2015年春_九年级下册人教版_28.2解直角三角形_(第3课时)

方位角在直角三角形中,除直角外,由已知两元素求其余未知元素的过程叫解直角三角形.1.解直角三角形(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）；2.解直角三角形的依据(2)两锐角之间的关系:∠A＋∠B＝90º；(3)边角之间的关系:ＡＣＢabctanA＝absinA＝accosA＝bc(必有一边)3、仰角和俯角铅直线水平线视线视线仰角俯角在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.例.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（结果保留小数点后一位）？65°34°PBCA•指南或指北的方向线与目标方向线构成小于900的角,叫做方位角.•如图：点A在O的北偏东30°•点B在点O的南偏西45°（西南方向）30°45°BOA东西北南方位角东西北南O（1）正东，正南，正西，正北（2）西北方向:_________西南方向:__________东南方向:__________东北方向:__________射线OAABCDOBOCOD45°射线OE射线OF射线OG射线OHEGFH45°认识方位角O北南西东（3）南偏西25°25°北偏西70°南偏东60°ABC射线OA射线OB射线OC70°60°认识方位角方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角．右图中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示：__60°，__45°或_,_80°，__30°.北偏东南偏东东南方向南偏西北偏西填空：例、如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（结果保留小数点后一位）？解：如图，在Rt△APC中，PC＝PA·cos（90°－65°）＝80×cos25°≈72.505.在Rt△BPC中，∠B＝34°PBPCBsin7.12934sin8.72sinBPCPB65°34°PBCA因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约129.7海里。80练习1、海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？BADF60°1230°1.海中有一个小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向到航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏到30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？BADF解：由点A作BD的垂线交BD的延长线于点F，垂足为F，∠AFD=90°由题意图示可知∠DAF=30°设DF=x,AD=2x则在Rt△ADF中，根据勾股定理222223AFADDFxxx在Rt△ABF中，tanAFABFBF3tan3012xx解得x=666310.4AFx∵10.48,∴没有触礁危险。练习30°60°12利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是:1.将实际问题抽象为数学问题;(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题)2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形;3.得到数学问题的答案;4.得到实际问题的答案.归纳：45°30°200米POBD归纳与提高45°30°PA200米CBO45°30°45060°45°20020045°30°βαABOPABOP30°45°450解决有关方向角的问题1．(6分)在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能达目的地C(如图)，那么，由此可知，B，C两地相距__m.,第1题图),第2题图)2．(6分)(2014·十堰)如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离是__海里．(结果精确到个位，参考数据：2≈1.4，3≈1.7，6≈2.4)3．(6分)王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地()A．503mB．100mC．150mD．1003m20024D4．(6分)(2014·临沂)如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B，C之间的距离为()A．20海里B．103海里C．202海里D．30海里,第3题图),第4题图)5．(6分)在一次夏令营活动中，小霞同学从营地A点出发，要到距离A点1000m的C地去，先沿北偏东70°方向到达B地，然后再沿北偏西20°方向走了500m到达目的地C，此时小霞在营地A的()A．北偏东20°方向上B．北偏东30°方向上C．北偏东40°方向上D．北偏西30°方向上CC6．(10分)(2014·张家界)如图，我渔政310船在南海海面上沿正东方向匀速航行，在A点观测到我渔船C在北偏东60°方向的我国某传统渔场捕鱼作业．若渔政310船航向不变，航行半小时后到达B点，观测到我渔船C在东北方向上．问：渔政310船再按原航向航行多长时间，离渔船C的距离最近？(渔船C捕鱼时移动距离忽略不计，结果不取近似值)解：作CD⊥AB，交AB的延长线于D，则当渔政310船航行到D处时，离渔船C的距离最近，设CD长为x，在Rt△ACD中，∵∠ACD＝60°，tan∠ACD＝ADCD，∴AD＝3x，在Rt△BCD中，∵∠CBD＝∠BCD＝45°，∴BD＝CD＝x，∴AB＝AD－BD＝3x－x＝(3－1)x，设渔政船从B航行到D需要t小时，则AB0.5＝BDt，∴（3－1）x0.5＝xt，∴(3－1)t＝0.5，解得：t＝0.53－1，∴t＝3＋14一、选择题(共10分)7．(2014·苏州)如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离(即AB的长)为()A．4kmB．23kmC．22kmD．(3＋1)km,第7题图),第8题图)二、填空题(共10分)8．如图，在东西方向的海岸线上有A，B两个港口，甲货船从A港沿北偏东60°的方向以40海里/小时的速度出发，同时乙货船从B港沿西北方向出发，2小时后相遇在点P处，问乙货船每小时航行__海里．C202三、解答题(共40分)9．(12分)如图所示，MN表示某引水工程的一段设计路线，从M到N的走向为南偏东30°，在M的南偏东60°方向上有一点A，以A为圆心，500m为半径的圆形区域为居民区，取MN上另一点B，测得BA的方向为南偏东75°，已知MB＝400m，通过计算回答，如果不改变方向，输水路线是否会穿过居民区？解：依题意得：∠AMN＝30°，∠ABN＝45°，过点A作AC⊥MN于点C，在Rt△ABC中，tan∠ABC＝ACBC，∴BC＝AC，由MB＝MC－BC，得3AC－AC＝400，∴AC＝200(3＋1)≈546＞500，∴不改变方向，输水路线不会穿过居民区．10．(13分)(2014·泸州)海中两个灯塔A，B，其中B位于A的正东方向上，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点C处测得灯塔A在西北方向上，灯塔B在北偏东30°方向上，渔船不改变航向继续向东航行30海里到达点D，这时测得灯塔A在北偏西60°方向上，求灯塔A，B间的距离．(计算结果用根号表示，不取近似值)解：过点A作AF⊥CD，垂足为F，过C作CN垂直CD交AB于点N，则∠FAD＝60°，∠FAC＝∠FCA＝45°，∠BCN＝30°，∠ADF＝30°，∴AF＝FC＝AN＝NC，设AF＝FC＝x，∴tan30°＝AFFD＝xx＋30＝33，解得：x＝15(3＋1)，∵tan30°＝BNNC，∴BN15（3＋1）＝33，解得：BN＝15＋53，∴AB＝AN＋BN＝15(3＋1)＋15＋53＝30＋203，答：灯塔A，B间的距离为(30＋203)海里．【综合运用】11．(15分)(2014·黄冈)如图，在南北方向的海岸线MN上，有A，B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A，B两船相距100(3＋1)海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．(1)分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD(如果运算结果有根号，请保留根号)．(2)已知距观测点D处100海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)解：(1)过C作CE⊥AB，由题意得：∠ABC＝45°，∠BAC＝60°，设AE＝x海里，在Rt△AEC中，CE＝AE·tan60＝3x；在Rt△BCE中，BE＝CE＝3x.∴AE＋BE＝x＋3x＝100(3＋1)，解得：x＝100，AC＝2x＝200，在△ACD中，∠DAC＝60°，∠ADC＝75°，则∠ACD＝45°，过点D作DF⊥AC于点F，设AF＝y，则DF＝CF＝3y，∴AC＝y＋3y＝200，解得：y＝100(3－1)，∴AD＝2y＝200(3－1)(2)由(1)可知，DF＝3AF＝3×100(3－1)≈127，∵127＞100，所以巡逻船A沿直线AC航线，在去营救的途中没有触暗礁危险