2017-2018北京市朝阳区高三第一学期期末数学理科试题含答案

1北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测数学试卷（理工类）2018.1（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}|(2)0Axxx=-，{}|ln0Bxx=，则ABI是A.{}|12xxB.{}|02xxC.{}|0xxD.{}|2xx2.已知i为虚数单位，设复数z满足i3z，则z=A.3B.4C.10D.103.在平面直角坐标系中，以下各点位于不等式(21)(3)0xyxy表示的平面区域内的是A.(00)，B.(20)，C.(01)，D.(02)，4.“2sin2”是“cos2=0”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为A.4B.43C.423D.426.已知圆22(2)9xy的圆心为C.直线l过点(2,0)M且与x轴不重合，l交圆C于,AB两点，点A在点M，B之间.过M作直线AC的平行线交直线BC于点P，则点P的轨迹是正视图侧视图俯视图2A.椭圆的一部分B.双曲线的一部分C.抛物线的一部分D.圆的一部分7.已知函数()fxxxa的图象与直线1y的公共点不少于两个，则实数a的取值范围是A.2aB.2aC.20aD.2a8.如图1，矩形ABCD中，3AD.点E在AB边上，CEDE且1AE.如图2，ADE△沿直线DE向上折起成1ADE△．记二面角1ADEA的平面角为，当00180，时，①存在某个位置，使1CEDA；②存在某个位置，使1DEAC；③任意两个位置，直线DE和直线1AC所成的角都不相等.以上三个结论中正确的序号是A.①B.①②C.①③D.②③第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9.已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C的离心率为2，则双曲线C的渐近线方程为.10.执行如图所示的程序框图，输出S的值为.11.ABCD中，,EF分别为边,BCCD中点，若AFxAByAE（,xyR），则+=xy_________.12.已知数列na满足11nnnaaa（2n），1ap，2aq(,pqR).设1nniiSa，则10a;2018S.（用含,pq的式子表示）13.伟大的数学家高斯说过：几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基本问题.一位图1BAEDC开始i=1，S=2结束i=i+1i4?输出S是否S=iSEBCDAA1图23同学受到启发，借助以下两个相同的矩形图形，按以下步骤给出了不等式：22222()()()acbdabcd的一种“图形证明”.证明思路：（1）左图中白色区域面积等于右图中白色区域面积；（2）左图中阴影区域的面积为acbd，右图中，设BAD，右图阴影区域的面积可表示为_________（用含abcd,,,，的式子表示）；（3）由图中阴影面积相等，即可导出不等式22222()()()acbdabcd.当且仅当,,,abcd满足条件__________________时，等号成立.14.如图，一位同学从1P处观测塔顶B及旗杆顶A，得仰角分别为和90.后退l(单位m)至点2P处再观测塔顶B，仰角变为原来的一半，设塔CB和旗杆BA都垂直于地面，且C，1P，2P三点在同一条水平线上，则塔CB的高为m；旗杆BA的高为m.（用含有l和的式子表示）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.(本小题满分13分)已知函数21()sincossin2fxxxx.（Ⅰ）求()fx的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中,,,abc为角,,ABC的对边，且满足cos2cossinbAbAaB，且02A，求()fB的取值范围.AP2P1BCbbdacdacdacbDCBA416.(本小题满分13分)为了治理大气污染，某市2017年初采用了一系列措施，比如“煤改电”，“煤改气”，“国Ⅰ，Ⅱ轻型汽油车限行”，“整治散乱污染企业”等.下表是该市2016年和2017年12月份的空气质量指数（AQI）（AQI指数越小，空气质量越好）统计表.表1：2016年12月AQI指数表：单位（3g/m）日期1234567891011AQI47123232291781031591323767204日期1213141516171819202122AQI270784051135229270265409429151日期232425262728293031AQI4715519164548575249329表2：2017年12月AQI指数表：单位（3g/m）日期1234567891011AQI91187792844492741564328日期1213141516171819202122AQI2849946240464855447462日期232425262728293031AQI5050464110114022115755根据表中数据回答下列问题：（Ⅰ）求出2017年12月的空气质量指数的极差；（Ⅱ）根据《环境空气质量指数（AQI）技术规定（试行）》规定：当空气质量指数为0～50时，空气质量级别为一级.从2017年12月12日到12月16这五天中，随机抽取三天，空气质量级别为一级的天数为，求的分布列及数学期望；（Ⅲ）你认为该市2017年初开始采取的这些大气污染治理措施是否有效?结合数据说明理由.517.(本小题满分14分)如图，在三棱柱111ABCABC中，90ACB，D是线段AC的中点，且1AD平面ABC．（Ⅰ）求证：平面1ABC平面11AACC；（Ⅱ）求证：1//BC平面1ABD；（Ⅲ）若11ABAC，2ACBC，求二面角1AABC的余弦值.18.(本小题满分13分)已知函数()cosfxxxa，aR.（Ⅰ）求曲线()yfx在点2x处的切线的斜率；（Ⅱ）判断方程()0fx（()fx为()fx的导数）在区间0,1内的根的个数，说明理由；（Ⅲ）若函数()sincosFxxxxax在区间(0,1)内有且只有一个极值点，求a的取值范围.ACBB1C1A1D619.(本小题满分14分)已知抛物线:C24xy的焦点为F,过抛物线C上的动点P（除顶点O外）作C的切线l交x轴于点T.过点O作直线l的垂线OM（垂足为M）与直线PF交于点N.（Ⅰ）求焦点F的坐标；（Ⅱ）求证：FTMN；（Ⅲ）求线段FN的长.20.(本小题满分13分)已知集合12,,...,nPaaa，其中iaR1,2inn.()MP表示+ijaa1)ijn（中所有不同值的个数.（Ⅰ）若集合1,3,57,9P，，求()MP；（Ⅱ）若集合11,4,16,...,4nP，求证：+ijaa的值两两不同，并求()MP；（Ⅲ）求()MP的最小值.（用含n的代数式表示）7北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷答案（理工类）2018.1一、选择题（40分）题号12345678答案ACDAABBC二、填空题（30分）题号91011答案yx4812题号121314答案ppq2222sinabcdadbcsinlcos2sinl三、解答题（80分）15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题知111()sin2(1cos2)222fxxx11=sin2cos222xx2=sin(2)24x.由222242kxk（k），解得88kxk.所以()fx单调递增区间为3[,]88kk（k）.……………6分（Ⅱ）依题意，由正弦定理，sincos2sincossinsinBABAAB.因为在三角形中sin0B，所以cos2cossinAAA.即(cossin)(cossin1)0AAAA当cossinAA时，4A；当cossin1AA时，2A.8由于02A，所以4A.则3+4BC.则304B.又2444B，所以1sin(2)14B.由2()sin(2)24fBB，则()fB的取值范围是2222，.………………13分16.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）2017年12月空气质量指数的极差为194.…………………3分（Ⅱ）可取1，2，31232353(1)10CCPC；2132356(2)10CCPC；3032351(3)10CCPC.的分布列为123P310610110所以3611231.8101010E.………………9分（Ⅲ）这些措施是有效的.可以利用空气质量指数的平均数，或者这两年12月空气质量指数为优的概率等来进行说明.………………13分17.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为90ACB，所以BCAC．根据题意，1AD平面ABC，BC平面ABC，所以1ADBC．因为1ADACD，所以BC平面11AACC．9又因为BC平面1ABC，所以平面1ABC平面11AACC．………………4分（Ⅱ）证明：连接1AB，设11ABABE，连接DE．根据棱柱的性质可知，E为1AB的中点，因为D是AC的中点，所以1//DEBC．又因为DE平面1ABD，1BC平面1ABD，所以1//BC平面1ABD．………………8分（Ⅲ）如图，取AB的中点F，则//DFBC，因为BCAC，所以DFAC，又因为1AD平面ABC，所以1,,DFDCDA两两垂直．以D为原点，分别以1,,DFDCDA为,,xyz轴建立空间坐标系（如图）.由（Ⅰ）可知，BC平面11AACC,所以1BCAC．又因为11ABAC，1BCABB,所以1AC平面1ABC，所以11ACAC，所以四边形11AACC为菱形．由已知2ACBC，则0,1,0A，0,1,0C，2,1,0B，10,0,3A．设平面1AAB的一个法向量为,,xyzn，因为10,1,3AA，2,2,0AB，所以10,0,AAABnn，即30,220.yzxyACBB1C1A1DEyxzACBB1C1A1DF10设1z，则3,3,1n．再设平面1ABC的一个法向量为111,,xyzm，因为10,1,3CA，2,0,0CB，所以10,0,CACBmm，即11130,20.yzx设11z，则0,3,1m．故317cos,772mnmnmn．由图知，二面角1AABC的平面角为锐角，所以二面角1AABC的余弦值为77．…………14分18.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()cossinfxxxx.ππ()22kf.…………3分（Ⅱ）设()()gxfx，()sin(sincos)2sincosgxxxxxxxx.当(0,1)x时，()0gx，则函数()gx为减函数.又因为(0)10g，(1)cos1sin10g,所以有且只有一个0(0,1)x，使0()0gx成立.所以函数()gx在区间0,1内有且只有一个零点.即方程()0fx在区间0,1内有且只有一个实数根.……………7分（Ⅲ）若函数()sincosFxxxxax在区间0,1内有且只有一个极值点，由于()()Fxfx，即()cosfxx