电磁场与电磁波课后习题答案全-杨儒贵

第一章矢量分析第一章题解1-1已知三个矢量分别为zyeeeAx32；zyeeeBx23；zeeCx2。试求①|||,||,|CBA；②单位矢量cbaeee,,；③BA；④BA；⑤CBA)(及BCA)(；⑥BCA)(及CBA)(。解①14321222222zyxAAAA14213222222zyxBBBB5102222222zyxCCCC②zyeeeAAAexa3214114zyeeeBBBexb2314114zeeCCCexc2515③1623zzyyxxBABABABA④zyzyzyxzyxzyBBBAAAeeeeeeeeeBAxxx5117213321⑤zyzyeeeeeeCBAxx223111025117因zyzyzyxzyxCCCAAAeeeeeeeeeCAxxxxx452102321则zyzyeeeeeeBCAxx1386213452⑥152131532BCA1915027CBA。1-2已知0z平面内的位置矢量A与X轴的夹角为，位置矢量B与X轴的夹角为，试证sinsincoscos)cos(证明由于两矢量位于0z平面内，因此均为二维矢量，它们可以分别表示为sincosAAyeeAxsincosBByeeBx已知cosBABA，求得BABABAsinsincoscoscos即sinsincoscos)cos(1-3已知空间三角形的顶点坐标为)2,1,0(1P，)3,1,4(2P及)5,2,6(3P。试问：①该三角形是否是直角三角形；②该三角形的面积是多少？解由题意知，三角形三个顶点的位置矢量分别为zyeeP21；zyxeeeP342；zyxeeeP5263那么，由顶点P1指向P2的边矢量为zeePPx412同理，由顶点P2指向P3的边矢量由顶点P3指向P1的边矢量分别为zyeeePPx8223zyeeePPx7631因两个边矢量0)()(2312PPPP，意味该两个边矢量相互垂直，所以该三角形是直角三角形。因17142212PP6981222223PP，所以三角形的面积为11735.0212312PPPPS1-4已知矢量xyyeeAx，两点P1及P2的坐标位置分别为)1,1,2(1P及)1,2,8(2P。若取P1及P2之间的抛物线22yx或直线21PP为积分路径，试求线积分12dpplA。解①积分路线为抛物线。已知抛物线方程为22yx,yyxd4d，则142d6d2d4ddd12322212121212yyyyyyyyxxyPPPPPPPPlA②积分路线为直线。因1P,2P两点位于1z平面内，过1P,2P两点的直线方程为228121xy，即46xy，yxd6d，则14412d46d6d1221212yyyyyyPPPPlA。1-5设标量32yzxy，矢量zyeeeAx22，试求标量函数在点)1,1,2(处沿矢量A的方向上的方向导数。解已知梯度2223)2(yzzxyyzyxzyxzyxeeeeee那么，在点)1,1,2(处的梯度为zyxeee33因此，标量函数在点)1,1,2(处沿矢量A的方向上的方向导数为13622233zyxzyxeeeeeeA1-6试证式（1-5-11），式（1-5-12）及式（1-5-13）。证明式（1-5-11）为，该式左边为zyxzyeeexzzyyxxzyeeexzyxzyxzyzyeeeeeexx即，。根据上述复合函数求导法则同样可证式（1-5-12）和式（1-5-13）。1-7已知标量函数zeyx3sin2sin，试求该标量函数在点P(1,2,3)处的最大变化率及其方向。解标量函数在某点的最大变化率即是函数在该点的梯度值。已知标量函数的梯度为zyxzyeeex那么zyzeyxeyx3cos2sin33sin2cos2eexzzeyx3sin2sine将点P(1,2,3)的坐标代入，得33236eezyPee。那么，在P点的最大变化率为2762362333eeezyPeeP点最大变化率方向的方向余弦为0cos；27cos2；2727cos21-8若标量函数为zyxxyzyx62332222试求在)1,2,1(P点处的梯度。解已知梯度zyxzyeeex，将标量函数代入得662432zxyyxzyeeex再将P点的坐标代入，求得标量函数在P点处的梯度为yPeex931-9试证式（1-6-11）及式（1-6-12）。证明式（1-6-11）为AACC，该式左边为AACzAyAxACCAzCAyCAxCzyxzyx即AACC式（1-6-12）为AAA，该式左边为zyxAzAyAxAzAzAyAyAxAxAzzyyxxAA；即AAA1-10试求距离||21rr在直角坐标、圆柱坐标及圆球坐标中的表示式。解在直角坐标系中21221221221zzyyxxrr在圆柱坐标系中，已知cosrx，sinry，zz，因此212211222112221sinsincoscoszzrrrrrr21212122122cos2zzrrrr在球坐标系中，已知cossinrx,sinsinry,cosrz,因此211222111222211122221coscossinsinsinsincossincossinrrrrrrrr121212122122coscoscossinsin2rrrr1-11已知两个位置矢量1r及2r的终点坐标分别为),,(111r及),,(222r，试证1r与2r之间的夹角为212121coscos)cos(sinsincos证明根据题意，两个位置矢量在直角坐标系中可表示为111111111cossinsincossinrrrzyxeeer222222222cossinsincossinrrrzyxeeer已知两个矢量的标积为cos2121rrrr，这里为两个矢量的夹角。因此夹角为2121cosrrrr式中)coscossinsinsinsincossincos(sin21221122112121rrrr2121rrrr因此，21212121212121coscos)cos(sinsincoscos)sinsincos(cossinsincos1-12试求分别满足方程式0)(1rrf及0)(2rrf的函数)(1rf及)(2rf。解在球坐标系中，为了满足0311111rfrrfrrfrfrfrrr即要求03dd11rfrrfrrrrfrfd3d11，求得Crrflnln3ln1即31rCrf在球坐标系中，为了满足0222rrrrfrfrf由于02rrf，0r，即上式恒为零。故rf2可以是r的任意函数。1-13试证式（1-7-11）及式（1-7-12）。证明①式（1-7-11）为AACC（C为常数）令zyxeeeAzyxAAA，zzyyxxCACACACeeeA，则AeeeeeeACAAAzyxCCACACAzyxCzyxzyxzyxzyx②式（1-7-12）为AAA令zyxeeeAzyxAAA，zzyyxxAAAeeeA，则xyzzyxzyxAzAyAAAzyxeeeeAzxyyxzAyAxAzAxeezxyyxzxyzAyAxAzAxAzAyeeezxyyxzxyzyAxAzAxAzAyAeeeAA若将式（1-7-12）的右边展开，也可证明。1-14试证0r，0rr及03rr。证明已知在球坐标系中，矢量A的旋度为ArrAArrrrrrsinsinsin2eeeA对于矢量r，因rAr，0A，0A，代入上式，且因r与角度，无关，那么，由上式获知0r。对于矢量rr，因1rA，0A，0A，显然0rr。对于矢量3rr，因21rAr，0A，0A，同理获知03rr。1-15若C为常数，A及k为常矢量，试证：①rkrkkcceCe；②rkrkAkAcceCe)(；③rkrkAkAcceCe)(。证明①证明rkrkkCCeCe。利用公式FF，则rkrkrkrkrkCCCCeCee而keeerkzzyyxxzyxkkkzkykxk求得rkrkkCCeCe。②证明rkrkAkACCeCe。利用公式AAA，则rkrkrkrkAAAACCCCeeee再利用①的结果，则rkrkAkACCeCe③证明rkrkAkACCeCe。利用公式AAA，则AAAArkrkrkrkCCCCeeee再利用①的结果，则rkrkAkACCeCe。1-16试证rekrekrkr22，式中k为常数。证明已知在球坐标系中22222222sin1si