[理学]第五章大数定律与中心极限定理

1第五章大数定律与中心极限定理在大量随机现象中,我们不仅看到随机事件频率的稳定性,而且还看到一般的平均结果的稳定性.概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系列定理统称为大数定律.大数定律是一种表现必然性与偶然性之间的辩证联系的规律.由于大数定律的作用,大量的随机因素的总和作用必然导致某种不依赖于个别随机事件的结果.2§5.1大数定律定理一（契比雪夫定理的特殊情况）设随机变量相互独立，且具有相同的数学期望和方差：作前n个随机变量的算术平均，记为12,,,,nXXX,iEX21,2,iDXi,nY11,nniiYXn即31lim1lim1nnniniPYPXn则对于任意正数恒有,0（1.1）4契比雪夫不等式复习设随机变量X具有数学期望(),EX2()DX5则对于任意正数,不等式2()(())DXPXEX22()PX即62(){()}1DXPXEXεε或711111,nniiniiEYEXnEXnnn证明由于122221111,nniiniiDYDXnDXnnnn8222211.nnPYn由契比雪夫不等式1lim1lim1.nnniniPYPXn即得2(){()}1DXPXEXεε9（1.1）式中，是一个随机事件，等式表明，当时，这个事件的概率趋于1，即对于任意正数当n充分大时，不等式几乎都是成立的通常我们称序列依概率收敛于。nYn0,nY12,,,nYYY10一般地，设为一个随机变量序列，a是一个常数，若对于任意正数都有0,,,,,21nYYYlim1.nnPYa则称随机变量序列依概率收敛于a记为12,,,,nYYYPnYa11定理1表明当n很大时，随机变量的算术平均接近于数学期望这种接近是概率意义下的接近。,,,,21nXXX通俗的说，在定理1的条件下，n个随机变量的算术平均，当n无限增加时将几乎变成一个常数了。niiXn11()(1,2,)iEXi12定理二（伯努利大数定理）设在n次独立试验中事件A发生的次数为，在每次试验中事件A发生的概率为p，则对于任意给定的正数ε＞0，恒有（1.2）（1.2）'或Anlim{}0AnnPpnlim{}1AnnPpn13伯努利大数定理在独立试验序列中，设事件A的概率()PAp则0,141limpnnPAn或lim0AnnPpn15证明，，10iXAi在第次试验中发生Ai在第次试验中不发生1,2,.i16,21nAXXXn,,,,21nXXX相互独立，（0—1）分布，服从相同的17,iEXp1iDXpp由切比雪夫定理1811lim()niiniPXEXnlim1AnnPpn19意义频率代替概率的理论基础20伯努利定理是契比雪夫定理的特例，它从理论上证明了频率的稳性。只要试验次数n足够大，事件A出现的频率与事件A的概率p有较大偏差的可能性很小。因此在实践中，当试验次数较大时，便可以用事件发生的频率来代替事件发生的概率。Ann2111lim1nkknXnP定理三（辛钦大数定理）设随机变量X1,X2…Xn…互相独立,服从同一分布且具有数学期望E(Xk)=μ,(k=1,2…)。则对任意ε0,有22第二节中心极限定理大量相互独立的随机因素的综合效应所形成的，而其中的每一个单个因素在总的效应中所起的作用都是微小的。23这类随机变量往往近似地服从正态分布。论证随机变量和的极限分布是正态分布的一系列定理统称为中心极限定理。24中心极限定理独立同分布德莫佛—拉普拉斯25Th4独立同分布中心极限定理设随机变量12,,,,nXXX相互独立，服从同一分布且具有有限的数学期望和方差,iXE26212limlim1().2.12niinnntxXnFxPxnedtx201,2,iDXi则27定理四表明:当n→∞时，独立同分布随机变量序列Yn的分布函数收敛于标准正态分布的分布函数。nnXYniin1(0,1)N近似地即2811(()nniiiiEXEXn211((nniiiiDXDXn29111nnkkkknnkkXEXYDX1nkkXnn(0,1)N即随机变量的标准化30注意21(,)niiXNnn近似地1niiXnn(0,1)N近似地31例在每组射击中，命中目标的炮弹数的数学期望为2，均方差为1.5，求在100组射击中由180到220发炮弹命中目标的概率32解设表示第i组命中目标iX的炮弹数.100,,2,1i由题设.5.1,22iiXDXE33则1001iiYX2(1002,1001.5)N342201801001iiXP351001200180200220200151515iiXP3610012001.331.3315iiXP1.331.33370.816421.33138作为定理四的特殊情况，我们给出下面的定理。定理六（德莫佛—拉普拉斯定理）设随机变量服从参数为的二项分布，则对于任意x，恒有1,2,nYn,01npp221lim().21txnnYnPPxedtxnpp39nYnpnpq(0,1)N近似地即40证12.nnYXXX其中的分布律为1,2,iXin1,01.iiPXpPXpq由于,1,2,,,iiEXpDXpqin1niiXnnnYnpnpq则定理四中的化为故由定理四可得上述结论。41定理六表明，正态分布是二项分布的极限分布,当n充分大时,可以利用该定理来计算二项分布的概率.42近似公式1若独立随机变量X1,X2…Xn…满足定理四的条件，则当n充分大时,对任意实数z1、z2，有)()(12211zzznnXzPnkk43近似公式2若Xn～b(n,p),则有P(a≤Xn≤b))()()(npqnpanpqnpbnpqnpbnpqnpXnpqnpaPn在后面将学的数理统计中，我们会看到，中心极限定理是大样本统计推断的理论基础。44例设一货轮在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角度大于的概率为。若货轮在航行中遭受了90000次波浪冲击，问其中有29500至30500次纵摇角度大于的概率是多少？6631p45解可将货轮每遭受一次波浪冲击看作是一次试验，并认为实验是独立的。在90000次波浪冲击中，纵摇角度大于6˚的次数记为X4690000900001233kkkPXkC的二项分布，其分布律为31p则X为一随机变量，它服从,90000n0,1,2,,90000.k47所求概率为.3231305002950090000305002950190000kkkkCXP显然，要直接计算是困难的。可以利用德莫佛—拉普拉斯定理来求它的近似值。即有48295003050029500305001113050029500.11PXnpXnpnpPnppnppnppnpnpnppnpp49将代入有31,90000pn2950030500550.9995.22PX50例某校有学生5000人，有一个开水房，现有水龙头数量为45个，由于每天傍晚打开水的人较多，经常出现同学排长队的现象，已知每个学生在傍晚一般有1％的时间要占用一个水龙头，请问：51（1）未新装水龙头前，拥挤的概率是多少？（2）需至少要装多少个水龙头，才能以95％以上的概率保证不拥挤？5205.7npq解（1）设占用水龙头学生人数为X,它服从二项分布b（5000，0.01），已知n=5000,p=0.01，q=0.99np=50，534550050()()7.057.05=Φ(-0.71)-Φ(7.09)=0.2389所以P(X＞45)=0.7611(045)PX5495.0)05.7500()05.750(m050()(7.09)07.05由于95.0)05.750(m故（2）设m表示水龙头数，应有P(0≤X≤m)≥0.95,即5564.105.750m则有查标准正态分布表得Φ(1.64)=0.95,并注意到函数Φ(x)是单增的得m≥61.6,取整数得m=62,故需要装62个水龙头。