基于直觉模糊数的算术集结算子及其在群决策中的应用

基于直觉模糊数的算术集结算子及其在群决策中的应用卫贵武川北医学院数学系，四川南充（637007）E-mail：[e-mail]摘要：对直觉模糊信息的集结算子进行了进一步研究，引入了直觉模糊数的一些运算法则、直觉模糊数的得分函数和精确函数，并基于这些运算法则，提出了一些新算子：直觉模糊数有序加权算术平均(IFOWA)算子和直觉模糊数混合集结(IFHA)算子。然后分析了它们的性质。给出了一种基于IFWAA算子和IFHA算子的直觉模糊数多属性群决策方法。最后，进行了实例分析,说明了该方法的实用性和有效性。关键词：直觉模糊数；运算法则；直觉模糊数有序加权算术平均(IFOWA)算子；直觉模糊数混合集结(IFHA)算子中图分类号:C934文献标志码:A1.引言自从1965年Zadeh教授建立了模糊集理论[1]，数学的理论与应用研究范围便从精确问题拓展到了模糊现象的领域。1986年保加利亚学者Atanassov进一步拓展了模糊集，提出了直觉模糊集(IntuitionisticFuzzySets)的概念，直觉模糊集是模糊集的推广，模糊集是直觉模糊集的特殊情形[2-3]。1993年Gau和Buehrer定义了Vague集[4]，Bustince和Burillo指出Vague集的概念与Atanassov的直觉模糊集是相同的[5]。由于直觉模糊集的特点是同时考虑隶属与非隶属两方面的信息，使得它在对事物属性的描述上提供了更多的选择方式，在处理不确定信息时具有更强的表现能力。因此直觉模糊集在学术界及工程技术界引起了广泛的关注。文献[6]对直觉模糊集环境下的几何集结算子进行了研究，提出了直觉模糊加权几何(IFWGA)算子，直觉模糊有序加权几何(IFOWGA)算子和直觉模糊混合几何(IFHG)算子，并且基于IFHG算子，给出了相应的决策方法。文献[7]对直觉模糊集环境下的算术集结算子进行了研究，提出了直觉模糊算术平均(IFAA)算子和直觉模糊加权算术平均(IFWAA)算子，并且基于IFAA算子和IFWAA算子，给出了相应的群决策方法。本文在文献[7]的基础上，做了进一步研究，提出了直觉模糊数有序加权算术平均(IFOWA)算子和直觉模糊数混合集结(IFHA)算子，并研究了它们的性质。同时提出了一种基于IFWAA算子和IFHA算子的直觉模糊数多属性群决策方法。最后，用实例来说明本文给出的方法。2.直觉模糊集基本理论直觉模糊集(IntuitionisticFuzzySets)由Atanassov提出[2-3]，是传统模糊集的一种扩充和发展。直觉模糊集增加了一个新的属性参数：非隶属度函数,它能够更加细腻地描述和刻画客观世界的模糊性本质。定义1[2-3]设X是一个非空经典集合，()12,,,nXxxx=L，X上形如()(){},,AAAxxxxXµν=∈的三重组称为X上的一个直觉模糊集。其中[]:0,1AXµ→和[]:0,1AXν→均为X的隶属函数，且()()01AAxxµν≤+≤，这里()(),AAxxµν分别是X上元素x属于A的隶属度和非隶属度，表示为支持元素x属于集合的证据所导出的否定隶属度的下界。例如()()[],0.5,0.2AAxxµν=⎡⎤⎣⎦，在投票模型中这可解释为在10人中，有5人赞成，2人反对，3人弃权。令[]IFSX表示X上所有直觉模糊集构成的集合。对于X上的每一个直觉模糊集，称()()()1AAAxxxπµν=−−为直觉模糊集A中元素x的直觉指数，表示元素x属于A的犹豫度。显然，()01Axπ≤≤，xX∈。每一个模糊集A′与下述的直觉模糊集A对应()(){},,1AAAxxxxXµµ′′=−∈对每一个模糊集A′，有()0Axπ′=，xX∈。定义2[7]设X是非空经典集合，()12,,,nXxxx=L，[],ABIFSX∈，且()(){},,AAAxxxxXµν=∈，()(){},,BBBxxxxXµν=∈，则有(1)()(){},,AAAxxxxXνµ=∈;(2)()()()()()(){},,ABABABABxxxxxxxxXµµµµνν+=+−⋅⋅∈(3)()()()(){},11,AAAxxxxXλλλµν=−−∈,0λ.定义3[7]设()111,aµν=和()222,aµν=为两个直觉模糊值，则运算法则为(1)()111,aνµ=;(2)()12121212,aaµµµµνν+=+−⋅⋅;(3)()()11111,aλλλµν=−−，0λ；(4)1221aaaa+=+;(5)()1212aaaaλλλ+=+，0λ；(6)()1121121aaaλλλλ+=+，12,0λλ.定义4[8]设(),aµν=为一个直觉模糊值，则该直觉模糊值的记分函数为()Saµν=−，()[]1,1Sa∈−(1)如果()Sa的值越大，则相应的直觉模糊值(),aµν=也越大。定义5[9]设(),aµν=为一个直觉模糊值，则该直觉模糊值的准确度函数为()Haµν=+，()[]0,1Ha∈(2)如果()Ha的值越大，则相应的直觉模糊值(),aµν=的准确度也越高。定义6[7]设()111,aµν=和()222,aµν=为两个直觉模糊值，对应的记分函数为()111Saµν=−和()222Saµν=−，对应的准确度函数为()111Haµν=+和()222Haµν=+，那么(1)如果()()12SaSa，那么有12aa；(2)当()()12SaSa=时，如果()()12HaHa=，则12aa=；如果()()12HaHa，则12aa。3.直觉模糊集的算术集结算子为方便记Q为直觉模糊值集合。定义7[7]设()(),1,2,,jjjajnµν==L为一个直觉模糊值集合，令:nIFWAAQQ→，若()()12111,,,11,jjnnnnjjjjjjjIFWAAaaaaωωωωµν===⎛⎞==−−⎜⎟⎝⎠∑∏∏%%%%L(3)其中：()12,,,nωωωω=L为属性的权重，满足[]0,1iω∈和11niiω==∑。则称函数IFWAA为n维直觉模糊，加权算术平均(IFWAA)算子。特别地有，当属性权重取值为()1,1,,1nnnω=L，则IFWAA算子就退化为IFAA算子，记为()1212,,,nnaaaIFAAaaan++=%%%L%%%L例1.设()10.1,0.3a=%,()20.4,0.6a=%,()30.3,0.7a=%和()40.2,0.5a=%为四个直觉模糊数,()0.2,0.3,0.4,0.1Tω=为()1,2,3,4jaj=%的属性权重，那么有()()()()412144110.20.30.40.10.20.30.40.1,,,11,10.90.60.70.8,0.30.60.70.50.2877,0.5455jjnjjjjjjjIFWAAaaaaωωωωµν====⎛⎞=−−⎜⎟⎝⎠=−××××××=∑∏∏%%%%L定义8设()(),1,2,,jjjajnµν==L为一个直觉模糊值集合，令:nIFOWAQQ→，若()()()()()12111,,,11,jjnnnσσσµν===⎛⎞==−−⎜⎟⎝⎠∑∏∏%%%%L(4)其中：()12,,,Tn=L为与IFOWA算子相关联的权重向量，满足[]0,1jw∈和11njjw==∑，且()jaσ%是一组直觉模糊数()1,2,,jajn=%L中第j个最大的元素，并且()()()()1,2,,nσσσL是()1,2,,nL的一个置换，对任意2,,jn=L，满足()()1jjσσαα−≥%%，则称函数IFOWA为n维直觉模糊数有序加权平均(IFOWA)算子。设()10.2,0.7a=%,()20.6,0.3a=%,()30.4,0.5a=%和()40.5,0.3a=%为四个直觉模糊数,()0.2,0.3,0.3,0.2Tw=为与IFOWA算子相关联的权重向量。为了对()1,2,3,4jaj=%进行排序，首先由式(1)计算()1,2,3,4jaj=%的得分函数，()()()()12340.5,0.3,0.1,0.2SaSaSaSa=−==−=%%%%根据()()1,2,3,4jSaj=%的值对()1,2,3,4jaj=%进行降序排列得()()10.6,0.3aσ=%,()()20.5,0.3aσ=%,()()30.4,0.5aσ=%,()()40.2,0.7aσ=%那么有()()()()()()()412144110.20.30.30.20.20.30.30.2,,,11,10.70.50.60.8,0.30.30.50.70.4452,0.4143jjwnjjjwwjjjjIFOWAaaawaσσσµν====⎛⎞=−−⎜⎟⎝⎠=−××××××=∑∏∏%%%%L定义9设()(),1,2,,jjjajnµν==L为一组直觉模糊数，令:nIFHAQQ→，若()()()()(),12111,,,11,jjnnnωσσσµν===⎛⎞==−−⎜⎟⎝⎠∑∏∏&&%%%%&L(5)其中：()12,,,Tn=L为与IFHA算子相关联的权重向量，满足[]0,1jw∈和11njjw==∑。且()jaσ&%是一组直觉模糊数(),1,2,,jjjjaanajnω==&&%%%L中第j个最大的元素，这里()12,,,nωωωω=L为()1,2,,jajn=%L的属性权重，满足[]0,1jω∈和11njjω==∑，n为平衡因子，并且()()()()1,2,,nσσσL是()1,2,,nL的一个置换，对任意2,,jn=L，满足()()1jjσσαα−≥%%，则称函数IFHA为n维直觉模糊数混合集结(IFHA)算子。例3.设()10.2,0.7a=%,()20.6,0.3a=%,()30.4,0.5a=%和()40.5,0.3a=%为四个直觉模糊数,()0.2,0.3,0.4,0.1Tω=为()1,2,3,4jaj=%的属性权重，()0.2,0.3,0.3,0.2Tw=为与I-IFHA算子相关联的权重向量首先由()1,2,3,4jaj=%计算(),1,2,3,4jjjjaanajω==&&%%%，得到()()1140.240.20.2,0.70.163,0.752aa=××=××=&%%()()2240.340.30.6,0.30.667,0.236aa=××=××=&%%()()3340.440.40.4,0.50.558,0.330aa=××=××=&%%()()4440.140.10.5,0.30.242,0.618aa=××=××=&%%为了对()1,2,3,4jaj=&%进行排序，首先由式(1)计算()1,2,3,4jaj=&%的得分函数，()()()()12340.588,0.431,0.229,0.376SaSaSaSa=−===−&&&&%%%%根据()()1,2,3,4jSaj=&%的值对()1,2,3,4jaj=&%进行降序排列得()()10.667,0.236aσ=&%,()()20.558,0.330aσ=&%()()30.242,0.618aσ=&%,()()40.163,0.752aσ=&%那么有()()()()()()()444,121110.20.30.30.20.20.30.30.2,,,11,10.3330.4420.7580.837,0.2360.3300.6180.7520.442,0.439jjωσσσµν===⎛⎞==−−⎜⎟⎝⎠=−××××××=∑∏∏&&%%%%&L定理1IFWAA算子是IFHA算子的一个特