3. 曲面论

3、曲面论3.1曲面的方程式3.2曲面的切平面和法线3.3曲面的参数变换3.4直纹面3.5曲面第一基本齐式3.6曲面的活动标形3.7曲面第二基本齐式3.8曲面的法曲率3.9主方向与主曲率3.10曲面上点的分类3.11短程曲率与短程挠率3.12法曲率与短程挠率之间的关系3.1曲面的方程式3.1.1曲面的直角坐标方程式3.1.2曲线坐标3.1.3曲面的参数方程式3.1.4曲面的分类3.1.5同一曲面由不同曲线坐标表达3.1.1曲面的直角坐标方程式一个曲面可以用空间点的直角坐标x，y，z的方程式表示Σ：F（x，y，z）＝0或z＝f（x，y）例如：1.球面Σ1：x2＋y2＋z2＝a22222221xyzabc2椭球面：222222.0xyzabc3锥面：22225.2xyzab5双曲抛物面：-22224.2xyzab4椭圆抛物面：2222226.1xyzabc6单叶双曲面：2222227.1xyzabc7双叶双曲面：3.1.2曲线坐标在可行域D内，有一单参数曲线族，过曲面Σ上一点M有一条，且只有一条该族中的曲线通过M，称此曲线族在D内为正规的。若曲面Σ上已知两曲线族在D内均为正规的，而且在D内不同族的两条曲线不重合、不相切、且仅交于一点，则称二曲线族在D内组成一个正规网络。例平面内：直角坐标（x，y），仿射坐标（u，v），极坐标（ρ，θ）设曲面Σ上有一正规网络，即存在二正规的曲线族，两曲线的参数分别由u、v决定；决定网络中交于曲面Σ上一已知点M的二曲线参数u、v称为曲线坐标，而组成网络的曲线本身称为坐标曲线。通常：v＝c（常数）的曲线，称为u坐标曲线；u＝c（常数）的曲线，称为v坐标曲线。3.1.3曲面的参数方程式在曲面Σ上引入曲线坐标，称为参数化曲面，对于任一u、v值在曲面Σ上有一对应点M：Σ：r＝r（u，v）（u，v）∈D称为曲面的参数矢量方程x＝x（u，v），y＝y（u，v），z＝z（u，v），称为曲面的参数方程例：距Oij平面a的平面矢量方程为：r＝u·e（θ）＋a·k（u，θ）θ＝θ0（常数），u坐标曲线为直线LL：r＝u·e（θ0）＋a·k（u）u＝u0（常数），θ坐标曲线为圆SS：r＝u0·e（θ）＋a·k（θ）3.1.4曲面的分类曲面成型原理分类1.柱面：圆柱面、椭圆柱面、渐开线柱面、抛物柱面、摆线柱面等2.直纹面（可展直纹面和斜直纹面）：圆锥面、单叶双曲面等3.螺旋面：正螺旋面、圆锥螺旋面、圆柱螺旋面等4.回转曲面：球面等5.空间曲线切线曲面：切线曲面、主法线曲面、副法线曲面6.轨迹曲面：螺线管曲面、圆环面等7.组合曲面：线性组合曲面、多项式组合曲面、非线性组合曲面8.空间机构连杆曲面9.扫描（放样）曲面1.柱面——直线L沿平面曲线S运动①.圆柱面：半径为α的圆柱面Σ，矢量方程：Σ：r＝a·e（θ）＋u·k（u，θ）θ＝θ0，u坐标曲线为直线L：r＝a·e（θ0）＋u·k（u）u＝u0，θ坐标曲线为圆S：r＝a·e（θ）＋u0·k（θ）其中：平面曲线Γ：r＝a·e（θ）（θ）②.椭圆柱面：长短半轴为α、b的椭圆柱面Σ，矢量方程为：Σ：r＝a·cosθ·i＋b·sinθ·j＋u·k（u，θ）θ＝θ0，u坐标曲线为直线L：r＝a·cosθ0·i＋b·sinθ0·j＋u·k（u）u＝u0，θ坐标曲线为椭圆S：r＝a·cosθ·i＋b·sinθ·j＋u0·k（θ）其中：平面曲线Γ：r＝a·cosθ·i＋b·sinθ·j（θ）③.渐开线柱面：基圆半径为α的渐开线柱面Σ，矢量方程为：Σ：r＝a·e（θ）－aθ·g（θ）＋u·k（u，θ）θ＝θ0，u坐标曲线为直线L：r＝a·e（θ0）－aθ·g（θ0）＋u·k（u）u＝u0，θ坐标曲线为渐开线S：r＝a·e（θ）－aθ·g（θ）＋u0·k（θ）其中：平面曲线Γ：r＝a·e（θ）－aθ·g（θ）（θ）渐开线柱面Σ为直齿圆柱齿轮齿面④.抛物柱面：抛物线：y2＝2ax令y＝u，x＝u2/2a抛物线Γ：r＝u2/2a·i＋u·j（u）抛物柱面Σ：r＝u2/2a·i＋u·j＋v·k（u，v）⑤.摆线柱面：摆线Γ：r＝a（θ－sinθ）i＋a（1－cosθ）j（θ）摆线柱面Σ：r＝a（θ－sinθ）i＋a（1－cosθ）j＋u·k（u，θ）⑥.一般柱面：平面曲线Γ：r＝ρ（θ）·e（θ）（θ）柱面Σ：r＝ρ（θ）·e（θ）＋u·k（θ，u）⑦.斜柱面：半径为α的斜圆柱面Σ，矢量方程：Σ：r＝a·e（θ）＋u·m（β,α）（θ，u）θ＝θ0，u坐标曲线为直线L：r＝a·e（θ0）＋u·m（β,α）（u）u＝u0，θ坐标曲线为圆S：r＝a·e（θ）＋u0·m（β,α）（θ）⑧.柱面通用方程：平面曲线Γ：r＝ρ（θ）·e（θ）（θ）柱面Σ：r＝ρ（θ）·e（θ）＋u·m（β,α）（θ，u）2.直纹面——一直线运动所形成的曲面①.平面：直线L与k垂直相交、并绕k旋转形成平面Σ，矢量方程为：Σ：r＝u·e（θ）＋a·k（u，θ）θ＝θ0，u坐标曲线为直线L：r＝u·e（θ0）＋a·k（u）u＝u0，θ坐标曲线为圆S：r＝u0·e（θ）＋a·k（θ）②.圆锥面：半锥角为α的圆锥面Σ，矢量方程为：Σ：r＝u·m（θ,α）（u，θ）θ＝θ0，u坐标曲线为直线L：r＝u·m（θ0,α）（u）u＝u0，θ坐标曲线为圆S：r＝u0·m（θ,α）（θ）③.单叶双曲面：母线与k交错、夹角α、距离a，单叶双曲面的矢量方程为：Σ：r＝a·e（θ）＋u·m（θ＋90°,α）（u，θ）θ＝θ0，u坐标曲线为直线L：r＝a·e（θ0）＋u·m（θ0＋90°,α）（u）u＝u0，θ坐标曲线为圆S：r＝a·e（θ）＋u0·m（θ＋90°,α）（θ）④.麦比乌斯带曲面：Σ：r＝(5+u·cosθ/2)cosθ·i+(5+u·cosθ/2)sinθ·j+u·cosθ/2·k(u，θ)θ＝θ0，u坐标曲线为直线L；u＝u0，θ坐标曲线为麦比乌斯带闭曲线。麦比乌斯带曲面Σ为单側封闭曲面麦比乌斯带曲面Σ和麦比乌斯带闭曲线Γ3.螺旋面——平面曲线（直线）沿螺旋线运动①.正螺旋面：螺旋参数为p的正螺面Σ，矢量方程为：Σ：r＝u·e（θ）＋pθ·k（u，θ）θ＝θ0，u坐标曲线为直线L：r＝u·e（θ0）＋pθ0·k（u）u＝u0，θ坐标曲线为螺旋线S：r＝u0·e（θ）＋pθ·k（θ）②.阿基米德螺旋面母线与k交角为α，螺旋参数为p的螺旋面Σ，矢量方程为：r＝u·m（θ,α）＋pθ·k（u，θ）θ＝θ0，u坐标曲线为直线L：r＝u·m（θ0,α）＋pθ0·k（u）u＝u0，θ坐标曲线为螺旋线S：r＝u0·m（θ,α）＋pθ·k（θ）③.斜螺旋面——法向直廓螺旋面母线与k交错、夹角α、距离a、螺旋参数为p，螺旋面Σ的矢量方程为：r＝a·e（θ）＋pθ·k＋u·m（θ＋90°,α）（u，θ）θ＝θ0，u坐标曲线为直线L：r＝a·e（θ0）＋pθ0·k＋u·m（θ0＋90°,α）（u）u＝u0，θ坐标曲线为螺旋线S：r＝a·e（θ）＋pθ·k＋u0·m（θ＋90°,α）（θ）④.直螺旋面：r＝u·e(θ)+a·g(θ)+pθ·k(u,θ)u坐标曲线为直线L，θ坐标曲线为圆柱螺旋线S。a＝0时为正螺旋面⑤.渐开螺旋面——斜齿圆柱齿轮齿面渐开线Γ：r＝a·e（θ）－aθ·g（θ）（θ）渐开螺旋面Σ：r＝a·e（θ＋φ）－aθ·g（θ＋φ）＋pφ·k（θ，φ）⑥.圆柱螺旋面平面曲线Γ：r＝ρ(θ)·e(θ)（θ）圆柱螺旋面Σ：r＝ρ(θ)·e(θ＋φ)＋pφ·k（θ，φ）⑦.圆锥螺旋面平面曲线Γ：r＝ρ(θ)·e(θ)（θ）圆锥螺旋面Σ：r＝ρ(θ)·e(θ＋φ)＋pφ/cosγ·m(φ,γ)(θ,φ)直线的圆锥螺旋面Σ：r＝u·e(θ)＋a·g(θ)＋pθ/cosγ·m(θ,γ)(u,θ)⑧.渐开线的圆锥螺旋面渐开线Γ：r＝a·e(θ)-aθ·g(θ)（θ）渐开线的圆锥螺旋面Σ：r＝a·e(θ+φ)-aθ·g(θ+φ)+pφ/cosγ·m(φ,γ)(θ,φ)4.回转曲面——平面曲线Γ沿k旋转形成①.球面：在Oik平面内，半径为a的圆：r＝a·cosφ·i+a·sinφ·k（φ）绕k旋转形成球面Σ，矢量方程为：Σ：r＝a·cosφ·e（θ）+a·sinφ·k（θ，φ）φ＝φ0，θ坐标曲线为圆S1：r＝a·cosφ0·e（θ）+a·sinφ0·k（θ）θ＝θ0，φ坐标曲线为圆S2：r＝a·cosφ·e（θ0）+a·sinφ·k（φ）当γ＝90°－φ时，Σ：r＝a·m（θ，γ）（θ，γ）②.一般回转曲面：在Oik平面内，平面曲线Γ绕k旋转形成回转曲面：Σ：r＝ρ（φ）·cosφ·e（θ）+ρ（φ）·sinφ·k（θ，φ）其中平面曲线Γ：r＝ρ（φ）·cosφ·i+ρ（φ）·sinφ·k（φ）φ＝φ0，θ坐标曲线为圆S1S1：r＝ρ（φ0）·cosφ·e（θ）+ρ（φ0）·sinφ0·k（θ）θ＝θ0，φ坐标曲线为ΓS2S2：r＝ρ（φ）·cosφ·e（θ0）+ρ（φ）·sinφ·k（φ）③.任意回转曲面（另一表达方式）：在Oik平面内，平面曲线Γ：r＝f（u）·i＋h（u）·k（u）绕k旋转形成回转曲面：Σ：r＝f（u）·e（θ）＋h（u）·k（u，θ）u＝u0，θ坐标曲线为圆S1S1：r＝f（u0）·e（θ）＋h（u0）·k（θ）θ＝θ0，u坐标曲线为ΓS2S2：r＝f（u）·e（θ0）＋h（u）·k（u）④.旋转椭球面椭圆Γ：r＝a·cosθ·k+b·sinθ·i(θ)椭圆绕a轴旋转形成旋转椭球面Σ：r＝a·cosθ·k+b·sinθe(φ)(θ,φ)θ坐标曲线为椭圆Γ，φ坐标曲线为圆S。⑤.旋转抛物面抛物线Γ：r＝au2·k+u·i(u)抛物线绕对称轴旋转形成旋转抛物面：r＝au2·k+u·e(θ)(u,θ)u坐标曲线为抛物线Γ，θ坐标曲线为圆S。⑥.旋转双曲面双曲线Γ：r＝a·secθ·i+b·tanθ·k(θ)双曲线绕k旋转形成旋转双曲面：r＝a·secθe(φ)+b·tanθ·k(θ,φ)θ坐标曲线为双曲线Γ，φ坐标曲线为圆S。⑦.旋转曲面旋转曲面Σ：z=sin((x2+y2)1/2)/(x2+y2)1/25.空间曲线切线曲面空间曲线切线曲面包括：切线曲面、主法线曲面、副法线曲面空间曲线Γ：ρ＝ρ（u）（u）Γ的单位切矢量、主法线矢量、副法线矢量分别为：Γ的切线曲面Σ：r＝ρ（u）＋v·α（u，v）Γ的主法线曲面Σ：r＝ρ（u）＋v·β（u，v）Γ的副法线曲面Σ：r＝ρ（u）＋v·γ（u，v）()()()()()()uuuuuuρρραβγαγρρρ圆柱螺旋线Γ：r＝a·e（θ）＋pθ·k（θ）Γ的切线、主法线、副法线单位矢量分别为：α、β、γ圆柱螺旋线切线曲面Σ：r＝a·e（θ）＋pθ·k＋u·α（θ，u）圆柱螺旋线主法线曲面Σ：r＝a·e（θ）＋pθ·k＋u·β（θ，u）圆柱螺旋线副法线曲面Σ：r＝a·e（θ）＋pθ·k＋u·γ（θ，u）圆柱螺旋线切线曲面、主法线曲面、副法线曲面方程圆柱螺旋线Γ：r＝a·e（θ）＋pθ·k（θ）r′＝a·g（θ）＋p·kr″＝-a·e（θ）Γ的切线矢量：A＝r′＝a·g（θ）＋p·kΓ的副法线矢量：C＝r′×r″＝a2·k－ap·g（θ）Γ的主法线矢量：B＝C×A＝-a（a2＋p2）·e（θ）圆柱螺旋线切线曲面Σ：r＝a·e（θ）＋pθ·k＋u·[a·g（θ）＋p·k]圆柱螺旋线主法线曲面Σ：r＝a·e（θ）＋pθ·k＋v·[-a（a2＋p2）·e（θ）]圆柱螺旋线副法线曲面Σ：r＝a·e（θ）＋pθ·k＋w·[a2·k－ap·g（θ）]圆柱螺旋线切线曲面、主法线曲面、副法线曲面均为螺旋面。①圆柱螺旋线切线