偏微分方程理论学习总结

偏微分方程理论学习总结任荣珍院系：理学院班级：19班学号：2014081034偏微分方程理论学习总结偏微分方程这一门学科在我脑海中的印象不是很深，本科时学的是常微分方程，在课堂上听到老师提起过偏微分方程，因此，在研究生阶段选课时就选了这门课，以前不了解偏微分，再选了这门课之后对偏微分也算有一定的了解，接下来我想就我这学期学习了这门课做一个简单的总结。下面就来介绍有关偏微分方程的发展简介：谈到偏微分方程，我们就会想到本科时学的常微分方程，而偏微分方程的发展没有常微分方程的发展早，所以要谈偏微分方程就先来谈一下常微分方程。十七世纪微积分创立之后，常微分方程理论立刻就发展起来，当时应用常微分方程解决几何与理学中的新问题，结果是在天体理学中不仅能得到并解释早已知晓的那些事实，而且得到了新的发现(例如，海王星的发现就是在对微分方程分析的基础上作出的)。而偏微分方程的研究要晚的多，对物理学中出现的偏微分方程研究在十八世纪中叶导致了分析学的一个新的分支——数学物理方程的建立。J.达朗贝尔(D’Alembert)(1717-1783)、L.欧拉(Euler)(1707-1783)、D.伯努利(Bernoulli)(1700-1782)、J.拉格朗日(Lagrange)(1736-1813)、P.拉普拉斯(Laplace)(1749-1827)、S.泊松(Poisson)(1781-1840)、J.傅里叶(Fourier)(1768-1830)等人的工作为这一学科分支奠定了基础，它们在考察具体的数学物理问题中，所提出的思想与方法，竟适用于众多类型的微分方程，成为十九世纪末偏微分方程一般理论发展的基础。十九世纪，偏微分方程发展的序幕是由法国数学家傅里叶拉开的，他于1822年发表的《热的解析理论》是数学史上的经典文献之一。而十九世纪偏微分方程的另一个重要发现是围绕着位势方程来进行的，这方面的代表人物格林(G.Green)是一位磨坊工出身、自学成才的英国数学家，位势方程也称为拉普拉斯方程：2222220VVVVxyz偏微分方程是储存自然信息的载体，自然现象的深层次性质可以通过数学手段从方程中推导出来，而本学期学习的偏微分方程理论的第一篇就介绍了线性椭圆形方程，椭圆形方程它的方法是先验估计加泛函分析手段，在线性椭圆形这一块以6章来详细介绍线性椭圆形方程，在这一篇中讲到了很多内容和知识点，下面我就来介绍一些关于线性椭圆形方程的一些定理及应用在第一章预备知识这一块主要学习了若干技巧和一些重要的不等式，若干技巧分单位分解定理、齐次化边界条件、振动方法等单位分解定理：(设12,,...,k是开集组，K是紧集，满足1kjjK，则存在函数0()jjC，使得0j，11kjj，且在K的领域内11kjj)、；接下来介绍一些重要的不等式：一、基本不等式(1)Cauchy不等式对任意的,0ab，有2222abab(2)带的Cauchy不等式对任意的,0ab和0，有2222abab(3)Jensen不等式设:RR是下凸的，则11(())(())bbaaftdtftdtbaba对有限区间[,]ab及可积函数:[,]fabR均成立(4)Young不等式对任意,0ab,1,pq，111pq，有pqababpq(5)带的Young不等式对任意,0ab和0，1,pq，111pq，有pqpqababpq(6)Holder不等式ppLLuvdxuv，1,pq，111pq(7)一般的Holder不等式121212......pppkkkLLLuuudxuuu，111...1kpp(7’)Minkowski不等式设1,pq，,()pfgL，则()pfgL，使()()()pppLLLfgfg(8)几何与算术平均不等式对任意12,,...,0kaaa，有11212...(...)kkkaaaaaak(9)pL空间的内插不等式1rstaaLLLuuu，srt，11aarst二、内插不等式(1)(Green恒等式)2uuudxudxudsn记号()()()()()iixxuxuxnxuxnxn为u在点x的外法向导数。(2)(内插不等式)设2p，u是光滑函数，在上，0u，则2121,1()()()iijpsnnrprsxxxiijudxCudxudx其中C是仅依赖于p的常数，且211prs三、Sobolev不等式设0():pLnnuWRRR，则对1Pn，有111()()nninppppxRRiudxCudx其中C仅依赖于p及n这些重要的不等式在以后的文章写作中也会用到，而且这是偏微分方程中最基本的知识。偏微分方程理论与其他数学分支如泛函分析、函数论、拓扑学、代数、复分析的紧密联系，偏微分方程理论广泛应用数学这些领域中的基本概念、基础思想和基本方法，并且它本身也给这些学科分支的研究问题的范围与方向以影响，极值原理及其应用就是这种相互影响的经典范例，下面就来介绍一下弱极值原理及解的上下界估计、强极值原理、弱解的极值原理、极值原理等等弱极值原理:假设:uR是20()()CC函数，满足微分不等式0ijiijxxixLuaubucuin其中ija满足椭圆性假设条件，ib及c有界，且()0cxin，则supmax(0,sup)uu特别地，若0c，则有supsupuu解的上下界模的估计：假设u是方程ijiijxxixaubucufinuon的解，其中ija满足椭圆形假设条件，ib及c有界，且在内()0cx，则存在仅依赖于及系数ija，ib，c的常数C，使得supsupsupuCf弱极值原理断言，在一定条件下函数u一定在的边界取得它的最大值或最小值，但并不排除u在内也能取得最大(小)值，下面所讲的强极值原理说明，在一定条件下，若u不恒为常数，则u一定不能再内部达到最大值，下面就介绍强极值原理。强极值原理：若函数20()()uCC在内满足0Lu，且在一个内点处达到非负的最大值，()0cx，则u为常数。接下来介绍弱解的极值原理，并由此获得问题()()0ijiiijxxixixaubucuffinuon弱解的存在性，这里我们采用DeGiorgi迭代法。为了更精确地叙述弱极值原理，我们需要引进上、下解的概念定义1：1()uH称为方程(,),auvTv的弱下解(弱上解、弱解)，如果对任意0()C，0，有00(,)(,),(,)(,)iiauTffD其中(,)[()]ijiijxxixauauubucuvdx事实上式00(,)(,),(,)(,)iiauTffD对于任意10()H，max(,0)也成立弱解的极值原理：设L的系数满足式()ijaL与式2nniLLibc，且在内几乎处处成立，如果1()uH是方程(,),auvTv的弱下解，则对于任意pn，我们有11()()supsup()nppnpnpiLLessuuCff其中C仅依赖于n，p，，，以及ib，c，但与的下界无关。上面介绍的是一些关于线性椭圆形的不等式极值原理及应用，下面我们来介绍有关线性椭圆形中有关解的估计、存在性及连续性梯度的边界估计：定理1.1假设u满足()0()ijiijxxixaubucufinuon其中系数ija，ib，c有界，f也有界，0c，且ija满足椭圆性假设条件，满足外球条件，则存在仅依赖于ija，ib，c，f及的常数C，使得supuC解的梯度在上的估计：定理1.2假设u是问题()0()ijiijxxixaubucufinuon的解，其中ija满足椭圆假设条件，ija，ib与c有有界的导数，且0c，则存在仅依赖于(出现在椭圆假设条件中)及ija，ib，c的1,W模的常数C，使得supsup(supsupsup)uuCuff解的梯度在上的估计有时是无用的，因为难以估计supu，在这种情况下，我们考虑函数2'22()()()()Wxxuxux其中()x是一光滑的截割函数，在附近它恒为0，我们可以选择，使它在某严格内域'上恒等于1，并且利用前述估计，得到借助supu，supf及supf表示的supu的界。一旦有了u的界，利用同样的方法可得到高阶导数的界。例如，我们可以利用极值原理于2''ijijxxxxWuuu，待定以得到u的二阶导数的界，利用2'''2ijijxxxxWuuu以得到局部的二阶导数估计。1,2W估计：记()max((),0)cxcx()min((),0)()()cxcxcxcx定理2.1：设u是问题()+()()0()ijiiijxxixixaubucuffinuon的光滑解，ija满足椭圆性假设条件，且ija，ib，c有界，若2,()iffL，则存在仅依赖于及系数的常数1C与2C，使得22222121()()niiucudxCffdxCudx若min()cx充分大，则存在3C，使得1,22223()1()niWiuCffdx注意，这个估计不要求ija或if的任何光滑性。2,2W估计：现在对系数及if增加一些光滑性的假设来推导u的二阶导数的2L估计。关于的假设：(1)对每点0x,存在一个在0x切于的平面T,使得在0x的某个小领域-内,在局部坐标系1(,...,)nyy下可表示为11(,...,)nnyyy我们假设ny轴指向在0x点的外法向量矢量。(2)1:nRR是2C函数,且20()0klxyy,lk.(3)存在不依赖于0x的K,使得对任意0x,1,2,...,1ln,有202()lxKyPoisson方程的2,2W估计：因为下面的证明稍微复杂点，我们首先论述一个特殊情况定理2.2：设u是问题()0()ufinuon的光滑解，其中满足上述条件(1)~(3),则存在仅依赖于的常数C，使得2,2()uCf我们接下来将用同样的方法去推导()+()()0()ijiiijxxixixaubucuffinuon解的2,2W估计引理2.1：设()ijAa及()ijBb是两个实对称的nn矩阵，假定A正定，且其最小特征值不小于(0)，则2ijikkljlikikikikikababbbbb定理2.3：设u是式()+()()0()ijiiijxxixixaubucuffinuon的光滑解，满足(1)~(3),ija满足椭圆性假设条件，且ija在上有有界的梯度，ib及c有界，2()()iixfffL，则存在仅依赖于系数及的常数1C，2C，使得2,22212()()()LLuCfCu如果min()cx充分大，则存在3C，使得2,223()()LuCf散度形式方程解的L估计：引理2.2设:GRR是一致Lipsctz连续的(即存在0K，使得对任意,stR，有()()GsGtKst)，且(0)0G，假定1,20()uW，则(1)1,20()()GuW(2)若'G仅有有限多个间断点，则在内几乎处处有'[()]()iixxGuGuu，1,...,in定理3.1(全局L