第十三章导数及应用

131第十三章导数及其应用一、选择题1.（福建文10）若a0,b0,且函数f（x）=3242xaxbx在x=1处有极值，则ab的最大值等于A．2B．3C．6D．92.（湖南理8）设直线xt与函数2(),()lnfxxgxx的图像分别交于点,MN，则当||MN达到最小时t的值为（）A．1B．12C．52D．223.（湖南文7）曲线sin1sincos2xyxx在点(,0)4M处的切线的斜率为（）A．12B．12C．22D．224.（江西文4）曲线xye在点A（0,1）处的切线斜率为（）A.1B.2C.eD.1e5.（全国理8）曲线y=2xe+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为A．13B．12C．23D．16.（山东文4）曲线211yx在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是A．-9B．-3C．9D．157.（浙江文10）设函数2,,fxaxbxcabcR，若1x为函数2fxe的一个极值点，则下列图象不可能为yfx的图象是8.（重庆文3）曲线223yxx在点（1，2）处的切线方程为132A．31yxB．35yxC．35yxD．2yx二、填空题1.（广东理12）函数2()31fxxx在x=____________处取得极小值。2.（江苏12）在平面直角坐标系xOy中，已知点P是函数)0()(xexfx的图象上的动点，该图象在P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_____________三、解答题1.（安徽理16文18）（本小题满分12分）设21)(axexfx，其中a为正实数.（Ⅰ）当34a时，求)(xf的极值点；（Ⅱ）若)(xf为R上的单调函数，求a的取值范围2.（北京理18）（本小题共13分）已知函数2()()xkfxxke。（Ⅰ）求()fx的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的(0,)x，都有()fx≤1e，求k的取值范围。3.（北京文18）（本小题共13分）已知函数()()xfxxke.（Ⅰ）求()fx的单调区间；（Ⅱ）求()fx在区间[0,1]上的最小值.4.（福建文22）（本小题满分14分）已知a，b为常数，且a≠0，函数f（x）=-ax+b+axlnx，f（e）=2（e=2．71828…是自然对数的底数）。（I）求实数b的值；（II）求函数f（x）的单调区间；（III）当a=1时，是否同时存在实数m和M（mM），使得对每一个t∈[m，M]，直线133y=t与曲线y=f（x）（x∈[1e，e]）都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由。5.（广东文19）（本小题满分14分）设a＞0,讨论函数f（x）=lnx+a（1-a）x2-2（1-a）的单调性。6.（湖北理21）（本小题满分14分）（Ⅰ）已知函数()1fxInxx，(0,)x，求函数()fx的最大值；（Ⅱ）设,kkab(1,2k…，)n均为正数，证明：（1）若1122abab…nnab12bb…nb，则12121nkkknaaa；（2）若12bb…nb=1，则1n121222212.nkkknnbbbbbb7.（湖北文20）（本小题满分13分）设函数32()2fxxaxbxa，2()32gxxx，其中xR，a、b为常数，已知曲线()yfx与()ygx在点（2,0）处有相同的切线l。（I）求a、b的值，并写出切线l的方程；（II）若方程()()fxgxmx有三个互不相同的实根0、1x、2x，其中12xx，且对任意的12,xxx，()()(1)fxgxmx恒成立，求实数m的取值范围。8.（湖南理22）（本小题满分13分）已知函数f(x)=3x，g(x)=x+x。（Ⅰ）求函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数，并说明理由；（Ⅱ）设数列*{}()nanN满足1(0)aaa，1()()nnfaga，证明：存在常数M,使得对于任意的*nN，都有na≤M.9.（湖南文22）（本小题13分）设函数1()ln().fxxaxaRx(I)讨论()fx的单调性；（II）若()fx有两个极值点12xx和，记过点1122(,()),(,())AxfxBxfx的直线的斜率为k，问：是否存在a，使得2?ka若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．10.（江西19）（本小题满分12分）134设()fxxxax（1）若()fx在(,）上存在单调递增区间，求a的取值范围；（2）当a时，()fx在[,]上的最小值为，求()fx在该区间上的最大值．11.（江西文20）(本小题满分13分）设nxmxxxf2331.（1）如果32xxfxg在2x处取得最小值5，求xf的解析式；（2）如果Nnmnm,10，xf的单调递减区间的长度是正整数，试求m和n的值．(注：区间ba,的长度为ab）12.（辽宁理21）（本小题满分12分）已知函数xaaxxxf)2(ln)(2．（I）讨论)(xf的单调性；（II）设0a，证明：当ax10时，)1()1(xafxaf；（III）若函数)(xfy的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f（x0）＜0．13.（辽宁文20）（本小题满分12分）设函数)(xf=x+ax2+blnx，曲线y=)(xf过P（1,0），且在P点处的切斜线率为2．（I）求a，b的值；（II）证明：)(xf≤2x-2．14.（全国理22）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）（Ⅰ）设函数2()ln(1)2xfxxx，证明：当0x＞时，()0fx＞；（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为p．证明：19291()10pe15.（全国文21）（本小题满分l2分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）已知函数32()3(36)124fxxaxaxaaR（I）证明：曲线()0yfxx在处的切线过点（2，2）；（II）若0()fxxx在处取得极小值，0(1,3)x，求a的取值范围。16.（山东理文21）（本小题满分12分）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆135柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为803立方米，且2lr≥．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为(3)cc＞千元，设该容器的建造费用为y千元．（Ⅰ）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r．17.（陕西理21）（本小题满分14分）设函数()fx定义在(0,)上，(1)0f，导函数1(),()()().fxgxfxfxx（Ⅰ）求()gx的单调区间和最小值；（Ⅱ）讨论()gx与1()gx的大小关系；（Ⅲ）是否存在00x，使得01()()gxgxx对任意0x成立？若存在，求出0x的取值范围；若不存在，请说明理由．18.（陕西文19）（本小题满分12分）如图，从点1(0,0)P做x轴的垂线交曲线xye于点1(0,1),Q曲线在1Q点处的切线与x轴交于点2P，再从2P做x轴的垂线交曲线于点2Q，依次重复上述过程得到一系列点：1122,;,......;,,nnPQPQPQ记kP点的坐标为(,0)(1,2,...,)kxkn．（Ⅰ）试求1x与1kx的关系(2)kn（Ⅱ）求112233...nnPQPQPQPQ19.（陕西文21）（本小题满分14分）设()ln.()()()fxxgxfxfx。（Ⅰ）求()gx的单调区间和最小值；136（Ⅱ）讨论()gx与1()gx的大小关系；（Ⅲ）求a的取值范围，使得()()gagx＜1a对任意x＞0成立。20.（上海文21）（14分）已知函数()23xxfxab，其中常数,ab满足0ab。⑴若0ab，判断函数()fx的单调性；⑵若0ab，求(1)()fxfx时x的取值范围。21.（四川理22）(本小题共l4分)已知函数21(),()32fxxhxx(I)设函数()()()Fxfxhx，求()Fx的单调区间与极值；(Ⅱ)设aR，解关于x的方程42233log[(1)]log()log(4)24fxhaxx(Ⅲ)试比较1001(100)(100)()kfhhk与16的大小.22.（四川文22）（本小题共l4分）已知函数21()32fxx，()hxx．（Ⅰ）设函数F(x)＝18f(x)－x2[h(x)]2，求F(x)的单调区间与极值；（Ⅱ）设aR，解关于x的方程33lg[(1)]2lg()2lg(4)24fxhaxhx；（Ⅲ）设*nN，证明：1()()[(1)(2)()]6fnhnhhhn．23.（天津理19）（本小题满分14分）已知0a，函数2()ln,0.fxxaxx（()fx的图像连续不断）（Ⅰ）求()fx的单调区间；（Ⅱ）当18a时，证明：存在0(2,)x，使03()()2fxf；（Ⅲ）若存在均属于区间1,3的,，且1，使()()ff，证明ln3ln2ln253a．24.（天津文19）（本小题满分14分）已知函数32()4361,fxxtxtxtxR，其中tR．（Ⅰ）当1t时，求曲线()yfx在点(0,(0))f处的切线方程；（Ⅱ）当0t时，求()fx的单调区间；（Ⅲ）证明：对任意的(0,),()tfx在区间(0,1)内均存在零点．13725.（新课理21）（本小题满分12分）已知函数ln()1axbfxxx，曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程为230xy．（I）求a，b的值；（II）如果当x0，且1x时，ln()1xkfxxx，求k的取值范围．26.（新课文21）（本小题满分12分）已知函数ln()1axbfxxx，曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程为230xy．（I）求a，b的值；（II）证明：当x0，且1x时，ln()1xfxx．27.（浙江理22）（本题满分14分）设函数Raxaxxf,ln)()(2（I）若)(xfyex为的极值点，求实数a；（II）求实数a的取值范围，使得对任意的]3,0(ex，恒有)4(2exf成立，注：e为自然对数的底数。28.（浙江文21）（本小题满分15分）设函数axxxaxf22ln)(，0a（Ⅰ）求)(xf的单调区间；（Ⅱ）求所有实数a，使2)(1exfe对],1[ex恒成立．注：e为自然对数的底数．29.（重庆理18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分．）设()fxxaxbx的导数'()fx满足'(),'()fafb，其中常数,abR．（Ⅰ）求曲线()yfx在点(,())f处的切线方程；（Ⅱ）设()'()xgxfxe，求函数()gx的极值．30.（重庆文19）（本小题满分12分，（Ⅰ）小题5分，（Ⅱ）小题7分）设3.2()21fxxaxbx的导数为()fx，若函数()yfx的图像关于直线12x对称，且(1)0f．138（Ⅰ）求实数,ab的值（Ⅱ）求函数()fx的极值31.（江苏17）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿