数列极限的定义

引例:截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”;211a第一天截下的杖长为;2122a第二天截下的杖长为;21nnan天截下的杖长为第nna210数列{}na.2、数列数列对应着数轴上一个点列,可看作一动点在数轴上依次取12,,,,.naaa注意:a1a5a4a3a2an例如;,21,,81,41,21n}21{n;,)1(,,34,21,21nnn})1({1nnn3412,,,,,;23nn1{}nn数列的极限{}nan观察数列当时的变化趋势.当n无限增大时,an无限接近于a.当n无限增大时,|ana|无限接近于0.当n无限增大时,|ana|可以任意小,要多小就能有多小.当n增大到一定程度以后,|ana|能小于事先给定的任意小的正数.当n无限增大时,如果数列{an}的一般项an无限接近于常数a,则数列{an}收敛a.因此,如果n增大到一定程度以后,|ana|能小于事先给定的任意小的正数,则当n无限增大时,an无限接近于常数a.问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.1(1),11.nnnan当无限增大时无限接近于通过观察:我们可用两个数之间的‘距离’来刻化两个数的接近程度.1nannn11)1(11)1(11nn随着n的增加，1/n会越来越小.1nannn11)1(1随着n的增加，1/n会越来越小.例如1)1(11nn,1001给定,10011n由,100时只要n11,100na有,1000时只要n11,1000na有,10001给定11,10000na有,10000时只要n,100001给定1,给定11,n由1,n只要时11,na有1,10给定11,10n由10,n只要时11,10na有0,任意给定1([),]nN只要时1.na有成立[x]为取整函数,0给定,])1[(时只要Nn1.na有成立只要n无限增大，an就会与1无限靠近,Nn确保1na(1)na刻画与的接近程度1na充分接近n引入符号和N来刻化无限靠近和无限增大.1nannn11)1(11)1(11nn1na即可任意小定义1(N定义)设na是一个数列，a是一个确定的数，若对任给的正数，相应地存在正整数N，使得当nN时，总有naa，则称数列na收敛于a，a称为它的极限，记作limnnaa或()naan．如果数列na没有极限，则称它是发散的或发散数列．注意:N定义的要点.成立时，），使得，当（存在aaNnNn,0aaa()x1a2a2Na1Na3a几何解释:2aaa,(,),().nnNaaaN当时所有的点都落在内只有有限个至多只有个落在其外:定义N成立时，），使得，当（存在aaNnNn,0例1，数列，都没有极限.12n1)1(n如果当无限增大时，数列不能接近于一个确定的常数，则称数列没有极限，或称数列发散，记作不存在.n当无限增大时，如果无限增大，则数列没有极限.这时，习惯上也称数列的极限是无穷大，记作nnananannalimnnalimnana例2.321312limnnn证明证aan321312nnn1,1N取,时则当Nn,1321312nnn总有.321312limnnn,0对)13(37nn97成立时，），使得，当（存在aaNnNn,0用定义证明an=a，就是证明对0，N存在.nlim证明的步骤：(1)对于任意给定的正数,令|ana|;(2)由上式开始分析倒推,推出n();(3)取N=[()],再用N语言顺述结论.注意:(1)由于N不唯一,不要求最小的N,故可把|ana|适当放大,得到一个新的不等式,再寻找N.(2)从|ana|找N与解不等式|ana|意义不同.例3.1||,0limqqnn其中证明证,0任给,0q若0limlimnnnq则;0,|||0|nnqa,ln||lnqn,||lnlnqN取,时则当Nn,|0|nq恒有.0limnnq,1||0q若,||lnlnqn,01对nnqlim1||0q1||q11q1q不存在.)1(lim不存在证明nn只要n无限增大，an无法与始终和1无限靠近,也无法和始终和－1无限靠近。