北师大九下数学解直角三角形题型总结(很全面哦)

第1页共11页（第16题）CBA直角三角形知识回顾直角三角形ABC中，∠C=90º，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？（1）三边之间关系a²+b²=c²（勾股定理）（2）锐角之间关系∠A+∠B=90º（3）边角之间关系仰角、俯角，坡度比、坡度角，方位角(例如：北偏东520)锐角三角函数的定义及性质【例1】如图，在直角△ABC中，∠C＝90°,若AB＝5，AC＝4，则sin∠B＝（）A.35B.45C.34D.43【例2】如图,△ABC中∠A=30º,tanB=23,AC=32,则AB=____【变式练习1】如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=50°，AB=10，则BC的长为（）A.10tan50°B.10cos50°C.10sin50°D.10cos50°【变式练习2】如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE＝，且cos＝53，AB＝4，则AD的长为()A．3B．316C．320D．516利用网格构造直角三角形BCACBA第2页共11页【例1】如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）A．12B．55C．1010D．255【例2】网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA=．【变式练习1】如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA=_______.【变式练习2】如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（）A．13B．12C．22D．3解直角三角形【例】(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°．a＝350，235c，求∠A、∠B，b；(2)已知Rt△ABC中，∠C＝90°，32a，2b，求∠A、∠B，c；第3页共11页【变式练习】(1)已知Rt△ABC中，∠C＝90°，32sinA，6c，求a、b；(2)已知Rt△ABC中，,9,23tanbB求a、c；【例】若为锐角，tan＝31，则sin＝，cos＝.如果α是锐角，且cosα＝513，那么sinα的值是___________(3)如果三角形的每条边都扩大为原来的5倍，那么三角形的每个角的正弦、余弦、正切（）A、都扩大为原来的5倍B、都扩大为原来的10倍C、都扩大为原来的25倍D、都与原来相等特殊角的三角函数值(重要)三角函数30°45°60°sincostan【例】求下列各式的值30cos245sin60tan2030tan2345sin60cos22160tan45sin230cos2tan45sin301cos60第4页共11页000145tan30tan331232603080costan【例2】在ABC中，若0)22(sin21cos2BA，BA，都是锐角，求C的度数.【例3】求适合下列条件的锐角．(1)21cos(2)33tan(3)222sin(4)33)16cos(6巧作辅助线【例1】已知：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝135°，AC＝10cm．求AB及BC的长．【变式练习】如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB的长．【例2】如图，四边形ABCD中，∠BAD=135°，∠BCD=90°，AB=BC=2，tan∠BDC=63．(1)求BD的长；(2)求AD的长．第5页共11页【变式练习】如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，求AB的值．方程求解(设未知数x)【例1】已知：如图，Rt△ABC中，∠D＝90°，∠B＝45°，∠ACD＝60°．BC＝10cm．求AD的长．【变式练习】如图，河对岸有一水文站A，小伟在河岸B处测得∠ABD=45°，沿河岸行走300米后到达C处，在C处测得∠ACD=30°，求河宽AD．（最后结果精确到1米．≈1.414，≈1.732，≈2.449，供选用）【例2】如图所示，在甲楼顶A处测得乙楼CD的点C的仰角为30，点D的俯角为60，又在B处测得点C的仰角为45，如果3824AB米，求乙楼CD的高．第6页共11页仰角与俯角：当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫做俯角．【例1】如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（）A．200米B．200米C．220米D．100（）米【例2】如图，一风力发电装置竖立在小山顶上，小山的高BD=30m．从水平面上一点C测得风力发电装置的顶端A的仰角∠DCA=60°，测得山顶B的仰角∠DCB=30°，求风力发电装置的高AB的长．【变式练习】如图，小聪用一块有一个锐角为30的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距33米，小聪身高AB为1.7米，求这棵树的高度.第7页共11页【例2】已知：如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°，又知河宽CD为50m．现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求山的高度及缆绳AC的长(答案可带根号)．【变式练习】如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为（）坡度与坡角把坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母i表示，即lhi，坡度一般写成lh:的形式，如515:1ii即．坡面与水平的夹角叫做坡角，坡角与坡度之间有如下关系：tanlhi.坡度越大，则角越大，坡面越陡.【例】如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：3，堤坝高BC=50m，则应水坡面AB的长度是（）A．100mB．1003mC．150mD．503m第8页共11页【变式练习1】如图，在山脚的C处测得山顶A的仰角为45，沿着坡度为30的斜坡前进400米到D处（即米400,30CDDCB），测得A的仰角为60，求山的高度AB。【变式练习2】如图，某人在D处测得山顶C的仰角为30o，向前走200米来到山脚A处，测得山坡AC的坡度为i=1∶0.5求山的高度（不计测角仪的高度，31.73≈，结果保留整数）．方位角指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的水平角，叫方向角，如右图，OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东60，北偏西30，西南方向，南偏东20．【例】如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B处，测得灯塔M在北偏西45°，问该货轮继续向北航行时，与灯塔M之间的最短距离是多少?(精确到0.1海里，732.13)第9页共11页【变式练习1】一辆客车位于休息站A南偏西60°方向，且与A相距80千米的B处，它从B处沿北偏东α的方向行驶，同时一辆三轮车以每小时40千米的速度从A处出发，沿正北方向行驶，行驶2小时，两车恰好相遇．(1)求客车的速度；(2)求sin的值．【变式练习2】如图所示，已知海岛P的周围18千米的范围内有暗礁，一艘海轮在点A处测得海岛P在北偏东30方向，向正北航行12千米到达点B处，又测得海岛P在北偏东45的方向，如果海轮不改变航向，继续向北航行，有没有触礁的危险？【课后作业】一、填空题1、如图：P是∠的边OA上一点，且P点的坐标为（3，4），则sin（900-）＝_____________.2、32可用锐角的余弦表示成__________.3、在△ABC中，∠ACB＝900，CD⊥AB于D，若AC＝4，BD＝7，则sinA＝，tanB＝.4、若为锐角，tan＝21，则sin＝，cos＝.5、已知直角三角形的两直角边的比为3:7，则最小角的正弦值为_______.第10页共11页二、选择题6、在Rt△ABC中，∠C=90°，a＝1，c＝4,则sinA的值是（）A.1515B.13C.14D.1547、已知∠A+∠B=90°,且cosA=15，则cosB的值为()A.15B.45C.265D.258、如果α是锐角，且cosα＝45，那么sinα的值是（）A.925B.45C.35D.1625三、解答题9、如图：一棵大树的一段BC被风吹断，顶端着地与地面成300角，顶端着地处C与大树底端相距4米，则原来大树高为多少米.10、甲、乙两楼相距50米，从乙楼底望甲楼顶仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶俯角为30°，求两楼的高度，要求画出正确图形。第11页共11页11、某型号飞机的机翼形状如图所示，AB∥CD，根据数据计算AC、BD和CD的长度(精确到0.1米，2≈1.414，3≈1.732).