平面向量知识点复习练习

1平面向量知识点分类复习深圳明德实验学校刘凯1、向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。配合练习1、已知A（1,2），B（4,2），则把向量AB按向量a＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；（3）单位向量：给定一个非零向量a，与a同向且长度为1的向量叫向量a的单位向量.a的单位向量是||aa；（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：如果向量的基线互相平行或重合则称这些向量共线或平行，记作：a∥b，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个平行向量的基线平行或重合,但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点ABC、、共线ABAC、共线；（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是－a。配合练习2、下列命题：（1）若ab，则ab。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若ABDC，则ABCD是平行四边形。（4）若ABCD是平行四边形，则ABDC。（5）若,abbc，则ac。（6）若//,//abbc，则//ac。其中正确的是_______2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等；（3）坐标表示法：a＝,xy叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。提醒：向量的起点不在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标就不相同.练习1、（04年上海卷.文6）已知点A(-1,5)和向量(2,3)a,若3ABa,则点B的坐标为.(5,14)3.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数1、2，使a=1e1＋2e2，e1、e2称为一组基底.注：这为我们用向量解决问题提供了一种方向：把参与的向量用一组基底表示出来，使其关系容易沟通.配合练习3、若(1,1),ab(1,1),(1,2)c，则用,ab表示c______配合练习4下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A.12(0,0),(1,2)eeB.12(1,2),(5,7)eeC.12(3,5),(6,10)eeD.1213(2,3),(,)24ee配合练习5、已知,ADBE分别是ABC的边,BCAC上的中线,且,ADaBEb,则BC可用向量,ab表示为_____2配合练习6、已知ABC中，点D在BC边上，且DBCD2，ACsABrCD，则sr的值是___4、实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：1,2aa当0时，a的方向与a的方向相同，当0时，a的方向与a的方向相反，当＝0时，0a，注意：a≠0。5、平面向量的数量积：（1）两个向量的夹角：对于非零向量a，b，作,OAaOBb，AOB0称为向量a，b的夹角，当＝0时，a，b同向，当＝时，a，b反向，当＝2时，a，b垂直。提醒：（1）向量的夹角要求这两个向量同起点.（2）角的问题（如三角形内角）可转化为向量的夹角来解.（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量a，b，它们的夹角为，我们把数量||||cosab叫做a与b的数量积（或内积或点积），记作：ab，即ab＝cosab。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。配合练习7、△ABC中，3||AB，4||AC，5||BC，则BCAB_______；配合练习8、已知11(1,),(0,),,22abcakbdab，c与d的夹角为4，则k=配合练习9、已知2,5,3abab，则ab等于____配合练习10、已知,ab是两个非零向量，且abab，则与aab的夹角为____（3）b在a上的投影为||cosb，它是一个实数，但不一定大于0。配合练习11、已知3||a，5||b，且12ba，则向量a在向量b上的投影为______（4）ab的几何意义：数量积ab等于a的模||a与b在a上的投影的积。（5）向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为，则：①0abab；②当a，b同向时，ab＝ab，特别地，222,aaaaaa；当a与b反向时，ab＝－ab；当为锐角时，ab＞0，且ab、不同向。.非零向量a，b夹角的计算公式：cosabab；④||||||abab。配合练习12、已知)2,(a，)2,3(b，如果a与b的夹角为锐角，则的取值范围是______配合练习13、已知OFQ的面积为S，且1FQOF，若2321S，则FQOF,夹角的取值范围是___3练习1、均为单位向量，、已知ba，它们的夹角为o60|3|ba那么2（04年全国卷二.理9）已知平面上直线l的方向向量43(,),55e点(0,0)O和(1,2)A在l上的射影分别是O′和A′，则OAe，其中=（D）.A．115B．115C．2D．－23设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知，0=）AC-AB()2(DADCDB则△ABC的形状是（B）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形6、向量的运算：（1）几何运算：①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设,ABaBCb，那么向量AC叫做a与b的和，即abABBCAC；提醒：平行四边形法则要求参与加法的两个向量的起点相同，三角形法则要求参与加法的两个向量的首尾相接.可推广到nnnAAAAAAAA113221（据此，可根据需要在一个向量的两个端点之间任意插点）②向量的减法：用“三角形法则”：设,,ABaACbabABACCA那么，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同，指向被减向量(用向量的减法来引进新的起点或者消去不必要的起点)。向量加减运算的运算结果非0，在移项时要注意.容易得出：|a|－|b|≤|ab|≤|a|+|b|．配合练习15、化简：①ABBCCD___；②ABADDC____；③()()ABCDACBD_____配合练习16、若正方形ABCD的边长为1，,,ABaBCbACc，则||abc＝_____配合练习17、若O是ABC所在平面内一点，且满足2OBOCOBOCOA，则ABC的形状为____配合练习18、若D为ABC的边BC的中点，ABC所在平面内有一点P，满足0PABPCP，设||||APPD，则的值为___配合练习19、若点O是ABC△的外心，且0OAOBCO，则ABC△的内角C为____练习1、（04年全国卷二.文9）已知向量a、b满足：|a|=1，|b|=2，|ab|=2，则|ab|=（）.A．1B．2C．5D．642、已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足ABPCPBPA，则点P与△ABC的关系为（）A.P在△ABC内部B.P在△ABC外部C.P在AB边所在直线上D.P是AC边的一个三等分点（2）坐标运算：设1122(,),(,)axybxy，则：①向量的加减法运算：12(abxx，12)yy。配合练习20、已知点(2,3),(5,4)AB，(7,10)C，若()APABACR，则当＝____时，点P在第一、三象限的角平分线上配合练习21、已知1(2,3),(1,4),(sin,cos)2ABABxy且，,(,)22xy，则xy配合练习22、已知作用在点(1,1)A的三个力123(3,4),(2,5),(3,1)FFF，则合力123FFFF的终点坐标是②实数与向量的积：1111,,axyxy。③若1122(,),(,)AxyBxy，则2121,ABxxyy，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。配合练习23、设(2,3),(1,5)AB，且13ACAB，3ADAB，则C、D的坐标分别是__________④平面向量数量积：1212abxxyy。配合练习24、已知向量a＝（sinx，cosx）,b＝（sinx，sinx）,c＝（－1，0）。（1）若x＝3，求向量a、c的夹角；（2）若x∈]4,83[，函数baxf)(的最大值为21，求的值⑤向量的模：222222||,||axyaaxy。距离的求法：转化为向量的数量积：︱a︱=2121yxaa配合练习25、已知,ab均为单位向量，它们的夹角为60，那么|3|ab＝_____⑥两点间的距离：若1122,,,AxyBxy，则222121||ABxxyy。配合练习26、在平面斜坐标系xOy中，60xOy，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若12OPxeye，其中12,ee分别为与x轴、y轴同方向的单位向量，则P点斜坐标为(,)xy。若点P的斜坐标为（2，－2），求P到O的距离｜PO｜；57、向量的运算律：（1）交换律：abba，aa，abba；(2)结合律：,abcabcabcabc，ababab；（3）分配律：,aaaabab，abcacbc。配合练习27、下列命题中：①cabacba)(；②cbacba)()(；③2()ab2||a22||||||abb；④若0ba，则0a或0b；⑤若,abcb则ac；⑥22aa；⑦2abbaa；⑧222()abab；⑨222()2abaabb。其中正确的是______提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即cbacba)()(，为什么？8、向量平行(共线)的充要条件：(1)向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得b=a．实数λ是唯一存在的，当a与b同向时，λ0；当a与b异向时，λ0。|λ|的大小由a及b的模确定。因此，当a，b确定时，λ的符号与大小就确定了。这就是实数乘向量中λ的几何意义。(2)若a=（11,yx）,b=（22,yx），则0//1221yxyxba22()(||||)abab．（3）a∥b22()(||||)abab配合练习28、若向量(,1),(4,)axbx，当x＝_____时a与b共线且方向相同配合练习29、已知(1,1),(4,)abx，2uab，2vab，且//uv，则x＝______配合练习30、设(,12),(4,5),(10,)PAkPBPCk