求极限的若干方法--毕业论文

江西师范大学2013届学士学位毕业论文江西师范大学数学与信息科学学院学士学位论文求函数极限的若干方法TheMethodsofFunctionalLimit姓名：***学号：090*0*0**3学院：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学指导老师：**(讲师）完成时间：2013年4月19日江西师范大学2013届学士学位毕业论文I求函数极限的若干方法***【摘要】在数学分析中，极限思想贯穿于始末，求极限的方法也显得至关重要。极限包括数列的极限与函数的极限，两类极限的本质上是相同的，其中数列极限是函数极限的特例，因此本文只就函数极限进行讨。结合例题，本文阐述了求函数极限的十三种方法，包括利用无穷小量、洛必达法则、泰勒公式、中值定理等求极限。【关键词】函数极限洛必达法则泰勒公式中值定理江西师范大学2013届学士学位毕业论文IITheMethodsofFunctionalLimit***【Abstract】Inthemathematicalanalysis,thelimitidearunsthroughthewholestory.Themethodsofthelimitarecrucial.Limitincludesthesequencelimitandfunctionallimit.Essenceofthetwokindsoflimitisthesame,andthesequencelimitisaspecialcaseoffunctionallimit,thereforethispaperonlydiscussesthefunctionallimit.Withtheexamples,thispaperdiscussesthirteenmethodsoffunctionallimit,includingtheuseofinfinitesimal,L’HospitalRule,Taylorformula,themeanvaluetheoremandsoon.【Keywords】functionallimitL’HospitalRuleTaylorformulathemeanvaluetheorem.江西师范大学2013届学士学位毕业论文III目录1引言..............................................................12函数极限的定义及作用..............................................13函数极限的计算及多种求法..........................................23.1利用左、右极限求极限..........................................23.2利用极限运算法则求极限........................................33.3利用初等变形求函数极限........................................33.3.1约分法....................................................33.3.2有理化法..................................................43.3.3比较最高次幂法.............................................43.4利用迫敛性求函数极限..........................................53.5利用两个重要极限公式求函数极限................................53.6利用变量替换求函数极限........................................73.6.1利用等价无穷小量替换来求极限...............................73.6.2利用其他替换来求极限.....................................83.7利用无穷小量的性质求函数极限..................................83.8利用初等函数的连续性质求函数极限..............................93.9利用导数的定义求函数极限......................................93.10利用洛必达法则求函数极限....................................103.10.100型不定式极限..........................................103.10.2型不定式极限..........................................113.10.3其它类型不定式极限......................................123.11幂指函数求函数极限..........................................133.11.1)(xf,)(xg的极限均为有限常数，即BA型的极限求法.........133.11.21型未定式极限问题.....................................133.12利用泰勒公式求函数极限......................................143.13利用中值定理求函数极限......................................16参考文献...........................................................17江西师范大学2013届学士学位毕业论文11引言数学分析的主要任务是研究函数的各种性态以及函数值的计算或近似计算，主要内容是微积分，在微积分中几乎所有的基本概念都是用极限来定义的。可以说，没有极限理论就没有微积分。众所周知常见的求极限的方法包含四则运算，夹逼准则、无穷小量、重要极限公式、洛必达法则等。但实际在求极限时并不是依靠单一方法，而是把多种方法加以综合运用。对函数极限求解方法的讨论是本文的核心点，本文给出了十三种求极限的方法，每种方法都是以定理或简述开头，然后以例题来全面展示具体的求法，下面就根据函数的特点分类进行讨论。2函数极限的定义及作用定义1[1]：设函数f在点0x的某空心邻域o'0;Ux内有定义,A为定数.若对任给的0,存在正数（﹤'），使得当0-oxx时有()fxA，则称函数f当0趋于xx时以A为极限,记作0lim()xxfxA或()fxA0xx.定义2[1]：设f为定义在,a上的函数,A为定数.若对任给的0，存在正数Ma,使得当xM时有()fxA，则称函数f当x趋于时以A为极限,记作lim()xfxA或()fxAx.对于其他形式函数极限的定义我就用-语言描述定义：)(lim-0xfxx=A:,0,0当-x-0x0时，|f（x）A|)(lim0xfxx=A:,0,0当0x-0x时，|f（x）-A|:)(limAxfx,0,0M当|x|M时，|f（x）-A|江西师范大学2013届学士学位毕业论文2:)(limAxfx,0,0M当x-M时，|f（x）-A|在数学分析中我们经常用函数极限的定义来证明极限存在问题。例1用极限定义证明：2limx2-x23x-2x=1证由12232xxx2442xxx=2)2(2xx=2x0取=则当0|x-2|时，就有12232xxx由函数极限-定义有：2limx2-x23x-2x=13函数极限的计算及多种求法极限一直是数学分析中一个重要的内容，并且函数极限运算是数学分析的一个重要的基本运算。极限的求法也是多种多样的，本文通过归纳，总结出一些极限的计算方法.3.1利用左、右极限求极限定理1[1]：函数极限0limxxf（x）存在且等于A的充分必要条件是左极限-0limxxf(x)及右极限0limxxf（x）都存在且都等于A。即有：0xlimxfx=A-0limxxf（x）=0limxxf（x）=A。此类方法多用于求分段函数极限问题。例2sin,0()1,0xxxfxxx求()fx在0x的极限江西师范大学2013届学士学位毕业论文3解0lim11xx0lim1sinxxx00lim()lim()1xxfxfx0lim()1xfx3.2利用极限运算法则求极限这是求极限的基本方法，主要应用函数的和、差、积、商的极限法则及若干基本函数的极限结果进行极限的计算，为此有时往往要对函数作一些变形。定理2[1]:若0limxxf(x)=A0limxxg（x）=B（1）0limxx[f(x)±g(x)]=0limxxf(x)±0limxxg(x)=A+B(2)0limxx[f(x)·g(x)]=0limxxf(x)·0limxxg(x)=A·B(3)若B≠0则：0limxx)()(xgxf=)(lim)(lim00xgxfxxxx=BA(4)0limxxC·f(x)=C·0limxxf(x)=CA（C为常数）上述性质对于x→，x→+，x→-时也同样成立例例3求453lim22xxxx解453lim22xxxx=4252322=253.3利用初等变形求函数极限在求函数极限时，利用简单的初等变形可使极限易于计算，初等变形的方法有约分法、有理化、比较最高次幂法等。3.3.1约分法适用于计算00型函数极限，如果所求函数的分子分母都是整式且有公因子江西师范大学2013届学士学位毕业论文4（特别是零因子）时，可通过约简式计算极限值。例4计算21lim1nxxxxnx的值（n为正整数）。解原式=21(1)(1)(1)lim1nxxxxx=121lim1(1)(1)nnxxxxx12n=(1)2nn注意要首先将分子分母因式分解，找到公因子（特别是零因子），接着即可约去公因子，再求函数极限。3.3.2有理化法在求解存在根号的函数极限时，通过选择分子或分母，或分子分母同时有理化约去零因子，即可转化为一般的极限问题。例520limxaxax（其中0a）解原式=2220()()lim()xaxaaxaxaxa=2220()lim()xaxaxaxa=201limxaxa=12a注意此题是通过分子有理化来简化运算，在具体解题时根据简便原则进行选择何种方式的有理化。3.3.3比较最高次幂法此方法是指除以分子分母的最高次幂来计算函数极限。江西师范大学2013届学士学位毕业论文5例6设11101101...()...mnmmmnnnaxaxaxafxbxbxbxb，00a，00b，mn,求lim()xfx。解因为1lim0xx1lim0kxxkN则lim()xfx1111101101...lim...mnnmnmnnnmnxnaxaxaxaxbbxbxbx101101limlim...limlim...limmnmnnmxxxnnxxaxaxaxbbxbx=00ab，当m=n0,当mn3.4利用迫敛性求函数极限定理3（迫敛性）[1]：设00lim()lim()xxxxfxgxA,且在