大一高等数学期末考试试卷及答案详解

1大一高等数学期末考试试卷（一）一、选择题（共12分）1.（3分）若2,0,(),0xexfxaxx为连续函数,则a的值为().(A)1(B)2(C)3(D)-12.（3分）已知(3)2,f则0(3)(3)lim2hfhfh的值为（）.(A)1(B)3(C)-1(D)123.（3分）定积分2221cosxdx的值为（）.(A)0(B)-2(C)1(D)24.（3分）若()fx在0xx处不连续,则()fx在该点处().(A)必不可导(B)一定可导(C)可能可导(D)必无极限二、填空题（共12分）1．（3分）平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)xy处的切线斜率为23x的曲线方程为.2.（3分）1241(sin)xxxdx.3.（3分）201limsinxxx=.4.（3分）3223yxx的极大值为.三、计算题（共42分）1.（6分）求20ln(15)lim.sin3xxxx2.（6分）设2,1xeyx求.y3.（6分）求不定积分2ln(1).xxdx24.（6分）求30(1),fxdx其中,1,()1cos1,1.xxxfxxex5.（6分）设函数()yfx由方程00cos0yxtedttdt所确定,求.dy6.（6分）设2()sin,fxdxxC求(23).fxdx7.（6分）求极限3lim1.2nnn四、解答题（共28分）1.（7分）设(ln)1,fxx且(0)1,f求().fx2.（7分）求由曲线cos22yxx与x轴所围成图形绕着x轴旋转一周所得旋转体的体积.3.（7分）求曲线3232419yxxx在拐点处的切线方程.4.（7分）求函数1yxx在[5,1]上的最小值和最大值.五、证明题(6分)设()fx在区间[,]ab上连续,证明1()[()()]()()().22bbaabafxdxfafbxaxbfxdx（二）一、填空题（每小题3分，共18分）1．设函数23122xxxxf，则1x是xf的第类间断点.2．函数21lnxy，则y.3．xxxx21lim.4．曲线xy1在点2,21处的切线方程为.35．函数2332xxy在4,1上的最大值，最小值.6．dxxx21arctan.二、单项选择题（每小题4分，共20分）1．数列nx有界是它收敛的（）.A必要但非充分条件；B充分但非必要条件；C充分必要条件；D无关条件.2．下列各式正确的是（）.ACedxexx；BCxxdx1ln；CCxdxx21ln21211；DCxdxxxlnlnln1.3．设xf在ba,上，0xf且0xf，则曲线xfy在ba,上.A沿x轴正向上升且为凹的；B沿x轴正向下降且为凹的；C沿x轴正向上升且为凸的；D沿x轴正向下降且为凸的.4．设xxxfln，则xf在0x处的导数（）.A等于1；B等于1；C等于0；D不存在.5．已知2lim1xfx，以下结论正确的是（）.A函数在1x处有定义且21f；B函数在1x处的某去心邻域内有定义；C函数在1x处的左侧某邻域内有定义；D函数在1x处的右侧某邻域内有定义.三、计算（每小题6分，共36分）1．求极限：xxx1sinlim20.2.已知21lnxy，求y.3.求函数xxysin0x的导数.44.dxxx221.5.xdxxcos.6.方程yxxy11确定函数xfy，求y.四、（10分）已知2xe为xf的一个原函数，求dxxfx2.五、（6分）求曲线xxey的拐点及凹凸区间.六、（10分）设Cexdxxfx1，求xf.（三）一、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分).（1）210)(coslimxxx=_____e1________.（2）曲线xxyln上与直线01yx平行的切线方程为___1xy______.（3）已知xxxeef)(，且0)1(f,则)(xf______)(xf2)(ln21x_____.（4）曲线132xxy的斜渐近线方程为_______.9131xy__（5）微分方程522(1)1yyxx的通解为_________.)1()1(32227xCxy二、选择题(本题共5小题，每小题4分，共20分).（1）下列积分结果正确的是（D）(A)0111dxx(B)21112dxx(C)141dxx(D)11dxx（2）函数)(xf在],[ba内有定义，其导数)('xf的图形如图1-1所示，则（D）.(A)21,xx都是极值点.(B))(,,)(,2211xfxxfx都是拐点.(C)1x是极值点.，)(,22xfx是拐点.(D))(,11xfx是拐点，2x是极值点.图1-1（3）函数212eeexxxyCCx满足的一个微分方程是（D）.)(xfyyO1x2xabx5（A）23e.xyyyx（B）23e.xyyy（C）23e.xyyyx（D）23e.xyyy（4）设)(xf在0x处可导，则000limhfxfxhh为（A）.(A)0fx.(B)0fx.(C)0.(D)不存在.（5）下列等式中正确的结果是（A）.(A)(())().fxdxfx(B)()().dfxfx(C)[()]().dfxdxfx(D)()().fxdxfx三、计算题（本题共4小题，每小题6分，共24分）.1．求极限)ln11(lim1xxxx.解)ln11(lim1xxxx=xxxxxxln)1(1lnlim11分=xxxxxln1lnlim12分=xxxxxxln1lnlim11分=211ln1ln1lim1xxx2分2.方程tttytxsincossinln确定y为x的函数，求dxdy与22dxyd.解,sin)()(tttxtydxdy（3分）.sintansin)()sin(22tttttxttdxyd（6分）3.4.计算不定积分arctan(1)xdxxx.2arctanarctan22(1)(1)=2arctanarctan2=arctan2xxdxdxxxxxdxxC解：分分（）分4.计算定积分3011dxxx.解3030)11(11dxxxxdxxx30)11(dxx（3分）635)1(3233023x（6分）（或令tx1）四、解答题（本题共4小题，共29分）.1．（本题6分）解微分方程256xyyyxe.2．（本题7分）一个横放着的圆柱形水桶（如图4-1），桶内盛有半桶水，设桶的底半径为R，水的比重为，计算桶的一端面上所受的压力．解：建立坐标系如图22022220322203241213213RRRPgxRxdxgRxdRxgRxgR分（）分[（）]分分3.（本题8分）设()fx在[,]ab上有连续的导数，()()0fafb，且2()1bafxdx，试求()()baxfxfxdx.222()()()()21()221=[()]()2211=0222bbaababbaaxfxfxdxxfxdfxxdfxxfxfxdx解：分分分分4.（本题8分）过坐标原点作曲线xyln的切线，该切线与曲线xyln及x轴围成平面图形D.(1)(3)求D的面积A;(2)(4)求D绕直线ex旋转一周所得旋转体的体积V.xy2122312*20101*223212-56012,31.1()111.21(1)121(1).12xxxxxxxrrrreCeyxbxbebbyxxeyeCexxe解：特征方程分特征解.分次方程的通解Y=C分令分代入解得，所以分所以所求通解C分7解：(1)设切点的横坐标为0x，则曲线xyln在点)ln,(00xx处的切线方程是).(1ln000xxxxy----1分由该切线过原点知01ln0x，从而.0ex所以该切线的方程为.1xey----1分平面图形D的面积10.121)(edyeyeAy----2分（2）切线xey1与x轴及直线ex所围成的三角形绕直线ex旋转所得的圆锥体积为.3121eV2分曲线xyln与x轴及直线ex所围成的图形绕直线ex旋转所得的旋转体体积为dyeeVy2102)(，1分因此所求旋转体的体积为).3125(6)(312102221eedyeeeVVVy1分五、证明题（本题共1小题，共7分）.1.证明对于任意的实数x，1xex.解法一：2112xeexxx解法二：设()1.xfxex则(0)0.f1分因为()1.xfxe1分当0x时，()0.fx()fx单调增加，()(0)0.fxf2分当0x时，()0.fx()fx单调增加，()(0)0.fxf2分所以对于任意的实数x，()0.fx即1xex。1分解法三：由微分中值定理得，01(0)xxeeeexex，其中位于0到x之间。2分当0x时，1e，1xex。2分当0x时，1e，1xex。2分所以对于任意的实数x，1xex。1分xyO1e1D8（四）一．填空题（每小题4分，5题共20分）：1．210lim()xxxex21e.2．1200511xxxxeedxe4.3．设函数()yyx由方程21xytedtx确定，则0xdydx1e.4.设xf可导，且1()()xtftdtfx，1)0(f，则xf221xe.5．微分方程044yyy的通解为xexCCy221)(.二．选择题（每小题4分，4题共16分）：1．设常数0k，则函数kexxxfln)(在),0(内零点的个数为（B）.(A)3个;(B)2个;(C)1个;(D)0个.2．微分方程xyy2cos34的特解形式为（C）（A）cos2yAx；（B）cos2yAxx；（C）cos2sin2yAxxBxx；（D）xAy2sin*3．下列结论不一定成立的是（A）(A)(A)若badc,,,则必有badcdxxfdxxf;(B)(B)若0)(xf在ba,上可积,则0bafxdx;(C)(C)若xf是周期为T的连续函数,则对任意常数a都有TTaadxxfdxxf0;(D)(D)若可积函数xf为奇函数,则0xtftdt也为奇函数.4.设xxeexf11321,则0x是)(xf的（C）.(A)连续点;(B)可去间断点;(C)跳跃间断点;(D)无穷间断点.三．计算题（每小题6分，5题共30分）：1．计算定积分2032dxexx.解：20202032