2013-2014学年高中数学人教A版必修五同步辅导与检测：2.5.2等差、等比数列的综合应用

金品质•高追求我们让你更放心！◆数学•必修5•(配人教A版)◆2.5.2等差、等比数列的综合应用数列金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修5•(配人教A版)◆金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修5•(配人教A版)◆1．熟练应用等差数列、等比数列的性质、通项公式和前n项和的公式，解决一些实际问题．2．了解数列求和的一些方法：裂项法、错位相减法、倒序相加法、分组求和法、公式法等．提高分析解决问题的能力．金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修5•(配人教A版)◆金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修5•(配人教A版)◆基础梳理1．（1）重要公式：1＋2＋3＋…＋n＝____________；12＋22＋32＋…＋n2＝____________.（2）数列an＝n2＋n的前n项和为：___________.2．（1）裂项求和：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用．裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．＝__________________.nn＋12nn＋12n＋16Sn＝nn＋1n＋231n－1n＋1金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修5•(配人教A版)◆3．累加法求数列通项公式：数列的基本形式为an＋1－an＝f(n)(n∈N*)的解析式，而f(1)＋f(2)＋·…·＋f(n)的和可求出．已知数列{an}满足an＋1－an＝n(n∈N*)且a1＝1，则其通项公式为：________________.4．累乘法求数列通项公式：数列的基本形式为＝f(n)(n∈N*)的解析式，而f(1)·f(2)·…·f(n)的积可求出．56an＝n2－n＋22已知数列{an}满足(n∈N*)，a1＝2，则其通项公式为：__________(n∈N*)．an＋1an＝n＋1nan＝2n(2)11×2＋12×3＋13×4＋14×5＋15×6＝.an＋1an金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修5•(配人教A版)◆5．待定系数法：数列有形如an＋1＝kan＋b(k≠1)的关系，可用待定系数法求得{an＋t}为等比数列，再求得an.已知数列{an}满足an＋1＝2an＋1(n∈N*)，a1＝1，则{an＋1}是________．数列{an}通项公式为：______________________.6．分组求和法：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，但如果将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，那么就可以分别求和，再将其合并即可．数列，…的前n项和Sn＝________________.113，219，3127，…，n＋13n等比数列an＝2n－112n(n＋1)＋121－13n金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修5•(配人教A版)◆7．倒序相加法：这是在推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列(反序)，再把它与原数列相加，就可以得到n个a1＋an.sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝____________.8．错位相减法：这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差和等比数列．(如本节例2)892金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修5•(配人教A版)◆自测自评1．已知{an}是等差数列，a10＝10，其前10项和S10＝70，则其公差d为()A．－23B．－13C.13D.23解析：由S10＝70，可以得到a1＋a10＝14，即a1＝4.所以d＝a10－a19＝23答案：D金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修5•(配人教A版)◆2．数列{(－1)nn}的前n项和为Sn，则S2010等于()A．1005B．－1005C．2010D．－2010解析：S2010＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋(－2009＋2010)＝1005.答案：A金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修5•(配人教A版)◆3．在14与78之间插入n个数组成等比数列，如果各项总和为778，那么此数列的项数为()A．4B．5C．6D．7解析：依题意知778＝a1－qan＋21－q＝14－78q1－q⇒q＝－12，由78＝14·qn－1得n＝3，∴n＋2＝5.B金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修5•(配人教A版)◆金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修5•(配人教A版)◆分组求和求数列，…的前n项和Sn.214，418，6116，…，2n＋12n＋1解析：Sn＝214＋418＋6116＋…＋2n＋12n＋1＝(2＋4＋6＋…＋2n)＋122＋123＋124＋12n＋1＝n2n＋22＋1221－12n1－12＝n(n＋1)＋12＋12n＋1.金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修5•(配人教A版)◆跟踪训练解析：原式＝(10－1)＋(102－1)＋…＋(10n－1)＝(10＋102＋…＋10n)－n＝1010n－110－1－n＝109(10n－1)－n.金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修5•(配人教A版)◆错位相减法求和：Sn＝分析：用错位相减法前要讨论a＝1和a≠1两种情况1a＋2a2＋3a3＋…＋nan.解析：当a＝1时，Sn＝12n(n＋1)；当a≠1时，Sn＝1a＋2a2＋3a3＋…＋nan①1aSn＝1a2＋2a3＋3a4＋…＋nan＋1②①－②得a－1aSn＝1a1＋1a2＋1a3＋…＋1an－nan＋1∴Sn＝aa－121－1an－na－1an.金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修5•(配人教A版)◆跟踪训练2．求和：1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1.解析：(错位相减法)原式＝1－xn1－x2－nxn1－xx≠1nn＋12x＝1.金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修5•(配人教A版)◆裂项法求和求和Sn＝221·3＋423·5＋…＋2n22n－12n＋1.解析：∵(2n)2＝(2n)2－1＋1＝(2n－1)(2n＋1)＋1，∴Sn＝n＋11·3＋13·5＋…＋12n－12n＋1＝n＋121－12n＋1＝n＋12－122n＋1.金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修5•(配人教A版)◆跟踪训练3．数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S4等于()1nn＋1A.45B.15C.120D.56A金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修5•(配人教A版)◆迭乘法求数列的通项已知{an}中，an＋1＝an，且a1＝2，求数列{an}的通项公式．nn＋2解析：an＝anan－1·an－1an－2·an－2an－3·…·a3a2·a2a1·a1＝4nn＋1.跟踪训练金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修5•(配人教A版)◆跟踪训练4．数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1,2,3，…)，证明：(1)数列是等比数列；(2)Sn＋1＝4an.n＋2nSnn证明：(1)an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝n＋2nSn，∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)．整理得nSn＋1＝2(n＋1)Sn，∴Sn＋1n＋1＝2Snn.故Snn是以2为公比的等比数列．金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修5•(配人教A版)◆(2)由(1)知Sn＋1n＋1＝4Sn－1n－1(n≥2)．于是Sn＋1＝4(n＋1)Sn－1n－1＝4an(n≥2)．又S1＝a1＝1，a2＝3S1＝3，故S2＝a1＋a2＝4＝4a1.因此对于任意整数n≥1，都有Sn＋1＝4an.金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修5•(配人教A版)◆金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修5•(配人教A版)◆一、选择填空题1．数列an＝，其前n项之和为，则项数n为()A．12B．11C．10D．91nn＋1D金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修5•(配人教A版)◆2.已知等比数列{an}的首项为1，公比为q，前n项和为Sn，则数列的前n项和为()1anA.1SnB．Snqn－1C．Snq1－nD.qnSn解析：数列1an的首项为1，公比为1q，它的前n项和为Tn＝1－1qn1－1q＝qn－1qn－1q－1，又Sn＝1－qn1－q∴Tn＝1qn－1·Sn＝q1－n·Sn.故选C.答案：C金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修5•(配人教A版)◆金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修5•(配人教A版)◆1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想．2．等差、等比数列中，a1、an、n、d(q)、Sn“知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法．3．求等比数列的前n项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想．4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等．金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修5•(配人教A版)◆祝您