几何概型大题

第1页（共25页）1．某港口有一个泊位，现统计了某月100艘轮船在该泊位停靠的时间（单位：小时），如果停靠时间不足半小时按半小时计时，超过半小时不足1小时按1小时计时，依此类推，统计结果如表：停靠时间2.533.544.555.56轮船数量12121720151383（Ⅰ）设该月100艘轮船在该泊位的平均停靠时间为a小时，求a的值；（Ⅱ）假定某天只有甲、乙两艘轮船需要在该泊位停靠a小时，且在一昼夜的时间段中随机到达，求这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率．2．假设小明家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30﹣7：30之间把报纸送到小明家，小明父亲离开家去工作的时间在早上7：00﹣8：00之间，问小明父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？第2页（共25页）3．空气质量按照空气质量指数大小分为七档（五级），相对应空气质量的七个类别，指数越大，说明污染的情况越严重，对人体危害越大．指数级别类别户外活动建议0～50Ⅰ优可正常活动51～100Ⅱ良101～150Ⅲ轻微污染易感人群症状有轻度加剧，健康人群出现刺激症状，心脏病和呼吸系统疾病患者应减少体积消耗和户外活动．151～200轻度污染201～250Ⅳ中度污染心脏病和肺病患者症状显著加剧，运动耐受力降低，健康人群中普遍出现症状，老年人和心脏病、肺病患者应减少体力活动．251～300中度重污染301～500Ⅴ重污染健康人运动耐受力降低，由明显强烈症状，提前出现某些疾病，老年人和病人应当留在室内，避免体力消耗，一般人群应尽量减少户外活动．现统计邵阳市市区2016年10月至11月连续60天的空气质量指数，制成如图所示的频率分布直方图．（1）求这60天中属轻度污染的天数；（2）求这60天空气质量指数的平均值；（3）将频率分布直方图中的五组从左到右依次命名为第一组，第二组，…，第五组．从第一组和第五组中的所有天数中抽出两天，记它们的空气质量指数分别为x，y，求事件|x﹣y|≤150的概率．第3页（共25页）4．设有关于x的一元二次方程x2+ax+b2=0．（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；（2）若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．5．（1）已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．设集合P={1，2，3}和Q={﹣1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；（2）在区间[1，5]和[2，4]上分别取一个数，记为a，b，求方程+=1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率．第4页（共25页）6．设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0①，当a∈[0，3]，b∈[0，2]时，方程①有实数根的概率为p1；当a∈[0，3]，b∈[0，2]并且a∈N，b∈N时，方程①有实数根的概率为p2，求p1，p2的值．7．已知关于x的一元二次方程：9x2+6mx=n2﹣4（m，n∈R）．（1）若m∈{x|0≤x≤3，x∈N*}，n∈{x|0≤x≤2，x∈Z}，求方程有两个不相等实根的概率；（2）若m∈{x|0≤x≤3，x∈R}，n∈{x|0≤x≤2，x∈R}，求方程有实数根的概率．第5页（共25页）8．假设小明家订了一份报纸，送报人可能在早上x（6≤x≤8）点把报纸送到小明家，小明每天离家去工作的时间是在早上y（7≤y≤9）点，记小明离家前不能看到报纸为事件M．（1）若送报人在早上的整点把报纸送到小明家，而小明又是早上整点离家去工作，求事件M的概率；（2）若送报人在早上的任意时刻把报纸送到小明家，而小明也是早上任意时刻离家去工作，求事件M的概率．9．在一次商贸交易会上，商家在柜台开展促销抽奖活动，甲、乙两人相约同一天上午去该柜台参与抽奖．（1）若抽奖规则是从一个装有2个红球和4个白球的袋中无放回地取出2个球，当两个球同色时则中奖，求中奖概率；（2）若甲计划在9：00～9：40之间赶到，乙计划在9：20～10：00之间赶到，求甲比乙提前到达的概率．第6页（共25页）10．已知集合A=[﹣3，3]，B=[﹣2，2]，设M={（x，y）|x∈A，y∈B}，在集合M内随机取出一个元素（x，y）．（1）求以（x，y）为坐标的点落在圆x2+y2=4内的概率；（2）求以（x，y）为坐标的点到直线x+y=0的距离不大于的概率．（提示：可以考虑采用数形结合法）11．已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2﹣bx+1，分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到数对（a，b）．（1）若P={x|1≤x≤3，x∈Z}，Q={x|﹣1≤x≤4，x∈Z}，求函数y=f（x）在x∈R内是偶函数的概率；（2）若P={x|1≤x≤3，x∈Z}，Q={x|﹣1≤x≤4，x∈Z}，求函数y=f（x）有零点的概率；（3）若P={x|1≤x≤3，x∈R}，Q={x|﹣1≤x≤4，x∈R}，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．第7页（共25页）12．某旅游公司为甲，乙两个旅游团提供四条不同的旅游线路，每个旅游团可任选其中一条旅游线路．（1）求甲、乙两个旅游团所选旅游线路不同的概率；（2）某天上午9时至10时，甲，乙两个旅游团都到同一个著名景点游览，20分钟后游览结束即离去．求两个旅游团在该著名景点相遇的概率．13．如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作两个半圆，在扇形OAB内随机取一点，求此点取自阴影部分的概率．第8页（共25页）14．在参加市里主办的科技知识竞赛的学生中随机选取了40名学生的成绩作为样本，这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组，成绩大于等于40分且小于50分；第二组，成绩大于等于50分且小于60分；…第六组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图．在选取的40名学生中．（1）求成绩在区间[80，90）内的学生人数及成绩在区间[60，100]内平均成绩；（2）从成绩大于等于80分的学生中随机选3名学生，求至少有1名学生成绩在区间[90，100]内的概率．15．甲、乙两人约定晚上6点到7点之间在某地见面，并约定先到者要等候另一人一刻钟，过时即可离开，求甲、乙能见面的概率．第9页（共25页）16．甲、乙两艘货轮均要到某深入港停靠．（1）若甲预计在元月1日、3日、5日中的一天到达该港口，乙预计在元月1日、2日、3日中的一天到达该港口，且甲、乙在预计日期到达该码头均是等可能的，求甲、乙在同一天到该港口的概率．（2）若甲、乙均预计在元月1日00：00点﹣﹣﹣01：00点的任意时刻到达该港口，假设两船到达的时刻相差不超过20分钟，则后到的船必须要等待，求甲、乙中有船要等待的概率．第10页（共25页）参考答案与试题解析一．解答题（共16小题）1．某港口有一个泊位，现统计了某月100艘轮船在该泊位停靠的时间（单位：小时），如果停靠时间不足半小时按半小时计时，超过半小时不足1小时按1小时计时，依此类推，统计结果如表：停靠时间2.533.544.555.56轮船数量12121720151383（Ⅰ）设该月100艘轮船在该泊位的平均停靠时间为a小时，求a的值；（Ⅱ）假定某天只有甲、乙两艘轮船需要在该泊位停靠a小时，且在一昼夜的时间段中随机到达，求这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率．【解答】解：（Ⅰ）a=（2.5×12+3×12+3.5×17+4×20+4.5×15+5×13+5.5×8+6×3）=4，（Ⅱ）设甲船到达的时间为x，乙船到达的时间为y，则若这两艘轮船在停靠该泊位时至少有一艘船需要等待，则|y﹣x|＜4，所以必须等待的概率为P=1﹣=，答：这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率为．2．假设小明家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30﹣7：30之间把报纸送到小明家，小明父亲离开家去工作的时间在早上7：00﹣8：00之间，问小明父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？第11页（共25页）【解答】解：设送报人到达的时间为X，小明父亲离家去工作的时间为Y，以横坐标表示报纸送到时间，以纵坐标表示父亲离家时间，建立平面直角坐标系，父亲在离开家前能得到报纸的事件构成区域是下图：由于随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．根据题意，只要点落到阴影部分，就表示父亲在离开家前能得到报纸，即事件A发生，所以P（A）==．3．空气质量按照空气质量指数大小分为七档（五级），相对应空气质量的七个类别，指数越大，说明污染的情况越严重，对人体危害越大．指数级别类别户外活动建议0～50Ⅰ优可正常活动51～100Ⅱ良101～1Ⅲ轻微污染易感人群症状有轻度加剧，健康人群出现刺激症状，心脏病和呼吸系统疾病患者应减少体积消耗和户外活动．第12页（共25页）50151～200轻度污染201～250Ⅳ中度污染心脏病和肺病患者症状显著加剧，运动耐受力降低，健康人群中普遍出现症状，老年人和心脏病、肺病患者应减少体力活动．251～300中度重污染301～500Ⅴ重污染健康人运动耐受力降低，由明显强烈症状，提前出现某些疾病，老年人和病人应当留在室内，避免体力消耗，一般人群应尽量减少户外活动．第13页（共25页）现统计邵阳市市区2016年10月至11月连续60天的空气质量指数，制成如图所示的频率分布直方图．（1）求这60天中属轻度污染的天数；（2）求这60天空气质量指数的平均值；（3）将频率分布直方图中的五组从左到右依次命名为第一组，第二组，…，第五组．从第一组和第五组中的所有天数中抽出两天，记它们的空气质量指数分别为x，y，求事件|x﹣y|≤150的概率．【解答】解：（1）依题意知，轻度污染即空气质量指数在151～200之间，共有0.003×50×60=9天．（2）由直方图知60天空气质量指数的平均值为．（3）第一组和第五组的天数分别为60×0.1=6天，60×0.05=3天，则从9天中抽出2天的一切可能结果的基本事件有36种，由|x﹣y|≤150知两天只能在同一组中，而两天在同一组中的基本事件有18种，用M表示|x﹣y|≤150这一事件，则概率．4．设有关于x的一元二次方程x2+ax+b2=0．（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；（2）若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．【解答】解：（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，第14页（共25页）则基本事件共12个：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）．设事件A为“方程x2+ax+b2=0有实根”．则判别式△=a2﹣4b2≥0，即a≥2b，若a=0，则b=0，若a=1，则b=0，若a=2，则b=0或b=1，若a=3，则b=0或b=1共有6个，则对应的概率P=．（2）记事件B=“方程x2+ax+b2=0有实根”．由△=a2﹣4b2≥0，得：a≥2b全部结果所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，其面积为S=3×2=6．构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥2b}，则D（3，）其面积为S′=×3×=，对应的概率P==．5．（1）已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．设集合P={1，2，3}和Q={﹣1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；（2）在区间[1，5]和[2，4]上分别取一个数，记为a，b，求方程+=1表示焦点在x轴上且离第15页（共25页）心率小于的椭圆的概率．【解答】解：（1）∵函数f（x）=ax2﹣4bx+1