数学建模数学建模之雨中行走问题模型

数学建模雨中行走模型系别：班级：姓名：学号：2正文：数学建模之雨中行走问题模型摘要：考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略。试建立数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度。若雨是迎着你前进的方向向你落下，这时的策略很简单，应以最大的速度向前跑；若雨是从你的背后落下，你应控制你在雨中的行走速度，让它刚好等于落雨速度的水平分量。①当sinrv时,淋在背上的雨量为vvhrhpwDsin,雨水总量vvrhdrpwDCsincos.②当sinrv时,此时02C.雨水总量cosvpwDdrC,如030,升24.0C这表明人体仅仅被头顶部位的雨水淋湿.实际上这意味着人体刚好跟着雨滴向前走,身体前后将不被淋雨.③当sinrv时,即人体行走的快于雨滴的水平运动速度sinr.此时将不断地赶上雨滴.雨水将淋胸前（身后没有）,胸前淋雨量vrvpwDhCsin2关键词：淋雨量，降雨的大小，降雨的方向（风），路程的远近，行走的速度1.问题的重述人们外出行走,途中遇雨,未带雨伞势必淋雨,自然就会想到,走多快才会少淋雨呢？一个简单的情形是只考虑人在雨中沿直线从一处向另一处进行时,雨的速度（大小和方向）已知,问行人走的速度多大才能使淋雨量最少？2.问题的分析.由于没带伞而淋雨的情况时时都有，这时候大多人都选择跑，一个似乎很简单的事情是你应该在雨中尽可能地快走，以减少雨淋的时间。但如果考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略。，一、我们先不考虑雨的方向，设定雨淋遍全身，以最大速度跑的话，估计总的淋雨量；二、再考虑雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为，如图1，建立总淋雨量与速度v及参数a,b,c,d,u,w,之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少，计算=0，=090时的总淋雨量；3三、再是雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为，如图2.，建立总淋雨量与速度v及参数a,b,c,d,u,w,之间的关系，问速度多大，总淋雨量最少；四、以总淋雨量为纵轴，对（三）作图，并解释结果的实际意义；五、若雨线方向不在同一平面内，模型会有什么变化；按照这五个步骤，我们可以进行研究了。3.模型的假设与符号说明2.1模型的假设1.设雨滴下落的速度为u（米/秒）,降水强度（单位时间平面上的降水厚度）为w（厘米/时）,且u,w为常量.2.设雨中行走的速度为v（米/秒）,（固定不变）.雨中行走的距离为d（米）.3.设降雨的角度（雨滴下落的反方向与人前进的方向之间的夹角）为4.视人体为一个长方体,其身高为a（米）,身宽为b（米）,厚度为c（米）3.2符号说明a:代表人颈部以下的高度b:人身体的宽度c:人身体的厚度d:起跑点到终点的距离4mv:跑步的最大速度u:雨的速度w:降雨量v:跑步速度:雨线方向与人体夹角S:人的全身面积t=d/mv:雨中行走的时间4.模型的建立与求解（1）不考虑雨的方向首先讨论最简单的情形，即不考虑降雨角度的影响。雨将淋遍全身，淋雨的面积s=2ab+2ac+bc=2.22m，淋雨的时间t=d/mv=200s,降雨量w=2cm/h=410/18(m/s),所以总的淋雨量Q=stw2.4L。（2）雨从迎面吹来雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的角度为。如图1。建立总淋雨量与速度v及参数a，b，c，d，u，w，之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少。计算=0，=30时的总降雨量。雨滴落下的速度为u=4m/s，降雨量w=2cm/h。因为考虑了降雨的方向，淋湿的部位只有顶部和前部。分两部分计算淋雨量.顶部的淋雨量1Q=bcdwcos/v；雨速水平分量usin，风向与v相反。合速度usin+v，迎面单位时间、单位面积的淋雨量w（usin+v）/u，迎面淋雨量2Q=abdw（usin+v）/uv，所以总淋雨量12cos(sin)bdwcuauvQQQuvv=mv时Q最小。0时，Q=1.2L；=030，Q1.6L。5(3)考虑降雨方向的模型（雨从背面吹来）雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为a，如图2。建立总淋雨量与速度v及参数a，b，c，d，u，w，之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少。计算=30的总淋雨量。雨滴落下的速度为u=4m/s，降雨量w=2cm/h，因为考虑了降雨的方向，淋湿的部位只有顶部和背部。分两部分计算淋雨量。顶部的淋雨量1Q=bcdwcos/v；雨速水平分量usin，风向与v相反。合速度sinuav，迎面单位时间、单位面积的淋雨量w（usin-v）/u，迎面淋雨量2Q=abdw（usin-v）/uv，所以总淋雨量：cos(sin)(cossin),sincos(sin)(cossin),sinbdwcuauavbdwuaaaavvuauvuvQbdwcuavuabdwuaaaavvuauvuv若cossincaaa即tanac/a，则v=usina时Q最小，否则，v=mv时Q最小，当030a，tana0.2/1.5，v=2m/s，Q0.24L最小，可与v=mv，Q0.93L相比。6(4)以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对三作图（考虑a的影响），并解释结果的实际意义雨从背面吹来，只要不太小，满足tanac/a（a=1.5m、c=0.2m时，即可），v=usina，Q最小，此时人体背面不淋雨，只有顶部淋雨。(5)若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化再用一个角度表示雨的方向，应计算侧面的淋雨量，问题本质上没有变化。5.模型的评价（1）在不考虑风向情况下：此时，你的前后左右和上方都将淋雨。人在行走中的淋雨量最大的大约为2.44升。结论表明:淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时淋雨量达到最小（2）在考虑风向及雨量的情况下:当v=usinθ时，Q取到最小.表明：当行走速度等于雨滴下落的水平速度时，淋雨量最小，仅仅被头顶上的雨水淋湿了。当v﹥usinθ，你不断地追赶雨滴，雨水将淋湿你的胸膛。6.模型的结果分析综合上面的分析，我们得到的结论是：1．如果雨是迎着你前进的方向落下，这时的最优行走策略是以尽可能大的速度向前跑。2．如果雨是从你的背后落下，这时你应该控制在雨中行的。走的速度，使得它恰好等于雨滴下落速度的水平分量。根据一般常识，我们所得到的结果是合理的且与我们的日常生活经验是一致的。运用简单的数学工具，我们对日常生活中司空见惯的问题给予了定量的分析。但同时必须指出的是，这里建立的简单数学模型与雨中行走的实际过程尚有距离，因为在建立数学模型的过程中我们忽略了一些相对次要的因素。关于模型的检验，请大家观察、体会并验证。雨中行走问题的建模过程又一次使我们看到模型假设的重要性，模型的阶段适应性。参考文献[1]姜启源谢金星叶俊，数学模型（第三版），北京：高等教育出版社，2008.