第十章 波动 习题解答 (1)

专业班级学号姓名§10.1～10.210.1已知一平面简谐波在X轴上沿负方向传播，波速为8m·s-1。波源位于坐标原点O处，且已知波源的振动方程为y0=2cos4πt(SI)。那么，在坐标xp=-2m处P点的振动方程为：【A】（A）yp=2cos(4πt-π)m；（B）yp=2cos(4πt+π/2)m；（C）yp=2cos(4πt-π/2)m；（D）yp=2cos（4πt）m。分析：波函数为])(cos[ϕω++=uxtAy（正号），根据题意;/842smumA===；；πω0=ϕ。所以平面简谐波的波动方程表示为：mxty)]8(4cos[2+=π代入坐标值：xp=-2m，得：yp=2cos(4πt-π)m（注意单位）10.2有一平面简谐波沿X轴正向传播,周期T=2s，虚线表示t=0s时的波形图（如图所示），则此波的波动方程是：【D】（A）y=0.2cosπ(t-x/2+3/2)m；（B）y=0.2cosπ(t-x/4)m；（C）y=0.2cosπ(t-x/4+1/2)m；（D）y=0.2cosπ(t-x/4+3/2)m。y(m)02X(m)-0.2分析：波函数为])(2cos[ϕλπ+−=xTtAy（负号），根据题意。；；msTmA822.0===λ关键是确定初相位，由旋转矢量法可得232-ππϕ或=。所以平面简谐波的波动方程表示为：]2)82(2cos[2.0]23)82(2cos[2.0ππππ−−=′+−=xtyxty或者1专业班级学号姓名10.3频率为8HZ沿x轴正向传播的机械波，波线上有a,b两点，若它们开始振动的时间差为0.25s，则它们的相位差为4π。分析：考查公式λϕ1221π2x∆=∆,tuxxx∆=−=∆2112。其中x2相位比x1超前。10.4设有一平面简谐波y=0.05cos(50t-2x)(SI)，（1）求振幅、波长、周期和波速；（2）求各质点最大振动速度和最大振动加速度。解：(1)比较波函数])(2cos[ϕλπ+−=xTtAy得：A=0.05(m),T=2π/50=π/25(s),λ=2π/2=π(m),u=λ/T=25(m/s),(2)ω=2π/T=50Vmax=Aω=0.05*50=2.5(m/s);amax=Aω2=0.05*50*50=125(m/s2)注意单位])(sin[ϕωω+−−=∂∂=uxtAtyv；])(cos[222ϕωω+−−=∂∂=uxtAtya10.5一平面简谐波沿OX轴正方向传播，已知振幅A=0.1m，周期T=2s，波长λ=2.0m，设t=0时，坐标原点处的质点经平衡位置向Oy轴正方向运动，求：（书中P.53例1）（1）波动方程；（2）求x=0.5m处质点的振动方程；画出该质点的振动图；（3）求t=1.0s时各质点的位移分布，画出该时刻的波形图。解：(1)波函数])(cos[ϕω+−=uxtAy，其中2/,0v0y000πϕ−===所以，时原点：t,则(2)x=0.5m代入(3)t=1s代入]2cos[1.0y0ππ−=t]2x-cos[1.0ππ−=）（波函数ty]cos[1.0]20.5-cos[1.05.0ππππ−=−=tty）（xxysπππππsin1.0]2cos[1.0]2x-1cos[1.01=+−=−=）（smTuTsT/1/,/2,2=====λππω根据题意：s25.0=∆t；HzuT81===λν则：πλϕ425.08π2π221=⋅⋅=∆=∆sHztu图形见书2专业班级学号姓名10.6图示为一平面简谐波在t=0时的波形图，设此简谐波的频率为250HZ，且此时图中质点P的运动方向向上。求该波的波动方程。3/,0v2/y000πϕ===所以，时原点：At，则波函数为：]35000x500cos[1.0ππ++=）（ty（m）拓展：（1）判断质点的振动方向A、振动x-t曲线B、波动y-x曲线（2）波源振动速度等于波速吗？振幅和周期呢？波动方程中波源的位置一定位于原点O？波源的初相？波源振动速度不等于波速；波源的振幅和周期等于波动的振幅和周期波函数为：]35000x500cos[1.0ππ++=）（ty（m）波源的位置不一定位于原点O；波源的初相为3x10ππ+，（波源坐标为x）§10.3～10.710.7相干波必须满足的条件是：（1）频率相同，（2）振动方向相同（平行），（3）相位相同或相位差恒定。y/mx/mx/mt/s解:由P点振动方向可知波向左传播设：]xcos[ϕω++=）（波函数utAy正号由波形图知λ=20m，A=0.1mππνω5002==，smu/5000==λνy/mx/mO0.100.05-0.10P10.0mOOu3专业班级学号姓名10.8两列完全相同的平面简谐波相向而行形成驻波。以下几种说法中为驻波所特有的特征是：【C】（A）有些质元总是静止不动；（B）迭加后各质点振动相位依次落后；（C）波节两侧的质元振动位相相反；（D）质元的振动能与势能之和不守恒。分析：（A）干涉相消的特征，不是驻波所特有（B）行波的特征，不是驻波特征（C）波节两侧的质元振动位相相反，相邻两波节间各质点振动位相同步，驻波特有（D）能量不守恒，不是驻波所特有拓展：右图中，如果为某时刻驻波波形，则πϕ=∆ab如果为某时刻行波波形，则baabx∆=∆λπϕ2在驻波的同一个半波中，各质点振动振幅不全相等，但频率相等。弹簧振子能量：动能+势能=221kA；行波能量：动能=势能；驻波能量：能量不传播10.9一球面波在各向同性均匀媒质中传播，已知距波源10m处的平均能流密度是1/(4π)(JM-2S-1)(即波的强度)，则波源的功率为100J/s。分析：波强：单位时间内垂直通过单位面积的平均能量；功率：单位时间内输出的总能量在各向同性均匀媒质中，功率=波强*面积根据能量无积累原理，波源的功率=球面波在距波源10m处的球面上的总功率sJrrSP/1004414122==⋅⋅=⋅=πππ球10.10下面说法正确的是：【B】(A)在两个相干波源连线中垂线上各点必为干涉极大；(B)在两列波相遇的区域中某质点若恒为静止，则这两列波必相干；(C)在同一均匀媒质中两列相干波干涉结果由波程差来决定；(D)两相干波相遇区各质点，振幅只能是A1-A2或A1+A2。r4专业班级学号姓名分析：(A)干涉极大条件：相位差为002001212也不为；若介质不同，波程差或不一定为，但πϕϕkrr-=−(B)逆否命题：若两列波不相干，则在两列波相遇的区域中某质点不恒为静止(C)(D)2121AAAAA+≤≤−拓展：B选项改为“某时刻，在两列波相遇的区域中某质点若为静止，则这两列波必相干”答案：错误10.11如图所示，S1、S2为两平面简谐波相干波源，S2的相位比S1的相位超前π/2，波长λ=0.08m，r1=0.1m，r2=0.14m，S1在P点引起振动的振幅为0.006m，S2在P点引起振动的振幅为0.008m，则P点的合振幅为多少？分析：204.008.022)(21212πππλπϕϕϕ−=−=−−−=∆rr；mAAAAA01.0cos2212221=∆++=ϕ10.12S1和S2是波长均为λ的两个相干波的波源，相距3λ/4，S1的相位比S2超前π/2。若两波单独传播时，在过S1和S2的直线上各点的强度相同都是I0，求：在S1、S2连线上S1外侧和S2外侧各点，合成波的强度。分析：)(22)(2121212rrrr−−−=−−−=∆λππλπϕϕϕϕϕ∆+=∆++=cos22cos22020212221AAAAAAAP1在S1外侧，r2-r1=3λ/4,0042,2IIAA==−=∆，πϕ；P2在S2外侧，r2-r1=-3λ/4,0,0,===∆IAπϕ1S2SP1r2rϕ∆++=cos2212221AAAAAλϕϕϕ1212π2rr−−−=∆0.01S13λ/4S2P1P2200AI∝ϕ∆++=cos2212221AAAAAλϕϕϕ1212π2rr−−−=∆5专业班级学号姓名10.13两相干波源位于同一介质中的A、B两点，如图所示，其振幅相等、频率皆为100Hz，B比A的相位超前π,若A、B相距30.0m，波速为400m·s-1,试求AB连线上因干涉而静止的各点的位置。AB30mx分析：mu4/==νλ，)(2)(200ABABABrrrr−−=−−−=∆λππλπϕϕϕ，干涉而静止的条件：,2,1,0π)12(=+±=∆kkϕP点为AB连线上任一点，rA为P点到A点距离，rB为P点到B点距离，当P点位于B右侧时πϕ16,30=∆−=−mrrAB，干涉增强，无干涉静止点；当P点位于A左侧时πϕ14,30−=∆=−mrrAB，干涉增强，无干涉静止点；当P点位于AB之间时，令A点为坐标原点O(x=0)，则rA=x(m)，rB=30-x(m)ππϕ)12()14-(230+±==∆⇒−=−kxxrrAB时干涉减弱，其中300≤≤xP点坐标满足AB（0-30）之间奇数点时，即29,27...7,5,3,1=x时为干涉静止点。PO6