【跃渊风暴】【恒心】数学高考满分冲刺教材回扣-函数与导数

二、函数与导数高频考点整合定义域、对应法则、值域解析式法、列表法、图象法映射→函数f′(x)≤0f′(x)≥0极大值极小值基础回扣训练1．已知函数f(x)＝12＋x＋(x－1)0的定义域为M，g(x)＝ln(2－x)的定义域为N，则M∩N＝_____________________.解析由函数f(x)＝12＋x＋(x－1)0有意义可知，2＋x＞0且x－1≠0，M＝{x|x＞－2，且x≠1}；同理N＝{x|x＜2}．∴M∩N＝{x|－2＜x＜2且x≠1}．{x|－2x2且x≠1}2．曲线y＝e在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．12x解析∵f′(x)＝12e，∴曲线在点(4，e2)处的切线的斜率为k＝f′(4)＝12e2，切线方程为y－e2＝12e2(x－4)，即12e2x－y－e2＝0，切线与x轴和y轴的交点坐标分别为A(2,0)、B(0，－e2)，则切线与坐标轴围成的三角形OAB的面积为12×2×e2＝e2.12xe23．定义在R上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期．若将方程f(x)＝0在闭区间[－T，T]上的根的个数记为n，则n至少为________．解析由于f(x)是R上的奇函数，则f(0)＝0.又f(x)是以T为周期的周期函数，则f(T)＝f(0)＝f(－T)＝0.又f(T2)＝f(T2－T)＝f(－T2)，所以f(T2)＝f(－T2)＝0，故n至少为5.54．幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)．设点A(1,0)，B(0,1)，连结AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图象三等分，即为BM＝MN＝NA，那么αβ＝______.解析方法一由条件，得N(23，13)，M(13，23)，由一般性，可得13＝(23)α，23＝(13)β，即α＝log13，β＝log23.所以αβ＝log13·log23＝lg13lg23·lg23lg13＝1.方法二由方法一，得13＝(23)α，23＝(13)β，则(13)αβ＝[(13)β]α＝(23)α＝13，即αβ＝1.23231313答案15．设函数f(x)＝|x|－1，x≤12－2x，x＞1，若f(x)＝1，则x＝____.解析当x≤1时，由|x|－1＝1，得x＝±2，故可得x＝－2；当x＞1时，由2－2x＝1，得x＝0，不适合题意．故x＝－2.－26．对任意的a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值总大于0，则x的取值范围是____________．解析令g(a)＝f(x)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，当a∈[－1,1]时，g(a)＞0恒成立，故只需g(－1)＞0g(1)＞0，即－(x－2)＋x2－4x＋4＞0x－2＋x2－4x＋4＞0.解得：x＜1或x＞3.x＜1或x＞37．如图是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象，则x21＋x22＝____.解析由图象可得f(x)＝x(x＋1)(x－2)＝x3－x2－2x，又∵x1、x2是f′(x)＝3x2－2x－2＝0的两根，∴x1＋x2＝23，x1·x2＝－23，故x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(23)2＋2×23＝169.1698．给出下列命题：①如果函数f(x)对任意的x1，x2∈R，且x1≠x2，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0，则函数f(x)在R上是减函数．②如果函数f(x)对任意的x∈R，都满足f(x)＝－f(2＋x)，那么函数f(x)是周期函数；③函数y＝f(x)与函数y＝f(x＋1)－2的图象一定不能重合；④对于任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x＞0时，f′(x)＞0，g′(x)＞0，则x＜0时，f′(x)＞g′(x)．其中正确的命题是________．(请将所有正确命题的序号都填上)解析对于①，当x1＜x2时，f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)；当x1＞x2时，f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)为减函数，故①正确；对于②，f(x－2)＝－f(2＋x－2)＝－f(x)＝f(x＋2)，所以f(x)＝f(x＋4)，故②正确；对于③，y＝2x时，两图象重合；对于④，x＜0时，f′(x)＞0，g′(x)＜0，f′(x)＞g′(x)，故④正确．答案①②④9．已知周期为2的函数f(x)是奇函数，当x∈(－1,0)时，f(x)＝－2－x，则flog2135的值为________．解析∵log2135∈(－6，－5)，设－6x－5，则0x＋61，－1－(x＋6)0.∵f(x)的周期为2，∴f(x＋6)＝f(x)．又∵f(x)为奇函数，∴f[－(x＋6)]＝－f(x＋6)．当x∈(－6，－5)时，f(x)＝f(x＋6)＝－f[－(x＋6)]＝2x＋6.∴flog2135＝2＝6435.6435log2643510．已知函数f(x)＝ln(ex＋a)(a为常数)是R上的奇函数，函数g(x)＝λf(x)＋sinx是区间[－1,1]上的减函数．(1)求a的值；(2)若g(x)＜t2＋λt＋1在x∈[－1,1]上恒成立，求t的取值范围．解(1)∵f(x)＝ln(ex＋a)是奇函数，∴ln(e－x＋a)＝－ln(ex＋a)，∴(e－x＋a)(ex＋a)＝1，∴1＋ae－x＋aex＋a2＝1，∴a(ex＋e－x＋a)＝0，故a＝0，(2)由(1)知f(x)＝x，∴g(x)＝λx＋sinx.∵g(x)在[－1,1]上单调递减，∴g′(x)＝λ＋cosx≤0在[－1,1]上恒成立，∴λ≤－cosx在[－1,1]上恒成立，∴λ≤－1.[g(x)]max＝g(－1)＝－λ－sin1，由题意知，－λ－sin1＜t2＋λt＋1恒成立，∴(t＋1)λ＋t2＋sin1＋1＞0(其中λ≤－1)恒成立，令h(λ)＝(t＋1)λ＋t2＋sin1＋1＞0(λ≤－1)，则t＋1＜0，－t－1＋t2＋sin1＋1＞0，∴t＜－1，t2－t＋sin1＞0，而t2－t＋sin1＞0恒成立，∴t＜－1.名师警示易错点1函数的单调性判断错误在研究函数问题时要时时刻刻想到“函数的图象”，学会从函数图象上去分析问题、寻找解决问题的方法．对于函数的几个不同的单调递增(减)区间，切忌使用并集，只要指明这几个区间是该函数的单调递增(减)区间即可．带有绝对值的函数实质上就是分段函数，对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一是在各个段上根据函数的解析式所表示的函数的单调性求出单调区间，最后对各个段上的单调区间进行整合；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．易错点2判断函数的奇偶性致误判断函数的奇偶性，首先要考虑函数的定义域，一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域关于原点对称，如果不具备这个条件，函数一定是非奇非偶函数，在定义域关于原点对称的前提下，再根据奇偶函数的定义进行判断．在用定义进行判断时要注意自变量在定义域内的任意性．函数按照奇偶性分成四类：偶函数非奇函数、奇函数非偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数．易错点3函数零点定理使用不当致误如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，并且有f(a)f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也是方程f(x)＝0的根，我们称这个结论为函数的零点定理．函数的零点有“变号零点”和“不变号零点”，对于“不变号零点”，函数的零点定理是“无能为力”的，在解决函数的零点问题时要注意这个问题．易错点4导数的几何意义不明致误函数在一点处的导数值是函数图象在该点处的切线的斜率．但在许多问题中，往往是要解决函数图象外的一点向函数图象上引切线的问题，解决这类问题的基本思想是设出切点坐标，根据导数的几何意义写出切线方程．然后根据题目中给出的其他条件列方程(组)求解．因此解题中要分清是“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”．易错点5导数与极值关系不清致误f′(x0)＝0只是可导函数f(x)在x0处取得极值的必要条件，即必须有这个条件，但只有这个条件还不够，还要考虑是否满足f′(x)在x0两侧异号．因此，可以从以下三个方面理解函数的导数与极值点的关系：(1)f(x)取得极值的充要条件：定义域D上的可导函数f(x)在x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，并且f′(x)在x0两侧异号，若左负右正则为极小值点，若左正右负则为极大值点；(2)函数f(x)在点x0处取得极值时，它在这点的导数不一定存在．例如函数y＝|x|，结合图象知它在x＝0处有极小值，但它在x＝0处的导数不存在．最后提醒考生一定要注意对极值点进行检验．返回