沈连丰-信息论与编码习题答案

（有问题请更正并通知[e-mail]）第二章信息的度量1．一珍珠养殖场收获240颗外观及重量完全相同的特大珍珠，但不幸被人用外观相同但重量仅有微小差异的假珠换掉1颗。（1）一人随手取出3颗，经测量恰好找出了假珠，问这一事件大约给出了多少比特的信息量；（2）不巧假珠又滑落进去，那人找了许久却未找到，但另一人说他用天平最多6次能找出，结果确是如此，问后一事件给出多少信息量；（3）对上述结果作出解释。解：（1）从240颗珠子中取3颗，含1颗假珠的概率为（2）240颗中含1颗假珠，用天平等分法最多6次即可找到假珠，是必然事件，因此信息量为0。（3）按照shannon对信息量的定义，只有事件含有不确知成分，才有信息量，且不确知成分越大，信息量越大，必然事件则没有信息量。但从广义信息论来说，如果那人不知用天平二分法找假珠，另一人告之此事，使他由不知到知，也应该含有一定的信息量。2．每帧电视图像可以认为是由3105个象素组成，所有象素均独立变化，且每一象素又取128个不同的亮度电平，并设亮度电平等概率出现。问每帧图像含有多少信息量？如果一个广播员在约10000个汉字的字汇中选取1000个字来口述此电视图像，试问广播员描述此图像所广播的信息量是多少（假设汉字字汇是等概率分布，且彼此独立）？若要恰当地描述此图像，广播员在口述中至少需用多少汉字？解：设电视图像每个像素取128个不同的亮度电平，并设电平等概率出现，则每个像素亮度含有的信息量为7128)(HlbX比特/像素一帧中像素均是独立变化的，则每帧图像信源就是离散亮度信源的无记忆N次扩展信源。得每帧会图像含有的信息量为6101.2)()(XNHXHN比特/每帧广播口述时，广播员是从10000个汉字字汇中选取的，假设汉字字汇是等概率分布的，则汉字字汇中每个汉字含有的信息量29.131000)(lbYH比特/字广播员口述电视图像是从此汉字字汇信源中独立地选取1000个字来描述的。所以，广播员描述此帧图像所广播的信息量为)(32.680loglog22bitPI80132402239CCP4410329.1101000)()(lbYNHYHN比特/千字若广播员仍从此汉字字汇信源Y中独立地选取汉字来描述电视图像，每次口述一个汉字含有信息量是H(Y)，每帧电视图像含有的信息量是)(NXH，则广播员口述此图像至少需要的汉字数等于1580001058.129.13101.2)()(56YHXHN字3．已知X：1,0P(X)：p,1–p(1)求证：H(X)=H(p)(2)求H(p)并作其曲线，解释其含义。（1）证明（2）该H(p)曲线说明，当0与1等概出现时，即p=0.5时，熵最大。当p由0.5分别趋向于0和1时，熵逐渐减小至0。4．证明H(X3|X1X2)H(X2|X1)，并说明等式成立的条件。证明：设离散平稳信源输出的随机符号序列为…X1,X2,X3,…。又设11Xx,22Xx,33Xx,而且321,,xxx都取自于同一符号集gaaaA,,,21，并满足有1)()()(,1)|(,1)|(,1)|(3213323212132312XXXXXXxPxPxPxxxPxxPxxPH(p)10.510p)0()1()1()(IppIXH)()1()1(pHplbpplbp)()()()()()(1)(1)()()(213213132132321321313221321123132312xxPxxxPxxPxxxPxxPxxxPxxxPxxPxxPxxPXXXXXXXXXXXX在区域[0，1]内设f(x)=－xlogx,f(x)在[0，1]内是型凸函数，所以满足詹森不等式qiqiiiiixPfxfP11)()(其中11iqiP现今)|(123xxxPxi,设其概率空间为)|(21xxP，并满足11)|(21XxxP所以根据詹森不等式得)|()|(log)|()|()|(log)|()|(])|(log[])|([]log)[|(213212132121321321212121111111xxxPxxPxxxPxxPxxxPxxxPxxPxxxPxxxPxxxxPXXXXiXiXii所以)()|()()|()()(22322313232111xPxxPxPxxxPxxPxxxPXX上式对所有321,,xxx的取值都成立，所以)|(log)|()|(log)|()|()|()|()|()|(2323213231232132123231111xxPxxPxxxPxxxPxxPxxxPxxPxxPxxxPXXX所以因为222,1)(0XxxP，所以上式两边相乘，等号不变。有)|(log)|()()|(log)|()(2323221323121xxPxxPxPxxxPxxxPxPX上式对所有32,xx都成立，所以对所有32,xx求和下式也成立23123)|(log)()|(log)(2332213321XXXXXxxPxxPxxxPxxxP因为H(X3|X1X2)H(X3|X2)所以是平稳信源H(X3|X2)=H(X2|X1)得H(X3|X1X2)H(X2|X1)只有当)|()|(23213xxPxxxP(对所有321,,xxx)时等式成立。5．设有一概率空间，其概率分布为{p1,p2,…,pq}，且p1p2。若取1'1pp，2'2pp，其中02p1–p2，而其它概率值不变。证明由此得到的新的概率空间的熵是增加的，并用熵的物理意义加以解释。证明：令21212110ppppappa的小数得1221121212122212112121)1()1(pppppppppappappppppppppaap因为f(x)=－xlogx是型函数，根据型凸函数的定义有)()1()(])1([2121pfapafpaapf所以)()1()()(212pfapafpf即]loglog[)log()(222121112122pppppppppppp同理得]loglog[)log()(222111212111pppppppppppp以上两不等式两边相加，不等号不变。所以得22212211loglog)log()()log()(pppppppp6．某办公室和其上级机关的自动传真机均兼有电话功能。根据多年来对双方相互通信次数的统计，该办公室给上级机关发传真和打电话占的比例约为3:7，但发传真时约有5%的次数对方按电话接续而振铃，拨电话时约有1%的次数对方按传真接续而不振铃。求：（1）上级机关值班员听到电话振铃而对此次通信的疑义度；（2）接续信道的噪声熵。解：设发传真和打电话分别为事件X1与X2,对方按传真和按电话接续分别为事件Y1和Y2,则P(X1)=30%,P(X2)=70%P(Y1|X1)=95%,P(Y2|X1)=5%,P(Y1|X2)=1%,P(Y2|X2)=99%P(X1Y1)=0.285,P(X1Y2)=0.015P(X2Y1)=0.007,P(X2Y2)=0.693P(Y1)=P(X1Y1)+P(X2Y1)=0.292P(Y2)=1－P(Y1)=0.708H(X)=－P(X1)lbP(X1)－P(X2)lbP(X2)=0.8814bit/符号H(Y)=－P(Y1)lbP(Y1)－P(Y2)lbP(Y2)=0.8713bit/符号H(XY)==1.0239bit/两个信符I(X;Y)=H(X)+H(Y)－H(XY)=0.7288bit/信符（1）听到电话振铃的疑义度H(X|Y2)=－P(X1Y2)lbP(X1Y2)－P(X2Y2)lbP(X2Y2)=0.4575bit/信符（2）接续信道的噪声熵H(Y|X)=H(Y)－I(X;Y)=0.1425bit/信符7．四个等概分布的消息M1，M2，M3，M4被送入如图所示的信道进行传输，通过编码使M1=00，M2=01，M3=10，M4=11。求输入是M1和输出符号是0的互信息量是多少？如果知道第2个符号也是0，这时带来多少附加信息量？XY00pp11pp图2.6解：信源P(M1)=P(M2)=P(M3)=P(M4)=1/4,信道为二元对称无记忆信道，消息Mi与码字一一对应，所以设)(21iiixxM设接收序列为Y=(y1y2)接收到第一个数字为0，即y1=0。那么，接收到第一个数字0与M1之间的互信息为)0()|0(log)0;(11111yPMyPyMI因为信道为无记忆信道，所以pPxyPxxyPMyP)0|0()0|0()00|0()|0(1211111111同理，得)|0()|0()|0(121111iiiixyPxxyPMyI输出第一个符号是y1=0时，有可能是四个消息中任意一个第一个数字传送来的。2121)()(jiXiYjlbPXiYjP所以21)]1|0()1|0()0|0()0|0([41)|0)(()0(1111413121114111xyPxyPxyPxyPMyMPyPiii故得plbyMI1)0;(11比特接收到第二个数字也是0时，得到关于M1的附加互信息为)0;()00;()0|0;(11211121yMIyyMIyyMI其中)00()|00(log)00;(21121211yyPMyyPyyMI同理，因为信道是无记忆信道，所以)|0()|0()|00()|00(2121212121iiiiixyPxyPxxyyPMyyP得21211121)0|0()0|0()0|0()0|0()|00(21pPPxyPxyPMyyP输出端出现第一个符号和第二个符号都为0的概率为41)]1|0()1|0()0|0()1|0()1|0()0|0()0|0()0|0([41)|00)(()00(111111214241323122211211412121xyPxyPxyPxyPxyPxyPxyPxyPMyyMPyyPiii所以)1(241log)00;(2211plbpyyMI比特得附加互信息为plbyyMI1)0|0;(121比特8．证明若随机变量X，Y，Z构成马氏链，即X→Y→Z，则有Z→Y→X。证明：因为(X,Y,Z)是马氏链，有P(z|xy)=P(z|y),对所有ZzYyXx,,成立，而P(x|yz)=P(xyz)/P(yz)=P(z|xy)P(xy)/P(y)P(z|y)=P(z|xy)P(y)P(x|y)/P(y)P(z|y)对所有ZzYyXx,,成立故得P(x|yz)=P(x|y)对所有ZzYyXx,,成立所以(Z,Y,X)也是马氏链。第三章离散信源1.由于2()()(/)HXHXHXX，即可以看做是先发出一个符号，再在此基础上发出一个与前一符号相关的符号，而()0HX,第二个符号可以看做为具有一阶马尔可夫性，故有2()(/)HXHXX。2.由ai转移到kc可以认为遍历了每个jb，故(|)()/()kiikiPcaPacPa1()/()sijkijPabcPa1()(/)(/)/()sijikijijPaPbaPcabPa1(/)(/)sjikijjPbaPcab1(/)(/)sjikjjPbaPcb，即有1(|)(/)(/)skijikjjPcaPbaPcb成立。3.香农图略由题转移概率为2/31/310P，由马尔可夫趋于稳定时频率分