高中物理奥赛 之 动量和动能

CAI使用说明1、斜体文字——表示有备注供查看2、加下划线的变色文字——表示有超链接3、——表示返回至链接来处4、——表示到上一张幻灯片5、——表示到下一张幻灯片6、——表示到首页中学物理奥赛解题研究第五专题动能和动量解题知识与方法研究疑难题解答研究例题7（物体分离的判定问题）例题8（拉击问题）一、功的定义及计算的几个需注意的问题二、动能定理（功能原理、机械能守恒定律）与参照系1、功的定义中的受力物、力、位移、参照系2、一对作用力与反作用力的功的计算2、可推广至匀加速非惯性参照系1、在任何惯性系中均成立三、系统动量的质心表达及系统的质心动量定理、动量守恒定理四、两体平面斜碰3、系统内力总功的计算1-1、受力物将受力物模型化为质点.解题知识与方法研究一、功的定义及计算的几个需注意的问题1、功的定义中的受力物、位移、力、参照系图2FRFR1-2、位移受力质点的位移.而不是力的作用点的位移.在图1中F做的功，(cos).WFlFlFv图1在图2中F做的功，(sin).WFR例如（以地面为参照系）;dWFds.BAWFds(cos)(cos)WFsFs(cos)(cos)BBAAWFsFs在图4中f做的功，dWfvdtfRdtfRd在图5中f的功，()dWfvRdtvo图5轮在地面滚动fRAvo=vR图4轮绕固定轴转动fRA若轮子作纯滚动，则因=0vR，0.dWlvfll图3在图3中f做的功，.Wfl1-3、力是一个力（或者与几个力等效的一个合力）.不是一对力（作用与反作用）.也不能既可以是一个力也可以是一对力（作用与反作用）.例1如图，人用大小不变的力F拉动物体，使物体在水平光滑地面移动了S的位移，绳和地面的夹角由θ1变成了θ2.（1）求合外力对物体做的功W；（2）求人收绳所做的功W′.F12FFFFS1L2Lhv解重力、地面支持力不做功.1WFS水平绳的拉力做功为倾斜绳的拉力做功为（1）2(cos)iiiiWFS(cos)iiiFS12()FLL12()sinsinhhF1211()sinsinFh(cos):iiiSF表示沿倾斜拉力方向上绳的缩短总量.注意到1212cotcot(cotcot)Shhh12.cotcotSh即所以2121211().cotcotsinsinSWF12121211()cotcotsinsinSFSF12121111()cotcotsinsinFSF12FFFFS1L2Lhv（2）如图，绳的缩短量为（S+S′）.12SLL121211=().cotcossinsinS1211()sinsinh()WFSS12121111+()cotcossinsinFS121211+()cotcossinsinSFSS题后思考为什么W=W′?请做出理论解释.21211()sinsinWFh12(cotcot).Sh在（1）中已得到12sinsinhh在不同参照系中同一力对质点的同一做功过程可以有不同的量值.1-4、参照系FlFv例如在火车参照系中，力F的做功量为WFl车在地面参照系中，力F的做功量则为FlFvt注意计算做功量时要针对选定的参照系！！()WFlvt地1、如图，在火车参照系和地面参照系中计算F的功.vo图5轮在地面滚动fRA2、如图4，轮在地面滚动，在平动的轮心参照系中计算f的功.dWfwRdt而在地面参照系中，()dWfvRdt2-2、做功之和在任何惯性参照系中均相同(虽然每一个力做功与参照系的选择有关).例如如图所示，物块和桌面所受的滑动摩擦力为一对作用与反作用力.在火车参照系中：0jiijWflf()jiijWflvtfvt在地面参照系中：一对作用力与反作用力做功之和的简易计算选择其中一个力，以施加该力的物体为参照系，计算这一个力所作的功.jifljijiijflfvtfvtjifllvijfjif自行作一般理论证明.2、一对作用力与反作用力的功的计算2-1、做功之和未必为零仅当两相互作用的质点的位移相同时，二者之和才为零（如一对静摩擦力做功之和为零）.3、系统内力总功的计算在应用质点组的动能定理、质点组的功能原理时需计算W内.一个问题的争论当内力为耗散力时，岂不可以通过选择参照系来获得很多的热量？？——这可了不得呀！！功的计算应在一定的参照系中进行，W内的计算应与参照系的选择有关！对争论的回答内力做功之总和与参照系的选择无关——因为内力均为成对的作用力与反作用力.（1）在选定的参照系中分别计算每一个内力的功，然后求和.（2）按前述计算作用力与反作用力做功之和的简易方法计算每一对内力的功，然后求和.计算内力总功的两种办法二、动能定理（功能原理、机械能守恒定律）与参照系1、在任何惯性系中均成立（对系统的同一力学过程而言）因为导出动能定能定理的牛顿定律在任何惯性系中成立.例如如图，原静止在光滑水平桌面上的物体在力F作用下开始运动.这正是在火车参照系K′中由动能定理所得结果.在地面参照系K中：2211()()22Flvtmvvmv即212FlFvtmvmvv而Fvtmavtmvv212Flmv代入上式便得自行作一般理论证明.FlFv火车匀速行驶v=0v注意利用动能定理、功能原理等解题应注意合理选择参照系！例2水平地面上有一质量很大的车厢以v0匀速向右行驶，车内的摆球开始时相对车静止，摆线与竖直线夹角为θ0，其方向如图.设摆线长为l，摆球质量为m.试求（相对地面参照系）：（1）摆球从初始位置第一次到达最低位置的过程中，绳张力对摆球所作的功W1.（2）摆球从初始位置第二次到达最低位置的过程中，绳张力对摆球所作的功W2.0v解在车厢参照系中，张力是否做功？在地面参照系中，张力是否做功？在车厢参照系中，摆球的机械能守恒.设最低点处摆球相对车厢的速度为v′,则有v201(1cos)2mglmv算得02(1cos).vgl在地面参照系中张力的功能否直接计算？有了v′和v0,就容易在地面参照系中由功能原理计算张力的功了！00vv（1）摆球第一次达到最低点时：小球的速度为10.vvv1v（可正可负）由质点组的功能原理得22110011[(1cos)]22Wmvmvmgl2200011()(1cos)22mvvmvmgl02(1cos)vgl将代入得2001(1cos)2mvvmvmgl1002(1cos).Wmvgl（1）摆球第二次达到最低点时：小球的速度为20.vvv由质点组的功能原理得22220011[(1cos)]22Wmvmvmgl2200011()(1cos)22mvvmvmgl002(1cos).mvgl题后小结还很少用功能原理来计算功！2、可推广至匀加速非惯性参照系在非惯性系中添加惯性力在惯性参照系成立iiCiFmaFmaMa合外合外质点：质点组：在非惯性参照系成立+iiCiFmamaFMamaMa合外合外质点：质点组：在加速度恒定的平动非惯性系中添加惯性力的功在惯性参照系成立=KKWEWWE外力内外质点：质点组：在非惯性参照系成立++KKWWE外力惯性力内外惯性力质点：质点组：=WE惯性力惯性力WW非保内非保外惯性参照系成立=PKEE质点：PKWEE非保外质点组：非惯性参照系成立WW非保内非保外=+.PKEEE惯性力质点：+PKWEEE非保外惯性力质点组：例3一个足够深的长为l、宽为b的矩形盛水金鱼缸放在火车车厢内，缸的长边方向与车箱的长边方向一致，当火车匀速运动时，水面与缸口的距离为h.从某时刻开始火车作加速度为a匀加速运动，为使水不溢出，求a的最大可取值.(设缸中水的表面始终保持平面形状）解以火车为参照系，a液体以AB面为中心位置做振动.等效的重力场为,gga其方向垂直因此场为等效保守力场.设在平衡位置时全部液体的等效重力势则在开始液面处于水平面ND时，液体的等效势能为1111[()(tan)]2(sin)22232PllElbghl三棱柱ODB的体积为11[()(tan)]222llVb其质心C1距AB的距离为11(sin)32lHtan2l于AB.引入该力场中的物体的等效重力势能.在该力场中也有“机械能守恒”.能为零.ABZRODN1CgagaAB1Cgaghltan2lZRODN当液体振动至液面处于RZ位置时，其等效的重力势能为三棱柱OAR的体积为21[()]22lVxb其重心C2距AB的距离为21(cos)3Hx211()2(tan)223PlExbgx因机械能守恒，故有12PPEE即111[()(tan)]2(sin)22232lllbg11()2(cos)223lxbgx解出tan2lx为使液体不溢出，要求xhAN即,22laalhgg所以.ghal2C.2lag2lahgxtan2lh题后思考不引入等效势能解本题.三、系统动量的质心表达及系统的质心动量定理、动量守恒定理kkPP1、系统总动量的质心表达1m2mkm1P2PkPCCvMC2C1C2C1=kkIIPPMvMv外合外力C2C10MvMvCMvC（即）210PPPC（即）0,F合外力系统的时2121kkkkkkIIPPPP外合外力2、系统的质心动量定理（质点组动量定理的质心表达）0,F合外力系统的时3、系统的质心动量守恒定理（质点组动量守恒定理的质心表达）CMv1m2mkm1P2PiPkI外kI内CCvM例4在光滑的水平面上有一辆长为L=1.0m的小车A,在车上有一小木块B（长度不计）.A与B质量相等，两者间的摩擦系数μ=0.05.如图所示.开始时，A静止,B位于A的中央以初速v0=5.0m/s向右运动.假设B与A左右两侧的碰撞都是弹性的,且A不会翻倒.试问:（1）B与A共能发生多少次碰撞？（2）从开始到B相对A停止的全部时间内，A相对地面共行驶了多少路程？（g=10m/s2）LBA0v解设A、B的质量同为m，B相对A静止时二者的共同右行速度为v.对系统由动量守恒有0()mvmmv，所以01.2vv设B相对A共反复行进的路程为l.则对地面参照系由功能原理有22222000011111()(2).22244mglmvmvmvmvmv于是得2012.54vlmg12.5.L故B和A共相碰12次.究竟B和A碰了多少次还得自己仔细数一数哦！（1）（2）LBA0vLBA02v注意到系统动量守恒，系统质心的速度不变.01.2Cvv为确定运动时间：LBA(ⅰ)LBA(ⅱ)B相对A加速度大小恒定.22.mgagm为B相对A的运动如图.B相对A的运动为一初速度为v0，末速度为0，加速度为a,总路程为l的匀减速运动.CC所以B相对A的运动时间为00.2vvtagB相对A的运动究竟.是一种什么性质的运动呢？系统质心运动的总路程为20001.224CvvSvtvgg代入已知数据，算出12.5m.S由质心C和A的先后位置关系，即知A相对地面行进路程为12.50.2512.25(m).题后总结质心动量定理及动量守恒定理不可忽视！有没有其它