等差数列前n项和教案及说明

1等差数列前n项和教师：中卫市第一中学俞清华一、教材分析●教学内容《等差数列前n项和》现行高中教材第三章第三节“等差数列前n项和”的第一课时，主要内容是等差数列前n项和的推导过程和简单应用。●地位与作用本节对“等差数列前n项和”的推导，是在学生学习了等差数列通项公式的基础上进一步研究等差数列，其学习平台是学生已掌握等差数列的性质以及高斯求和法等相关知识。对本节的研究，为以后学习数列求和提供了一种重要的思想方法——倒序相加求和法，具有承上启下的重要作用。二、学情分析●知识基础：高一年级学生已掌握了函数，数列等有关基础知识，并且在初中已了解特殊的数列求和。●认知水平与能力：高一学生已初步具有抽象逻辑思维能力，能在教师的引导下独立地解决问题。●任教班级学生特点：我班学生基础知识较扎实、思维较活跃，能够很好的掌握教材上的内容，能较好地应用数形结合的方法解决问题，但处理抽象问题的能力还有待进一步提高。三、目标分析1、教学目标依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标：●知识技能(1)掌握等差数列前n项和公式;(2)掌握等差数列前n项和公式的推导过程;(3)会简单运用等差数列的前n项和公式。●数学思考(1)通过对等差数列前n项和公式的推导过程,渗透倒序相加求和的数学方法；(2)通过公式的运用体会方程的思想；(3)通过运用公式的过程，提高学生类比化归、数形结合的能力。●解决问题创设由探索1+2+3+……+100的和,推广到探索一般的等差数列前n项和nnaaaas......321的求和公式的情景,使学生进一步体会从特殊到一般的数学研究方法,并使学生在反馈练习的过程中，进一步提高问题解决的能力。●情感态度结合具体模型,将教材知识和实际生活联系起来,使学生感受数学的实用性,有效激发学习兴趣,并通过对等差数列求和历史的了解,渗透数学史和数学文化。2、教学重点、难点2●重点等差数列前n项和公式的推导和应用。●难点等差数列前n项和公式的推导过程中渗透倒序相加的思想方法。●重、难点解决的方法策略本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略．利用数形结合、类比归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究，分析、整理出推导公式的不同思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过范例后的变式训练和教师的点拨引导，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点。四、教学模式与教法、学法本课采用“探究——发现”教学模式。教师的教法突出活动的组织设计与方法的引导。学生的学法突出探究、发现与交流。五、过程设计结合教材知识内容和教学目标，本课的教学环节及时间分配如下：图片欣赏数形结合新课引入类比化归前后呼应公式应用前后呼应知识回顾五、教学过程教学环节活动说明教师活动学生活动创设情景提出问题（2分钟）探究等差数列前n项和公式（18分钟）公式应用与议练活动（1）（5分钟）公式的认识与理解（4分钟）公式应用与议练活动（2）（9分钟）归纳总结（2分钟）3创设情境：首先让学生欣赏一幅美丽的图片——泰姬陵。泰姬陵是印度著名的旅游景点，传说中陵寝中有一个三角形的图案嵌有大小相同的宝石，共有100层，同时提出第一个问题：你能计算出这个图案一共花了多少颗宝石吗？也即计算1+2+3+…..+100=？问题2：何老师按揭买房,向银行贷款25万元，采取等额本金的还款方式，即每月还款额比上月减少一定的数额。2007年1月，我第一次向银行还款2348元，以后每月比上月的还款额减少5元，若以2007年1月银行贷款利率为基准利率,那么到2026年12月最后一次还款为止，何老师连本带利一共还款多少万元？现实模型：①图片欣赏②生活实例模型直观用实际生活引入新课。首先认识一位伟大的数学家——高斯，然后提出问题：高斯是如何快速计算1+2+3+4+…..+100？设等差数列{na}前n项和为nS,则问题1老师：利用高斯算法如何求等差数列的前n项和公式？老师：但是否刚好配对成功呢？（1）n为偶数时：（2）n为奇数时：老师：那么该如何解决落单的21na呢？学生：1+100=101，2+99=101，…..50+51=101，所以原式=50（1+101）=5050学生：将首末两项配对，第二项与倒数第二项配对，以此类推，每一对的和都相等，并且都等于。学生：不一定，需要对n取值的奇偶进行讨论。当n为偶数时刚好配对成功。当n为奇数时，中间的一项21na落单了。（可能部分学生在此会遇到困难，老师做适当的引导。）学生：观察21na的脚标与高斯求和众所周知，学生能快速解答。这里用到了等差数列脚标和性质从高斯算法出发，对n进行讨论寻找求和公式思路自然，学生容易想到。对中间项21na的解决办法的过新课引入探索公式nnnaaaaS121naa1nnnnaaaaS1221)(21nnaanSnnnnnaaaaaS121211211211)(21nnnaaanS2)(2121211nnnaaaan)(21naannaa14议练同过对n取值的讨论，得到了前n项和求和公式：但是对n讨论麻烦了，能否有更好的方法求前n项和公式呢？接下来给出实际问题：伐木工人是如何快速计算堆放在木场的木头根数呢？问题2：如何用倒置的思想求等差数列前n项和呢？方法一：两式相加得：方法二同样利用倒序相加求和法，教材做了如下处理：两式相加得：引导学生带入等差数列的通项公式，换掉整理得到公式2。例1：计算（1）1+2+3+…+n（2）1+3+5+…+(2n-1)（3）2+4+6+…+2n（4）1-2+3-4+5-6+…+(2n-1)-2n教师通过动画演示给(1),(2)问一个直观的解释。脚标的关系，即：学生观察动画演示，不难发现用倒置的思想来解决此问题。（由上一问题的解决，学生容易想到倒序相加求和法。）学生：利用倒序相加求和法。将nS中的每一项用等差数列的通项公式进行巧妙的改写，在倒序相加求和时，每一组中的d都被正负抵消了。学生类比方法一与方法二的联系与区别。学生自己阅读教材，体会教材的解法是如何运用求和公式。观察多媒体课件演示。程中，进一步让学生体会研究数列就是对脚标数学的研究。倒序相加求和法是重要的数学思想，为以后数列求和的学习做好了铺垫。在等差数列前n项和公式的推导过程中，通过问题获得知识，让学生经历“发现问题——提出问题——解决问题”的过程通过对探索公式)(21nnaanS221212121nnnnaaaaannnaaaaS121121aaaaSnnn)(21nnaanS)(21nnaanS])1([...)(111dnadaaSn])1([...)(dnadaaSnnnn)(21nnaanS)(211nnaanS：公式nadnnnaSn2)1(21：公式5活动认识公式认识公变式练习：课前提出的房贷问题。解:由已知每月还款数成等差数列,设为na：问题3：能否给求和公式一个几何解释呢？教师提示将求和公式与梯形建立联系。1anana1a1an剖析公式：学生：要求总还款额实际就是对一个等差数列求和。学生：将求和公式与梯形面积公式建立联系，而梯形面积公式的推导也正是利用了倒置的思想。学生：同样将公式2与梯形面积公式建立联系。用“割”的思想将梯形分做一个平行四边形和一个三角形，而梯形面积就是这两部分面积之和。．学生讨论：公式中一共含有五个量，根据三个公式之间的联系，由方程的思想，知三可求二。实际问题的解决让学生认识到数学来源于生活，同时又服务于生活利用数形结合的思想，使学生对两个公式有直观的认识，体会数学的图形语言。240,5,23481nda)(420120)5(223924023482402)1(1元dnnnaSndnnnaSn2)1(21：公式2)(:11nnaanS公式dnaan)1(11adn)1(1()12nnnaaS公式1(1)22nnnSnad公式6式议练活动课教师提示，从方程中量的关系入手。例2等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和为54？解：设题中的等差数列是na，前n项和为nS：则1a＝－10，d＝－6－（－10）＝4令nS＝54，由等差数列前n项和公式，得：解得1n＝9，2n＝－3（舍去）因此,等差数列的前9项和是54例3：解：（1）161125152aaaaaa18152161aaaa1442)(1616116aaS（2）本小题主要考察了对公式一的整体应用。根据课堂剩余时间，本题作为机动练习，（2）小问留给学生课后完成。1、教师引导学生归纳总结本节课所学习的主要内容．2、课后作业：教材118页：1、2、3、5、6、7课后思考：等差数列的前n项和的求和方法除学生讨论分析题目所含的已知量，选取了公式2进行运算，利用了方程的思想。需要注意的是学生可能会把公差认为是-4，以及解得n的值后未把n=-3舍去。学生进行了分组讨论，然后每组派学生代表进行分析。不少小组首先对已知条件作转化，希望能通过解方程求出首项和公差，但发现条件不够，不能解出这些基本量，教师做适当的引导。本环节由学生自主归纳、总结本节课所学习的主要内容，教师加以补充说明．（1）回顾从特殊到一例2在解决了例1的基础上，由浅入深，深化了对公式的理解，体现了方程的思想。紧扣教材，让学生体会整体应用公式，类比化归的思想方法，同时，为以后综合问题的解答设下伏笔。dnaan)1(1通项公式：(1)10454.2nnn11616151252,20)2(,36:)1(}{SaSaaaaan求已知：求已知中在等差数列2202112211)(611111aaaS7堂总结了倒序相加法还有没有其它方法呢?3、对求和史的了解我国数列求和的概念起源很早，在北朝时，张丘建始创等差数列求和解法。他在《张丘建算经》中给出等差数列求和问题：例如：今有女子不善织布，每天所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，共织三十日，问共织几何？原书的解法是：“并初、末日织布数，半之再乘以织日数，即得。”般，一般到特殊的研究方法.（2）体会等差数列的基本元表示方法，倒序相加的算法，及数形结合的数学思想.（3）掌握等差数列的两个求和公式及简单应用。了解我国古代研究等差数列求和的情况。通过对等差数列求和历史的了解，渗透数学史和数学文化。板书设计：§3.3等差数列前n项和和和一、等差数列前n项和二、公式的推导方法1：方法2：方法3：三、剖析公式：公式1：公式2：(主板书)四、例题及解答(副板书)议练活动(辅助性板书)8《等差数列前n项和》教案说明概述本课的教学设计分为六个部分，包括：教材分析，学情分析，目标分析，教学方法，过程设计和教学反思。设计反映了等差数列求和公式推导过程中数学思想方法——倒序相加法的生成过程，这是设计的数学本质基础；设计中结合本班学生的学习的实际情况，从而确定了教学活动的环节。以这些分析为基础从而确定教学目标，而过程设计则针对目标从六个环节进行具体的设计。下面从如下几个方面进行详细说明。一、教学内容的数学本质及教学目标定位等差数列前n项和，这是教材给出的前n项和的定义，但需要说明的是这只是一个形式定义，表示求和是一般意义的加法运算，而本节课要推导的等差数列的前n项和的数学本质是寻求nS与n的一个函数关系式，如果这个关系式能够用解析式来表达，那么我们就完全把握了这个求和公式。本节课是等差数列的前n项和的第一课时，从知识点来说，掌握求和公式对没个学生来说并不困难，而难点是在于如何从求和公式的推导过程中渗透倒序相加求和的思想方法，因此，依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，我首先对学情进行了具体分析，并结合学情分析，制定了本节课的教学目标。首先，高一学生已学习了函数，数列等有关基础知识，并且在初中已了