2012高考数学一轮复习--三角函数的值域与最值 ppt

2020年6月28日星期日一、高考要求1.能利用三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象等,求三角函数的最大值和最小值.2.能利用换元法求某些三角函数在给定区间上的最大值和最小值.3.会把实际问题化归成三角函数的最大值和最小值问题来解决.最值问题是三角函数中考试频率最高的重点内容之一,需要综合运用三角函数概念、图象、性质以及诱导公式、同角三角函数基本关系式、三角变换等,也是函数内容的重要交汇点,常见方法有:1.涉及正、余弦函数以及asin+bcos,可考虑利用三角函数的有界性.二、重点解析2.形如y=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bsinx+c的函数可通过适当变换、配方求解.3.形如sinx+cosx,sinxcosx在关系式中时,可考虑换元法处理.三、知识要点常见的三角换元1.若x2+y2=1,可设x=cos,y=sin;2.若a≤x2+y2≤b,可设x=rcos,y=rsin,即有a≤r2≤b;3.对于1-x2,由于|x|≤1,可设x=cos(0≤≤)或x=sin(-≤≤);224.令t=sinx+cosx,则2sinxcosx=t2-1,t[-2,2].1.已知函数f(x)=cos4x-2cosxsinx-sin4x(1)求f(x)的最小正周期;(2)若x[0,],求f(x)的最大值、最小值.2解:(1)∵f(x)=cos4x-2cosxsinx-sin4x=(cos2x-sin2x)(cos2x+sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x=2cos(2x+).4∴f(x)的最小正周期为.(2)∵x[0,],2∴2x+[,].4445∴当2x+=,即x=0时,f(x)取得最大值1;44∴当2x+=,即x=时,f(x)取得最小值-2.483四、检测反馈题解:由y=2sinxcosx-8(sinx+cosx)+19.2.设0≤x≤,求函数y=sin2x-8(sinx+cosx)+19的最大值和最小值.令t=sinx+cosx,则t=2sin(x+),y=t2-1-8t+19=(t-4)2+2.4∵0≤x≤,∴≤x+≤.4445∴-1≤t≤2.∴-≤sin(x+)≤1.422∴当t=-1,即x=时,y取最大值27.当t=2,即x=时,y取最小值20-82.4四、检测反馈题3.已知函数f(x)=2asin2x-23asinxcosx+a+b(a0)的定义域为[0,],值域为[-5,1],求常数a,b的值.2解:f(x)=a(1-cos2x)-3asin2x+a+b=-a(cos2x+3sin2x)+2a+b=-2asin(2x+)+2a+b.6由已知x[0,],2∴2x+[,],6667∴-≤sin(2x+)≤1.612因此由f(x)的值域为[-5,1]可得:a0,-2a×(-)+2a+b=1,12-2a×1+2a+b=-5,a0,-2a×(-)+2a+b=-5,12-2a×1+2a+b=1.或解得:a=2,b=-5或a=-2,b=1.四、检测反馈题4.求y=的最值及对应的x的集合.(1+sinx)(3+sinx)2+sinx解:y=2+sinxsin2x+4sinx+32+sinx(2+sinx)2-1==2+sinx-.2+sinx1令2+sinx=t,则y=f(t)=t-(1≤t≤3).t1对于任意的t1,t2[1,3],且t1t2有f(t1)-f(t2)=(t1-)-(t2-)t11t21t1t21+t1t2=(t1-t2)()0.即f(t1)-f(t2)0f(t1)f(t2).∴f(t)在[1,3]上是增函数.四、检测反馈题∴当t=1时,ymin=f(t)min=0,此时,sinx=-1,x的集合为:{x|x=2k-,kZ};2{x|x=2k+,kZ}.2当t=3时,ymax=f(t)max=,此时,sinx=1,x的集合为:834.求y=的最值及对应的x的集合.(1+sinx)(3+sinx)2+sinx四、检测反馈题5.若方程4sin2x-cos4x-a=0恒有实数解,求a的取值范围.解:从分离参数的角度考虑.原方程即为:a=-2cos22x-2cos2x+372=-2(cos2x+)2+.12∵|cos2x|≤1,∴-1≤a≤.72四、检测反馈题解:由已知当a0时,bsinx+acosx=-3sinx+4cosx=5sin(x+)1.函数y=acosx+b(a,b为常数),若-7≤y≤1,求bsinx+acosx的最大值.解得a=4,b=-3,此时,a+b=1,-a+b=-7,(tan=-).43当a0时,bsinx+acosx=-3sinx-4cosx=5sin(x+)解得a=-4,b=-3,此时,a+b=-7,-a+b=1,(tan=).43当a=0时,不合题意.综上所述,bsinx+acosx的最大值为5.五、自测练习解:y=1-sin2x-2asinx-a=-(sinx+a)2+a2-a+1.令sinx=t,则y=-(t+a)2+a2-a+1(-1≤t≤1).若-a-1,即a1,则当t=-1时,y有最大值2.求函数y=cos2x-2asinx-a(a为定值)的最大值M.M=-(-1+a)2+a2-a+1=a;若-1≤-a≤1,即-1≤a≤1,则当t=-a时,y有最大值M=-(-a+a)2+a2-a+1=a2-a+1;若-a1,即a-1,则当t=1时,y有最大值M=-(1+a)2+a2-a+1=-3a.综上所述,M=a2-a+1,-1≤a≤1,-3a,a-1,a,a1.五、自测练习3.已知f(x)=2cos2x+3sin2x+a(aR),(1)若xR,求f(x)的单调增区间;(2)若x[0,]时,f(x)的最大值为4,求a的值;(3)在(2)的条件下,求满足f(x)=1且x[-,]的x的集合.2解:(1)f(x)=1+cos2x+3sin2x+a=2sin(2x+)+a+1.6由2k-≤2x+≤2k+得:622k-≤x≤k+.36∴f(x)的单调递增区间为[k-,k+](kZ);636(2)由2x+=得x=26[0,],2故当x=时,f(x)取最大值3+a.6由题设3+a=4,∴a=1.五、自测练习3.已知f(x)=2cos2x+3sin2x+a(aR),(1)若xR,求f(x)的单调增区间;(2)若x[0,]时,f(x)的最大值为4,求a的值;(3)在(2)的条件下,求满足f(x)=1且x[-,]的x的集合.2(3)在(2)的条件下,f(x)=2sin(2x+)+2.621∵f(x)=1,∴sin(2x+)=-.6又由题设2x+[-,],6611613∴2x+=-或-或或.666567611∴x=-,-,,.262656265故所求集合为{-,-,,}.2五、自测练习4.设f(x)=cos2x+asinx--(0≤x≤).(1)用a表示f(x)的最大值M(a);(2)当M(a)=2时,求a的值.4a122五、自测练习解:(1)f(x)=-sin2x+asinx-+.4a12令t=sinx,则0≤t≤1,故有:f(x)=g(t)=-t2+at-+=-(t-)2+-+(0≤t≤1).4a122a4a24a12要求f(x)的最大值M(a),可分情况讨论如下:4.设f(x)=cos2x+asinx--(0≤x≤).(1)用a表示f(x)的最大值M(a);(2)当M(a)=2时,求a的值.4a122要求f(x)的最大值M(a),可分情况讨论如下:g(t)在[0,1]上先增后减.g(t)在[0,1]上为减函数.①当0,即a0时,2a∴M(a)=g(0)=-;124a②当0≤≤1,即0≤a≤2时,2a③若1,即a2时,2a∴M(a)=g()=-+;2a4a24a12g(t)在[0,1]上为增函数.∴M(a)=g(1)=a-.1234五、自测练习-,a0,124a∴M(a)=-+,0≤a≤2,4a24a12a-,a2.1234若-+=2,即a2-a-6=0,4a24a12(2)由(1)知,若-=2,则a=-6;4a12解得a=3或-2.均不合题意,舍去;1234若a-=2,则a=.310综上所述,a的值为-6或.310五、自测练习