二次函数与一元一次方程教案

佳一教育一对一个性化教育方案佳一教育---九江最专业的教育培训机构地址：九江市柴桑春天三期儿童天地二楼1课题二次函数与一元二次方程学习目标与分析学习重点和考点学习方法导学讲练学习内容与过程知识要点梳理：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解的情况等价于抛物线y=ax2+bx+c(c≠0)与直线y=0(即x轴)的公共点的个数。抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的公共点有三种情况：两个公共点（即有两个交点），一个公共点，没有公共点，因此有：(1)抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个公共点(x1，0)(x2，0)一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等实根△=b2-4ac0。(2)抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点时，此公共点即为顶点一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等实根，(3)抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根△=b2-4ac0.(4)事实上，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=h的公共点情况方程ax2+bx+c=h的根的情况。抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n的公共点情况方程ax2+bx+c=mx+n的根的情况。知识点分段讲解知识点一：二次函数y=ax2+bx+c图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的根的关系一般地，二次函数y=ax2+bx+c图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有如下关系：1、如果二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有两个交点（m,0）、(n,0),那么一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根x1=,x2=.2、如果二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有一个交点（m,0）,那么一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根x1=x2=。3、如果二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴没有交点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0实数根。例1：已知抛物线y=mx2＋（3－2m）x＋m－2（m≠0）与x轴有两个不同的交点．（1）求m的取值范围；（2）判断点P（1，1）是否在抛物线上；同步测试：佳一教育一对一个性化教育方案佳一教育---九江最专业的教育培训机构地址：九江市柴桑春天三期儿童天地二楼21．（2008年湖北省咸宁市）抛物线228yxxm与x轴只有一个公共点，则m的值为．2.已知二次函数y=x2-4x+k+2与x轴有公共点，求k的取值范围.知识点二：由一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况可以判断二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴的交点个数。1、当acb40时，一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况是，此时二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有交点；2、当acb4=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况是，此时二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有交点；3、当acb40时，一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况是，此时二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有交点。例2.下列函数的图象中，与x轴没有公共点的是（）同步测试：方程的根是；则函数的图象与x轴的交点有个，其坐标是．知识点三：利用二次函数y=ax2+bx+c图象求一元二次方程ax2+bx+c=0的近似根例3.（2009年台州市）已知二次函数cbxaxy2的y与x的部分对应值如下表：x…1013…y…3131…则下列判断中正确的是（）A．抛物线开口向上B．抛物线与y轴交于负半轴C．当x＝4时，y＞0D．方程02cbxax的正根在3与4之间同步测试：0542xx542xxy2)(2xyAxxyB2)(96)(2xxyC2)(2xxyD佳一教育一对一个性化教育方案佳一教育---九江最专业的教育培训机构地址：九江市柴桑春天三期儿童天地二楼3（2009年包头）已知二次函数2yaxbxc的图象与x轴交于点(20)，、1(0)x，，且112x，与y轴的正半轴的交点在(02)，的下方．下列结论：①420abc；②0ab；③20ac；④210ab．其中正确结论的个数是个．典例精讲例1（2008枣庄）在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数2(1)4yxkx的图象与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，且6OABS．（1）求点A与点B的坐标；（2）求此二次函数的解析式；（3）如果点P在x轴上，且△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．例2已知二次函数y=x2-〔m2＋8〕x＋2〔m2＋6〕,⑴求证;不论m取任何实数，此函数图象都与x轴有两个交点，且两个交点都在x轴的正半轴上。⑵设抛物线顶点为A,与X轴交于B,C两点，问是否存在实数M,使三角形ABC为等腰直角角形？如果存在，求出M的值；如果不存在，请说明理由。例3（2009遂宁）如图，二次函数的图象经过点D(0，397)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x轴上截得的佳一教育一对一个性化教育方案佳一教育---九江最专业的教育培训机构地址：九江市柴桑春天三期儿童天地二楼4线段AB的长为6.⑴求二次函数的解析式；⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；⑶在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．基础练习1.不论x为何值，二次函数y=ax2+bx+c的值恒为负的条件（）。A.a＞0，b2-4ac＜0B.a＞0，b2-4ac＞0C.a＜0，b2-4ac＜0D.a＜0，b2-4ac＞02.已知关于x的方程ax2+bx+c=0的一个根为x1=1，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为（）。3.已知二次函数y=-x2+（3-k）x+2k-1的图像与y轴的交点位于（0,1）的上方，则k的取值范围（）。4.对于每个非零自然数n，抛物线2211(1)(1)nnnnnyxx与x轴交于An、Bn两点，以nnAB表示这两点间的距离，则112220092009ABABAB的值是（）。A．20092008B．20082009C．20102009D．200920105.设函数y=x2﹣（k+1）x﹣4（k+5）的图象如图所示，它与x轴交于A、B两点，且线段OA与OB的长的比为1：4，则k=_________．6．（2010包头）已知二次函数2yaxbxc的图象与x轴交于点(20)，、1(0)x，，且112x，与y轴的正半轴佳一教育一对一个性化教育方案佳一教育---九江最专业的教育培训机构地址：九江市柴桑春天三期儿童天地二楼5的交点在(02)，的下方．下列结论：①420abc；②0ab；③20ac；④210ab．其中正确结论的个数是个．7.（2010自贡）y=x2＋（1－a）x＋1是关于x的二次函数，当x的取值范围是1≤x≤3时，y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是（）。A．a=5B．a≥5C．a＝3D．a≥38.（2008武汉）下列命题：①若0abc，则240bac；②若bac，则一元二次方程20axbxc有两个不相等的实数根；③若23bac，则一元二次方程20axbxc有两个不相等的实数根；④若240bac，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3.其中正确的是（）．Ａ.只有①②③Ｂ．只有①③④Ｃ．只有①④Ｄ．只有②能力提升1、（2011•大庆）二次函数：y=ax2﹣bx+b（a＞0，b＞o）图象顶点的纵坐标不大于．（1）求该二次函数图象顶点的横坐标的取值范围；（2）若该二次函数图象与x轴交于A，B两点，求线段AB长度的最小值．2、（2011•广东）已知抛物线错误!未找到引用源。与x轴没有交点．（1）求c的取值范围；（2）试确定直线y=cx+1经过的象限，并说明理由．3、（2011•荆州）如图，等腰梯形ABCD的底边AD在x轴上，顶点C在y轴正半轴上，B（4，2），一次函数y=kx﹣1的图象平分它的面积，关于x的函数y=mx2﹣（3m+k）x+2m+k的图象与坐标轴只有两个交点，求m的值．佳一教育一对一个性化教育方案佳一教育---九江最专业的教育培训机构地址：九江市柴桑春天三期儿童天地二楼64、（2011•南京）已知函数y=mx2﹣6x+1（m是常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；（2）若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．5、（2011•新疆）已知抛物线y=﹣x2+4x﹣3与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），顶点为P．（1）求A、B、P三点的坐标；（2）在直角坐标系中，用列表描点法作出抛物线的图象，并根据图象写出x取何值时，函数值大于零；（3）将此抛物线的图象向下平移一个单位，请写出平称后图象的函数表达式．xy6、（2010•镇江）已知二次函数y=x2+2x+m的图象C1与x轴有且只有一个公共点．（1）求C1的顶点坐标；佳一教育一对一个性化教育方案佳一教育---九江最专业的教育培训机构地址：九江市柴桑春天三期儿童天地二楼7（2）将C1向下平移若干个单位后，得抛物线C2，如果C2与x轴的一个交点为A（﹣3，0），求C2的函数关系式，并求C2与x轴的另一个交点坐标；（3）若P（n，y1），Q（2，y2）是C1上的两点，且y1＞y2，求实数n的取值范围．课后练习1、（2010•咸宁）已知二次函数y=x2+bx﹣c的图象与x轴两交点的坐标分别为（m，0），（﹣3m，0）（m≠0）．（1）证明4c=3b2；（2）若该函数图象的对称轴为直线x=1，试求二次函数的最小值．2、（2010•十堰）已知关于x的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0．（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根；（2）若关于x的二次函数y=mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式；（3）在直角坐标系xoy中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线y=x+b与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b的取值范围．3、（2010•汕头）已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．佳一教育一对一个性化教育方案佳一教育---九江最专业的教育培训机构地址：九江市柴桑春天三期儿童天地二楼8（1）求出b，c的值，并写出此二次函数的解析式；（2）根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．4、（2010•娄底）已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标是（﹣2，0），点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OC＜OB）是方程x2﹣10x+24=0的两个根．（1）求B、C两点的坐标；（2）求这个二次函数的解析式．5、（2009•肇庆）已知一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2．（1）求q关于p的关系式；（2）求证：抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点；（3）设抛物线y=x2+px+q的顶点为M，且与x轴相交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，求使△AMB面积最小时的抛物线的解析式．6、（2009•黔东南州）已知二次函数y=x2+ax+a﹣2．（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点；佳一教育一对一个性化教育方案佳一教育---九江最专业的教育培训机构地址：九江市柴桑春天三期儿童天地二楼9（2）设a＜0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为错误!未找到引用源。时，求出此二次函数的解析式；（3）若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，使得△PAB的面积为，若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由．\7、（2009•宁夏）如图，抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）证明△ABC为直角三角形；（3）在抛物线上除C点外，是否还存在另外一个点P，使△ABP是直角三角形，若存在，请求出点P的坐标，若不存