A-decomposition-formula-for-option-prices中文版

Heston随机波动率模型中期权定价分解公式和期权定价极值的应用摘要：通过古典伊藤演算的方式，我们将期权定价公式总结为Black-Scholes公式，波幅参数等于均方根的未来平均波动，加上由于相关参数和参数相对波动性的波动。这种分解使可以推导出一阶和二阶近似公式为期权价格和隐含波动的heston随机波动率模型的框架，以及研究它们短期内到期的准确性。1.简介heston随机波动率模型是经典的B-S公式的发展，B-S公式可以用于在真实市场数据中观测skew和smile现象。这些模型的研究已推出新的重要的数学和实践上的挑战，特别是在与相关期权定价的问题和相应的参数进行校准。事实上，大多数的随机波动模型都没有涉及到封闭式的期权定价公式，有时可能会推导出封闭形式定价的公式，但是却没有一般参数的快速校准。最近学术界出现了一种近似于封闭式期权定价公式。为此，一些学者提出了用扰动分析相应的PDE相对于一个特定的模型参数，如分析波动，均值回归或相关性。在所有这些技术，结果的有效性的区域被限制为只能是短期或长期。期权定价所获得的近似值可以起到快速校准和更好地了解模型参数的作用。最近，Benhamou等人提出了另一种方法。其中，作者着重强调在初始条件下，到期日股价的规律。他们扩大了价格波动的波幅，使用Malliavin积分方法进行修正。这种方法允许作者处理短和长期限，以及与时间有关的系数。ALOS中还提出，由Malliavin演算作者延伸出了古典Hull和White公式分解期权价格，在没有相关性的情况下，可以通过修正辅以相关性，将期权价格分解为同样形式的派生价格。作为应用，笔者研究出一个方法来构造一阶期权定价的近似公式，只需要一些规律性的条件（在Malliavin演算的意义上）的波动的过程，而且可以应用于一个很普通的波动模型，其中包括长期记忆波动的情况下。即使在ALOS中的必需条件适用于大多数的随机波动率模型，在Heston模型中，这些条件也是不能被接受的。在Alòs和Ewald，作者尝试将由Malliavin可微性波动的结果ALOS应用到Heston情况下，但不幸的是，只有当维底层贝塞尔过程中δ是大于6时，近似精度才能被证明。本文致力于获得期权定价的一个新的分解公式，当条件不满足是，也要利用Malliavin方法推导出一个类似ALOS的有效的期权定价公式。而不是扩大期权价格的范围的Hull和White预测随机微积分的方法（Malliavin微积分），我们使用经典Itô公式展开，围绕经典价格Black-Scholes公式波幅参数等于根均方未来平均波幅。这将使我们可以用最后一期、相关期和波动期的总合来描述期权定价。这种方法只需要一些一般性的可积性条件得到满足Heston模型，然后我们可以将它扩展到ALOS和Ewald中，在δ2，δ3时并证明，得到一个新的二阶近似公式。即使论文是在Heston模型的条件下，结果也可以扩展到其他波动模型具有良好的可积性条件中。本文的结构如下。在Section2，我们介绍的主要符号和假设，并证明我们对期权价格的分解公式。在Section3，我们利用Section2的结果，获得第一级和第二级期权定价逼近公式。一些数值例子，在Section4，主要结论总结在Section5。2.期权定价分解公式我们定义Heston模型，股票价格在时间区间[0，T]下一个风险中性概率为P*，其中，其中r是瞬时利率（应该是恒定的），W*和B*是在概率空间（Ω，F，P）定义的独立的标准布朗运动，ρ∈[-1,1]和κ，θ，ν是常数满足条件2κθν2。在下面，我们用FW*，FB*用W所产生的过滤效果*和B*分别。此外，我们定义F：=FW*∨FB*。这将是方便在以下部分，以使变量Xt的=日志（ST）的变化，T∈[0，T]。这是众所周知即由下式给出的形式H（XT）在时间t的一个未定的价格。（此部分有点乱，附原文。）其中E*表示相对于P*的期望。我们用下面的符号：以下都是公式推导过程，直接截图Remark2.3以上证明只使用一些可积性和规律性的条件波动的过程，并因此可以被扩展到其他波动模型，即使非马尔可夫或非持续波动。Remark2.4式（2.2）为我们提供了一个工具来描述对期权价格的影响的相关性和波动性的波动。请注意，在第二期（2.2）右侧的不相关的情况下，ρ=0变为零。3.本节介绍了在Heston中，一阶和二阶近似为期权价格，及其短期内到期的准确性。下面的结果是类似于BossyandDiop的引理A.1。Remark3.4请注意，当δ=4时，式（3.1）给出近似的相同顺序如（3.2）。另一方面，近似的精度在（3.2）给出变得更糟，因为δ趋于2。Remark3.5公式（3.1）和（3.2）告诉我们，对于固定的δ，这个精度一阶近似增大时，波动性或时间的波动成熟度降低。分解式（2.2）表明，我们可以得到一个二阶近似公式近似的最后期限。为此，我们需要以下引理。Remark3.8如定理3.3，该二阶近似的精度增大时，波动性或到期时间的波动减小。另一方面，我们可以观察到，当ρ=±1时，定理3.7的准确度为O（ν2）与定理3.3同阶，而当ρ=0时，相关性下降，这精度变得显著改善，变为O（ν4）。4.几个例子这部分对上一节的结论列举几个例子。为了简单起见，我们取T=0。Ex4.1在图1，我们可以看到近似的相应误差（％）相对于期权价格解析评估，为参数T=0.25，X0=LN100，κ=3，θ=0.06，σ0=0.2，ν=0.3，ρ=-0.5。我们可以观察到二次逼近的误差要大于一次逼近。Ex4.2在图2，我们可以观察到改变上述参数ρ=0时的百分比误差。则（2.2）中的最后一期变得更重要了，并且百分比误差的区别更大了。Ex4.3在图3，ρ=-1。正如remark3.8预测的那样百分比误差显然比ρ=0时更大。Ex4.4在这个例子中，我们采取了T=0.25，X0=LN100，K=90,θ=0.06，σ0=0.2，ν=0.3，ρ=-0.5，和κ∈（0.8，5），在这样一种方式δ=4κθ/ν2∈（2.13，13.33）。图4示出的百分比误差为δ的函数。正如定理3.3和3.7预期的那样，近似的精确度取决于δ。此外，只要δ足够大，二次逼近的结果要比一次逼近小。Ex4.5Benhamou等人，作者提出了一个近似从期权价格相对于该扩展推导的定价公式波动率的波动性。该近似式，其中所述校正项是通过Malliavin演算计算，由BS的总和（T，XT，VT）加四纠正条款。这是很容易看到这近似与我们的第二顺序一致近似时，ρ=0，在负相关情况下，Benhamou等人的结论似乎更准确的接近平价期权，因为我们可以见上图（图5和6），即使在这两个近似非常精确。Ex4.6图7示表明了第二次近似的百分误差公式的到期时间的函数，用参数X0=LN100，K=100，θ=0.06，σ0=0.2，ν=0.3，ρ=-0.5，和κ=3，作为预测的误差减少当到期时间趋于零。我们还可以看出，由于在近似呈现在Benhamou等人，错误似乎变平的期限较长。5.结论通过古典伊藤演算的方式，我们在Heston分解期权价格波动性框架，作为经典的Black-Scholes公式的总和，具有波动性参数等于根均方未来的平均波幅，加上相关期和波动的波动期的波幅。这种分解公式有助于我们构建一阶和二阶期权定价逼近公式，以及研究短期内到期的定价的精度。此外，我们已经看到，日志股价变量x对应的近似值为隐含波动率是线性的（一阶近似）和二次（二阶近似）。所提出的方法都需要只有一些一般性的可积性条件，并一增加了些最新成果。