高中数学专题训练(六)——圆锥曲线

1高中数学专题训练——圆锥曲线1.已知常数m0，向量a=(0,1)，向量b=(m,0)，经过点A(m,0)，以λa+b为方向向量的直线与经过点B(-m,0)，以λb-4a为方向向量的直线交于点P，其中λ∈R．(1)求点P的轨迹E；(2)若52m，F(4,0)，问是否存在实数k使得以Q(k,0)为圆心，|QF|为半径的圆与轨迹E交于M、N两点，并且|MF|+|NF|=53．若存在求出k的值；若不存在，试说明理由．22双曲线的实半轴与虚半轴长的积为3，它的两焦点分别为F1、F2，直线l过F2且与直线F1F2的夹角为，且221tan，l与线段F1F2的垂直平分线的交点为P，线段PF2与双曲线的交点为Q，且1:2:2QFPQ，建立适当的坐标系，求双曲线的方程.33.在直角坐标平面上，O为原点，M为动点，OMONOM552,5||.过点M作MM1⊥y轴于M1，过N作NN1⊥x轴于点N1，NNMMOT11.记点T的轨迹为曲线C，点A（5，0）、B（1，0），过点A作直线l交曲线C于两个不同的点P、Q（点Q在A与P之间）.（1）求曲线C的方程；（2）证明不存在直线l，使得|BP|=|BQ|；（3）过点P作y轴的平行线与曲线C的另一交点为S，若AQtAP，证明.BQtSB44.已知离心率为25的双曲线C的中心在坐标原点，左、右焦点F1、F2在x轴上，双曲线C的右支上一点A使021AFAF且21AFF的面积为1。（1）求双曲线C的标准方程；（2）若直线mkxyl:与双曲线C相交于E、F两点（E、F不是左右顶点），且以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D。求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标。55.求与双曲线221916xy有公共渐进线，且经过点3,23A的双曲线的方程。6、已知12,FF分别是双曲线223575xy的左右焦点，P是双曲线上的一点，且12FPF=120，求12FPF的面积7、证明：双曲线上任意一点到两条渐进线的距离的乘积是一个定值68、已知半圆221(0)xyy的直径为AB，点P在半圆上，双曲线以,AB为焦点，且过点P。若3PAB，求双曲线的方程。9.已知圆：x2+y2=c2(c＞0),把圆上的各点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍得一椭圆。⑴求椭圆方程,并证明椭圆离心率是与c无关的常数；⑵设圆与x轴交点为P，过点P的直线l与圆的另一交点为Q，直线l与椭圆的两交点为M、N，且满足PQMN2，求直线l的倾斜角。710.已知点（x,y）在椭圆C：12222byax（a＞b＞0）上运动⑴求点),(xyxy的轨迹C′方程；⑵若把轨迹C′的方程表达式记为：y=f(x)，且在33,0内y=f(x)有最大值，试求椭圆C的离心率的取值范围。811.已知过椭圆)0(12222babyax右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A、B两点，N为弦的中点；又函数xbxaycos3sin的图像的一条对称轴的方程是6x。（1）求椭圆C的离心率e与ONk;（2）对于任意一点CM,试证:总存在角)(R使等式:OBOAOMsincos成立.912.已知圆k过定点A(a,0)(a＞0),圆心k在抛物线C：y2=2ax上运动，MN为圆k在y轴上截得的弦.(1)试问MN的长是否随圆心k的运动而变化？(2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时，抛物线C的准线与圆k有怎样的位置关系？1013.如图，已知椭圆122mymx=1(2≤m≤5),过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D，设f(m)=||AB|－|CD||(1)求f(m)的解析式；(2)求f(m)的最值.1114.已知双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，右准线为,21:xl一条渐近线的方程是.3xy过双曲线C的右焦点F2的一条弦交双曲线右支于P、Q两点，R是弦PQ的中点.（1）求双曲线C的方程；（2）若在l的左侧能作出直线m:x=a，使点R在直线m上的射影S满足0QSPS，当点P在曲线C上运动时，求a的取值范围.1215.设21,FF分别是椭圆的1422yx左，右焦点。（Ⅰ）若P是第一象限内该椭圆上的一点，且4521PFPF，求点P的坐标。（Ⅱ）设过定点)2,0(M的直线与椭圆交于不同的两点BA,，且AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围。1316.抛物线C的方程为)0)(,(),0(0002xyxPCaaxy上一点过抛物线，作斜率为21,kk的两条直线，分别交抛物线C于A),(),,(2211yxByx两点（P、A、B三点互不相同），且满足).10(012且kk（1）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；（2）设直线AB上一点M满足,MABM证明：线段PM的中点在y轴上；（3）当1时，若点P的坐标为（1，—1），求∠PAB为钝角时，点A的纵坐标的取值范围.1417.如图，已知点F（1，0），直线1:xl为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，若.FQFPQFQP（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点M（－1，0）作直线m交轨迹C于A，B两点。（Ⅰ）记直线FA，FB的斜率分别为k1,k2，求k1+k2的值；（Ⅱ）若线段AB上点R满足,||||||||RBRAMBMA求证：RF⊥MF。1518.已知椭圆C的中心为坐标原点，F1、F2分别为它的左、右焦点，直线x=4为它的一条准线，又知椭圆C上存在点M使.|||||,|||2212121MFMFMFMFMFMF（1）求椭圆C的方程；（2）若PQ为过椭圆焦点F2的弦，且QPFQFPF122，求内切圆面积最大时实数的值.1619.已知椭圆)0(1:2222babyaxC，通径长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形.（1）求椭圆的方程；（2）过点Q（－1，0）的直线l交椭圆于A，B两点，交直线x=－4于点E，点Q分AB所成比为λ，点E分AB所成比为μ，求证λ+μ为定值，并计算出该定值.1720.已知⊙M：xQyx是,1)2(22轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点，（1）如果324||AB，求直线MQ的方程；（2）求动弦AB的中点P的轨迹方程.18答案：1.解(1)∵λa+b=(m,λ)，∴直线AP方程为)(λmxmy；…………………………①又λb-4a=(λm,-4),∴直线NP方程为)(4mxmy；…………………………②由①、②消去λ得)(42222mxmy，即14222ymx．故当m=2时，轨迹E是以(0,0)为圆心，以2为半径的圆：x2+y2=4；当m2时，轨迹E是以原点为中心，以)0,4(2m为焦点的椭圆：当0m2时，轨迹E是以中心为原点，焦点为)4,0(2m的椭圆．(2)假设存在实数k满足要求，此时有圆Q：(x-k)2+y2=(4-k)2;椭圆E：142022yx；其右焦点为F(4,0)，且552e．由圆Q与椭圆E的方程联立得2y2-5kx+20k-30=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则有kxx2521，………………………………………………③△=25k2-4×2(20k-30)，又|MF|=155252x,|NF|=255252x,而53||||NFMF；∴155252x[phone]x,由此可得2521xx，……………………………………………………………………④由③、④得k=1，且此时△＞0．故存在实数k=1满足要求．2.解以F1F2的中点为原点，F1、F2所在直线为x轴建立坐标系，则所求双曲线方程为12222byax（a0，b0），设F2（c，0），不妨设l的方程为)(221cxy，它与y轴交点)221,0(cP，由定比分点坐标公式，得Q点的坐标为)621,32(cc，由点Q在双曲线上可得13621942222bcac，又3ab，∴1a，3b，∴双曲线方程为1322yx.3.（1）设点T的坐标为),(yx，点M的坐标为),(yx，则M1的坐标为（0，y），19),(552552yxOMON，于是点N的坐标为)552,552(yx，N1的坐标为)0,552(x，所以).552,0(),0,(11yNNxMM由.552,),552,0()0,(),(,11yyxxyxyxNNMMOT所以有由此得.25,yyxx由,145,5)25(,5,5||222222yxyxyxOM得所以有即所求的方程表示的曲线C是椭圆.……………………3分（2）点A（5，0）在曲线C即椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆C无交点，所以直线l斜率存在，并设为k.直线l的方程为).5(xky由方程组.02012550)45()5(,145222222kxkxkxkyyx得依题意.5555,0)8016(202kk得当5555k时，设交点),,(),,(2211yxQyxPPQ的中点为),(00yxR，则.45252,4550222102221kkxxxkkxx.4520)54525()5(22200kkkkkxky又,1||||BRkklBRBQBP,420201204204525145202222222kkkkkkkkkkkBR而4202022kk不可能成立，所以不存在直线l，使得|BP|=|BQ|.…………7分（3）由题意有),5(),,5(),,(221111yxAQyxAPyxS，则有方程组20)4(.145)3(,145)2(,)1(),5(5222221212121yxyxtyyxtx由（1）得5)5(21xtx（5）将（2），（5）代入（3）有.205]5)5([422222ytxt整理并将（4）代入得0)1(5)1(2)1(222ttxtt，易知.23,12ttxt解得因为B（1，0），S),(11yx，故),1(),,1(2211yxBQyxSB，所以),0,0()0),646(4()0),62(4()0),1(5)5(1()),1(1(),1(),1(22221212211tttxtxtxttyyxtxyxtyxBQtSB.BQtSB4.解：（1）由题意设双曲线的标准方程为)0,0(12222babyax，由已知得：2522abaace解得ba2∵021AFAF且21AFF的面积为1∴1||||21,2||||212121AFAFSaAFAFAFF,2212221||||||FFAFAF∴22221444|)||(|acAFAF∴2,1ab∴双曲线C的标准方程为1422yx。（2）设),(),,(2211yxFyxE，联立1422yxmkxy得0448)14(222mkmxxk21显然21k否则直线l与双曲线C只有一个交点。0)14)(44(4)8(222kmkm即01422mk则14441482221221kmxxkkmxx又2212122121)())((mxxkmxxkmkxmkxyy∵以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D(2,0)∴0DFDE即0),2(),2(2211yxyx∴04))(2()1(221212mxxkmxxk∴04148)2(1444)1(22222mkkmkmkmk化简整理得020