tan(的值;(2)cos2sin3cossin6的值.例3.已知A、B、C的坐标分别为A)0,3(,B)3,0(,C)sin,(cos,)23,2(.(1)若|AC||BC|,求角的值;(2)若1CBAC,求tan12sinsin22的值.例4.已知,0x251xcosxsin.(1)求xcosxsin的值;(2)求xcotxtan2xcos2xcos2xsin22xsin322的值.(二)专题测试与练习:一.选择题1.15cot15tan()A.2B.32C.4D.322.若,x2sin)x(tanf则)1(f的值为()A.2sinB.1C.21D.13.已知)4tan(,223)4tan(,52)tan(那么()A.51B.1813C.41D.22134.若，均是锐角，且)cos(sin2,与的关系是()A.B.C.D.25.化简:212sincos1010cos()1cos10170=.A.0B.1C.1D.16.已知,1027)4sin(且432,求)42tan(的值．A.3217B.1731C.1731D.3117二.填空题7.若,31)6sin(则)232cos(.8.设为第四象限的角,若513sin3sin,则2tan___________.9.已知、均为锐角,且),sin()cos(则tan.10.若71cos,)2,0(,则)3cos(__________.三.解答题11.已知为第二象限的角,53sin,为第一象限的角,135cos,求)2tan(的值.12.化简:.)4(sin)4tan(21cos222.13.已知向量)sin,(cosm,和),2,(),cos,sin2(n且.528||nm求)82cos(的值.三角函数的化简与求值解答(一)典型例题例1.解：1.(1)D;(2)－54.例2.解：(1)∵22tan,∴3441222tan12tan2tan2;所以71341134tan11tan2tantan14tantan)4tan(.(2)由(1)34tan,所以672)34(31)34(62tan31tan6cos2sin3cossin6例3.解：(1)∵|AC||BC|,∴点C在xy上,则cossin.),23,2(.45(2)),sin,3(cosAC),3sin,(cosBC,1)3(sinsin)3(coscos则32cossin原式＝.95cossin2例4.解：(1)25241251xcosxsin251xcosxsin，254925241)xcosx(sin2，又0xcosxsin0x2，57xcosxsin．(2)原式125108)2512(59xcosxsin)]xsinx(cos2[xcosxsin1xsin12xsin22．(二)专题测试与练习一.选择题题号123456答案DBBADC二.填空题7.97;8.43;9.1;10.1411.三.解答题11.解：是第二象限角，7242tan43tan54cos53sin，是第一象限角，253204)2tan(512tan135cos12.解：原式＝12cos2cos)4cos()4sin(22cos)]4(2[sin)4tan(22cos213.解法一:)sincos,2sin(cosnm22)sin(cos)2sin(cosnm)sin(cos224)4cos(44)4cos(12由已知528||nm，得257)4cos(又1)82(cos2)4cos(2所以2516)82(cos20)82cos(898285,254)82cos(解法二:nmnmnnmmnmnm22)(22222]cossin)sin2([cos2)cos)sin2(()sincos(2222222)82(cos8)]4cos(1[4)sin(cos2242由已知528||nm，得54|)82cos(|0)82cos(898285,254)82cos(