圆锥曲线高考常考题型

圆锥曲线高考常考题型：一、基本概念、基本性质题型二、平面几何知识与圆锥曲线基础知识的结合题型三、直线与圆锥曲线的相交关系题型（一）中点、中点弦公式（二）弦长（三）焦半径与焦点三角形四、面积题型（一）三角形面积（二）四边形面积五、向量题型（一）向量数乘形式（二）向量数量积形式（三）向量加减法运算（四）点分向量（点分线段所成的比）六、切线题型（一）椭圆的切线（二）双曲线的切线（三）抛物线的切线七、最值问题题型（一）利用三角形边的关系（二）利用点到线的距离关系一、基本概念题型：主要涉及到圆锥曲线定义、焦点、焦距、长短轴、实虚轴、准线、渐近线、离心率等基本概念知识的考查。例1：已知椭圆)0(12222babyax的焦距为2，准线为4x，则该椭圆的离心率为例2：已知双曲线方程)0,(12222babyax的离心率为25，则渐近线方程为例3：已知双曲线方程为)1(1)1(2222aayax，则双曲线离心率取值范围为例4：已知抛物线方程为xy82，则焦点坐标为例5：已知椭圆C：13422yx上一点P到左焦点的距离为23，则点P到左准线的距离为，到右准线的距离为例6：已知双曲线M：13622yx上一点P到左准线的距离为2，则点P到右焦点的距离为二、平面几何知识与圆锥曲线基本知识的结合。该考点主要涉及到平面几何知识中的中位线、中垂线、角平分线定理，射影定理、勾股定理、余弦定理、相似三角形、三角形四心性质、等腰梯形、直角梯形性质、圆的性质、长度和坐标的相互转换等当然还会涉及圆锥曲线基本知识，包括定义、基本概念、基本性质。例1：①过三点(1,3)A，(4,2)B，(1,7)C的圆交y轴于M，N两点，则||MN（）A．26B．8C．46D．10②设点M（0x,1），若在圆O:221xy上存在点N，使得∠OMN=45°，则0x的取值范围是________.③已知点P为椭圆)0(12222babyax上一点，21FF、为椭圆的两焦点，若21213,120PFPFPFF且,则椭圆的离心率为例2：已知21FF、为双曲线192722yx的左右焦点，P为双曲线上一点，M(2，0),PM为21PFF的角平分线，则2PF=例3：已知P为椭圆12922yx上一点，21FF、为椭圆的交点，M为线段1PF的中点，1OM,则1PF例4：①已知21FF、为椭圆)0(12222babyax的焦点，点P（ba,),△21FPF为等角三角形，则椭圆的离心率为②已知F1，F2是双曲线E22221xyab的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin2113MFF,则E的离心率为（A）2（B）32（C）3（D）2③已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，?ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（）A．5B．2C．3D．2例5：已知椭圆方程为)0(12222babyax，点A为椭圆右准线与x轴的交点，若椭圆上存在点P，使得线段AP的中垂线经过右焦点F，则椭圆离心率的取值范围为例6：已知1F（-c，0）、2F(c,0)为椭圆C:)0(12222babyax的左右焦点，若在直线22axc存在一点P使得线段1PF的中垂线经过2F,则椭圆离心率的取值范围为例7：已知斜率为2的直线过抛物线)0(2aaxy的焦点且与y轴的交点为A，若△OAF的面积为4，则抛物线方程为三、直线与圆锥曲线（一）直线与圆锥曲线相交，中点，中点弦公式1、直线与圆锥曲线相交，即有两个交点，一般设两个交点坐标为),(),(2211yxyx、，联立方程，方程有两个根，以下三点需注意：①联立时，直线一般采用斜截式，将y用kx+m替换，得到一个关于x的一元二次方程，当然也可以将x用y的表达式替换，得到关于y的一元二次方程；②联立得到的一元二次方程中，暗含了一个不等式，0；③我们很少需要求解21xx、，一般通过韦达定理得到2121xxxx、的值或者表达式。2、两交点中点坐标：M(00,yx)=)2,2(2121yyxx（联立、韦达定理）=)2)(,2()2,2(21212121mxxkxxmkxmkxxx3、中点弦公式：（所谓中点弦公式是直线与圆锥曲线相交时，两交点中点与弦所在直线的关系，一般不联立方程，而用点差法求解）①椭圆：焦点在x轴上时直线mkxy与椭圆)0(12222babyax相交于点A、B设点A(11,yx),B(22,yx)∵A、B在椭圆上∴1221221byax……①则2222122221-byyaxx1222222byax……②即2222212221-abxxyy①-②得：02222122221byyaxx即2221212121))((abxxyyxxyy则22abkkOMAB（其中M为A、B中点，O为原点）同理可以得到当焦点在y轴上，即椭圆方程为)0(12222babxay当直线交椭圆于A、B两点，M为A、B中点则22bakkOMAB用文字描述：直线AB的斜率与中点M和原点O所成直线斜率的乘积等于2y下的系数比上2x下的系数的相反数。例：已知直线x+y-3=0过椭圆C:12222byax的右焦点且与椭圆交于A、B两点，P为AB的中点，且直线OP的斜率为21，求椭圆方程。②双曲线焦点在x轴上，双曲线方程：)0,(12222babyax同理，焦点在y轴上，双曲线方程：)0,(12222babxay例：①已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为()（A）22136xy（B）22145xy（C）22163xy（D）22154xy②已知1A、2A为双曲线E：221(,0)43xyab的左右顶点，P为双曲线右支上一动点，则PAPBkk=③))(,(000axyxP是双曲线E：)0,0(12222babyax上一点，NM,分别是双曲线E的左、右顶点，直线PNPM,的斜率之积为51.（I）求双曲线的离心率；（II）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于BA,两点，O为坐标原点，C为双曲线上的一点，满足OBOAOC，求的值.③抛物线焦点在x轴上，抛物线方程：pxy22同理，焦点在y轴上，抛物线方程：pyx22例：①已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点。若AB的中点为（2，2），则直线的方程为_____________.（二）弦长1、弦长的一般形式设A(11,yx),B(22,yx)弦长221221)()(yyxxAB=2122124)(1xxxxk=2122124)(11yyyyk①椭圆弦长②双曲线弦长相切条件：22220akbm联立圆锥曲线方程与直线方程，消掉x或者y达到关于y或者x的一元二次方程，用韦达定理表示出2121xxxx、，代入弦长公式即可。例：已知直线y=x-1与双曲线C：1322yx交于A、B两点，求AB例2：已知椭圆E:2213xyt的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k0)的直线交E于A,M两点，点N在E上，MA⊥NA.（I）当t=4，AMAN时，求△AMN的面积；（II）当2AMAN时，求k的取值范围.2、过焦点的弦长过焦点的弦长一般处理成两部分焦半径的和（利用第二定义求解）①坐标形式焦半径（已知圆锥曲线上一点P（00,xy））椭圆焦半径双曲线焦半径利用第二定义：到焦点的距离与到对应准线的距离之比为离心率求解得出②角度形式焦半径3.焦点三角形222212,PFPFaexba1[,)PFac，2[,)PFca12FPF随着x的增大先增大后减小，在上顶点处取得最大值例：已知双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点分别为12(,0),(,0)FcFc，若双曲线上存在一点P使1221sinsinPFFaPFFc，则该双曲线的离心率的取值范围是．当点p在椭圆外时，12FPF[0,)当点p在椭圆上时，12FPF[0,]当点p在椭圆内时，12FPF[0,]例：①已知P为椭圆C：2214xy上的点，1F、2F为椭圆的左右焦点，若△12PFF为直角三角形，则满足条件的P点有个②已知1F、2F为椭圆C:22221(0)xyabab的左右焦点，若只能在椭圆内部找到一点P使得12FPF=120°，则椭圆离心率的取值范围为③设F为抛物线C:23yx的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）A.334B.938C.6332D.94④已知F1、F2为双曲线1:22yxC的左、右焦点，点P在C上，6021PFF,则P到x轴的距离为A、23B、26C、210D、34、抛物线的特殊特征在计算弦长的过程中，我们需要联立方程，对于抛物线而言，我们发现了一个特殊的规律：当直线经过抛物线对称轴上一个定点与抛物线有两个交点时，我们发现无论直线斜率如何改变，两点的横坐标之积，纵坐标之积为一个确定的常数。pxy22，M为对称轴上一点(0,a),过M做直线交抛物线与A、B两点，令A),(11yx、B(22,yx），求x2121,yyxx①当直线斜率不存在时，1212,2,2(0)xxaypaypaa②当斜率存在时，设直线AB为()ykxa联立22()ypxykxa得22222(22)0kxkapxka则2121222,2pxxaxxak（AB中点横坐标随着斜率绝对值的增大而减小）总之21212,2xxayypa即22ypx时，过(,0a)21212,2xxayypa22xpy时，过(0,)a21212,2yyaxxpa例：①过抛物线22yx的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，2512AB,且AFBF,则AF②设抛物线2y=2x的焦点为F，过点M（3，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，BF=2，则BCF与ACF的面积之比BCFACFSS=延伸：在抛物线22ypx对称轴上存在定点（2p，0）,使得以过该点与抛物线相交的弦为直径的圆过原点。张占龙：过抛物线22ypx上一点P00(,)xy做两条相互垂直的直线分别于抛物线相交，两个交点的连线恒过(002,xpy)四、面积（一）三角形面积直线与圆锥曲线相交，弦和某个定点所构成的三角形的面积处理方法：①一般方法：dABS21（其中AB为弦长，d为顶点到直线AB的距离）=20011221214)(121kmykxxxxxk（直线为斜截式y=kx+m）=mykxxxxx00112214)(21②特殊方法：拆分法,可以将三角形沿着x轴或者y轴拆分成两个三角形，不过在拆分的时候给定的顶点一般在x轴或者y轴上，此时，便于找到两个三角形的底边长。例：已知椭圆C:1422yx，直线y=x+1交椭圆于A、B两点，O为坐标原点,求△OAB的面积。例2：已知过抛物线xy42交点F的动直线交抛物线与A、B两点，P（2,0），求△PAB面积的取值范围。②四边形面积在高考中，四边形一般都比较特殊，常见的情况是四边形的两对角线相互垂直，此时我们借助棱形面积公式，四边形面积等于两对角线长度乘积的一半；当然也有一些其他的情况，此时可以拆分成两个三角形，借助三角形面积公式求解。例1：平面直角坐标系xoy中，过椭圆M:)0(13622bayx右焦点F的直线l03yx交M与A,B两点，C,D为M上的两点，且CD⊥AB，（1）若直线CD过点（0,1），求四边形ABCD的面积（2）求四边形ACBD面积的最大值例2：已知椭圆12322＝＋yx的左、右焦点分别为F1、