第二章-平面特殊力系

12平面汇交力系：各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。引言①平面汇交力系平面力系②平面平行力系(平面力偶系是其中的特殊情况)③平面一般力系(平面任意力系)研究方法：几何法，解析法。例：起重机的挂钩。力系分为：平面力系、空间力系平面特殊力系：指的是平面汇交力系、平面力偶系和平面平行力系。3§2–1平面汇交力系合成和平衡的几何法§2–2平面汇交力系合成和平衡的解析法§2–3力矩、力偶的概念及其性质§2–4平面力偶系的合成与平衡§2–5平面平行力系的合成与平衡第二章平面特殊力系4§2-1平面汇交力系合成与平衡的几何法一、合成的几何法(geometricalmethodofresultantofforces)cos2212221FFFFR)180sin(sin1RF2.任意个共点力的合成为力多边形1.两个共点力的合成合力方向由正弦定理：由余弦定理：cos)180cos(由力的平行四边形法则作，也可用力的三角形来作。5结论：即：即：平面汇交力系(coplanarconcurrentforcesystem)的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过各力的汇交点。二、平面汇交力系平衡的几何条件FR4321FFFFR平面汇交力系平衡的充要条件是：0FR在上面几何法求力系的合力中，合力为零意味着力多边形自行封闭。所以平面汇交力系平衡的必要与充分的几何条件是：力多边形(forcepolygon)自行封闭或力系中各力的矢量和等于零6[例]已知压路机碾子重P=20kN,r=60cm,欲拉过h=8cm的障碍物。求：在中心作用的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力。577.0)(22hrhrrtan又由几何关系：①选碾子为研究对象②取分离体画受力图解：∵当碾子刚离地面时NA=0,拉力F最大,这时拉力F和自重及支反力NB构成一平衡力系。由平衡的几何条件，力多边形封闭，故tgPFcosPNB7由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于23.1kN。此题也可用力多边形方法用比例尺去量。F=11.5kN,NB=23.1kN所以几何法解题步骤：①选研究对象；②作出受力图；③作力多边形，选择适当的比例尺；④求出未知数几何法解题不足：①精度不够，误差大②作图要求精度高；③不能表达各个量之间的函数关系。下面我们研究平面汇交力系合成与平衡的另一种方法：解析法（analyticalmethod）。8FFFXxcosFFFYycos22yxFFF§2-2平面汇交力系合成与平衡的解析法一、力在坐标轴上的投影(projectionofforce)X=Fx=F·cos：Y=Fy=F·sin=F·cos9二、合力投影定理由图可看出，各分力在x轴和在y轴投影的和分别为：XXXXRx421YYYYYRy4321YRyXRx合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。即：10∴三、平面汇交力系合成与平衡的解析法(analyticalmethod)从前述可知：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系的合力为零。00YRXRyx为平衡的充要条件，也叫平衡方程合力的大小：方向：作用点：xyRRtanXYRRxy11tantan为该力系的汇交点2222)()(YXRRRyx即：022yxRRR（theequationsofequilibrium）11解：①研究AB杆②画出受力图③列平衡方程④解平衡方程0X0Y045coscos0CDASR045sinsin0CDASRP[例]已知P=2kN求SCD,RA由EB=BC=0.4m，312.14.0ABEBtan解得：kN24.4tg45cos45sin00PSCDkN16.3cos45cos0CDASR；12[例]已知如图P、Q，求平衡时=？地面的反力ND=？解：研究球，受力如图.PQPQ-TQND360sin2sin-02由②得060212cos21PPTT由①得0X0cos12TT①0Y0sin2DNQT②选投影轴列方程为13又：cosFN)2(1)(cos22hRhRRhRR)2(hRhRFN[例]求当F力达到多大时，球离开地面？已知P、R、h解：研究块,受力如图，解力三角形：14再研究球，受力如图：作力三角形解力三角形：sinNPRhRsin又NNRhRhRhRFNP)2(sin)2()(hRhhRFPhRhRhPF)2(时球方能离开地面当hRhRhPF)2(NB=0时为球离开地面151、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用几何法（解力三角形）比较简便。解题技巧及说明：3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一个未知数。2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或特殊，都用解析法。165、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件，一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压力。4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。17①是代数量。)(FMO当F=0或d=0时，=0。)(FMO③是影响转动的独立因素。)(FMO⑤=2⊿AOB=Fd,2倍⊿形面积。)(FMO力对物体可以产生移动效应--取决于力的大小、方向转动效应--取决于力矩的大小、方向§2-3力矩、力偶的概念及其性质说明：②F↑,d↑转动效应明显。④单位Nm，工程单位kgfm。-+dFFMO)(一、力对点的矩(momentofforceaboutapoint)18定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所有各分力对同一点的矩的代数和即：二、合力矩定理由合力投影定理有：证毕现)()()(21FmFmRmooo[证]niiOOFmRm1)()(od=ob+ocoboAoABFMo2)(1ocoAoACFMo2)(2odoAoADRMo2)(又∵(theoremoftheresultantmoment)19[例]已知：如图F、Q、l,求：和解：①用力对点的矩的定义求)(FmO)(Qmosin)(lFdFFmOlQQmO)(sincot)(lFlFlFFmyxOlQQmO)(②应用合力矩定理求20①两个同向平行力(parallelforce)的合力大小：R=Q+P方向：平行于Q、P且指向一致作用点：C处确定C点，由合力距定理)()(QmRmBBQPR又ABQCBR代入CBACABQPCBAC整理得三、平面力偶及其性质力偶(forcecouple)：两力大小相等，作用线不重合的反向平行力叫力偶。性质1：力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。21②两个反向平行力的合力大小：R=Q-P方向：平行于Q、P且与较大的相同作用点：C处（推导同上）PQCACB性质2：力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩(momentofacouple)，而与矩心的位置无关，因此力偶对刚体的效应用力偶矩度量。力偶无合力R=F'-F=01'FFCACBCACBCBdCBCB必有成立若,处合力的作用点在无限远d220)(RmO0)'()(FmFmOO为有限量证明0)(RmOxFdxFFmFmOO')()'()()(RmdFO说明：①m是代数量，有+、-；②F、d都不独立，只有力偶矩是独立量；③m的值m=±2⊿ABC；④单位：N•mdFm由于O点是任取的dFm—+d23性质3：平面力偶等效定理作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大小相等，转向相同，则该两个力偶彼此等效。[证]设物体的某一平面上作用一力偶(F,F')现沿力偶臂AB方向加一对平衡力(Q,Q'),Q',F'合成R'，再将Q,F合成R，得到新力偶(R,R'),将R,R'移到A',B'点，则(R,R')，取代了原力偶(F，F')并与原力偶等效。24②只要保持力偶矩大小和转向不变，可以任意改变力偶中力的大小和相应力偶臂的长短，而不改变它对刚体的作用效应。由上述证明可得下列两个推论：比较(F,F')和(R,R')可得m(F,F')=2△ABD=m(R,R')=2△ABC即△ABD=△ABC，且它们转向相同。①力偶可以在其作用面内任意移动，而不影响它对刚体的作用效应。25;111dFm222dFmdPm11又dPm22'21PPRA2'1PPRB21'21'21)(mmdPdPdPPdRMA合力矩§2-4平面力偶系的合成与平衡平面力偶系:作用在物体同一平面的许多力偶叫平面力偶系设有两个力偶dd26平面力偶系平衡的充要条件是:所有各力偶矩的代数和等于零。niinmmmmM121即01niim结论:平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各力偶矩的代数和。27[例]在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径的孔,每个钻头的力偶矩为求工件的总切削力偶矩和A、B端水平反力?mN154321mmmmmN60)15(44321mmmmM02.04321mmmmNBN3002.060BNN300BANN解:各力偶的合力偶距为根据平面力偶系平衡方程有:由力偶只能与力偶平衡的性质，力NA与力NB组成一力偶。28§2-5平面平行力系的合成和平衡平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系叫∼一、平面平行力系的合成(compositionofparallelforcesinplane)设在刚体上作用一平面平行力系，现求其合成结果。321FFF、、29)()()()()()()(4325121FmFmFmFmFmRmRmooooooo)(ioFm,511FFR)()()(511FmFmRmooo根据两个平行力合成理论可知，力与合成一个合力51FF1RiFFFFFFRR)()(4325121所以,4322FFFR)()()()(4322FmFmFmRmoooo同理30⑴.当时，原力系的合成结果是一个合力当力系平行于y轴时：21RRiFRRR21iiYFR合力作用线的位置：由)()()()(21iooooFmRmRmRmiiRxFxFxFxFxR552211:即iiiiiRFxFRxFx⑵当时(即时)，原力系合成结果是一合力偶21RR0iFiiioxFFmm)(31平面平行力系平衡的充要条件为：力系中各力的代数和等于零，同时，各力对平面内任一点的矩的代数和也等于零。即：二、平面平行力系的平衡条件由平面平行力系合成分析过程可知，平面平行力系总可以与两个平行力和等效，由公理1，二力和平衡的充要条件是：等值、反向、共线，即()和1R2R2R1R21RR0iF)()(0)(21RmRmFmooio同时满足。因此，0)(0ioiiFmYF平面平行力系的平衡方程32平面平行力系的平衡方程也可用两矩式表示，即0)(iAFm0)(iBFm其中：A、B两点的连线必须不与各力线平行[例]已知：塔式起重机P=700kN,W=200kN(最大起重量)，尺寸如图。求：①保证满载和空载时不致翻倒，平衡块Q=？②当Q=180kN时，求满载时轨道A、B给起重机轮子的反力？330)(FmB0)22()212(2)26(ANWPQ0ANkN75Q限制条件：解得解：⑴①首先考虑满载时，起重机不向右翻倒的最小Q为：②空载时